Poti sa formalizezi matematic ipoteza ta, ca sa fie mai usor de inteles cum intervine ea, explicit, in rationament?
În postarea precedentă m-am referit la două sisteme de coordonate S, T definite pe o dreaptă d având originea comună într-un punct O. Unitățile de măsură în sistemele de coordonate S, T le-am notat cu OA și respectiv cu OB, între acestea existând relațiile
(*) OB = qOA, OA = (1/q)OB
Numărul q depinde de alegerea punctelor A, B pe dreapta d. În cazul de față, deoarece dreapta d o asimilez cu traiectoria unui foton M emis de o sursă de lumină notată cu O, voi considera că q=299.792.458. Deoarece am spus că segmentul OA reprezintă metrul (OA=m), iar segmentul OB reprezintă secunda (OB=s), conform (*) putem să scriem
(1*) s = qm, m = (1/q)s
Conform (1*), în sistemul de coordonate S, așadar în spațiu, secunda o privim ca pe o distanță de mărime q metri, iar în sistemul de coordonate T, așadar în timp, metrul îl privim ca pe un interval de timp de mărime 1/q secunde. În aceste condiții, dacă în sistemele de coordonate S, T, fotonului M îi atribuim coordonatele x și respectiv t, deci distanța și timpul la care se află fotonul M față de originea O sunt
(2*) OM = xm, OM = ts
atunci conform (1*), relațiile (2*) se scriu
(3*) OM = (1/q)xs, OM = qtm
iar din (2*) și (3*) rezultă egalitățile
xm = qtm, ts = (1/q)xs
de unde, eliminând unitățile de măsură, rezultă că între coordonatele x, t există relațiile
(4*) x = qt, t = (1/q)s
Ținând cont de (4*) rezultă că între distanța x și timpul t există relațiile
(1) x = ct, t = (1/c)x
unde c este viteza luminii în vid (c=qm/s). Mai exact, în prima egalitate din (1) am exprimat mișcarea în spațiu a fotonului M, adică distanța parcursă de fotonul M cu viteza c în timpul t, iar în cea de a doua egalitate din (1) am exprimat mișcarea în timp a fotonului M, adică timpul parcurs de fotonul M cu viteza 1/c pe distanța x.
Relații de tip (4*) există între orice două coordonate de spațiu și respectiv de timp care se asociază unui punct pe dreapta d în sistemele de coordonate S, T. De exemplu, dacă mă refer la o altă sursă de lumină aflată pe traiectoria fotonului M, notată cu O’, și notez coordonatele de spațiu și de timp care se asociază lui O’ cu x
1 și respectiv cu t
1 (5*) OO’ = x
1m, OO’ = t
1s
atunci între aceste coordonate există relațiile
(6*) x
1 = qt
1, t
1 = (1/q)x
1Pe de altă parte, dacă presupun că sursa O’ se deplasează pe traiectoria OM, deci pe aceeași direcție și în același sens cu fotonul M, are o mișcare rectilinie uniformă și a pornit din O simultan cu fotonul M, atunci mișcarea sursei O’ o putem considera proporțională cu mișcarea fotonului M, adică putem scrie relația
(7*) OO’ = aOM
unde a este un număr pozitiv subunitar. Ca urmare, ținând cont de (2*) putem să scriem
(8*) OO’= a(xm) = x
1m = xm
1, OO’ = a(ts) = t
1s = ts
1unde am notat
(9*) s
1 = as, m
1 = am
iar
(10*) x
1 = ax, t
1 = at
sunt relații între coordonatele lui O’ și M conform (2*), (5*) și (7*). În continuare, dacă în (9*) ținem cont de (1*), obținem
(11*) s
1 = aqm, m
1 = a(1/q)s
iar dacă în (11*) notăm aq=v, rezultă
(12*) s
1 = vm, m
1 = (v/q
2)s
Ținând cont de relațiile (6*), (1*), (8*) și (12*) rezultă succesiv
x
1m=qt
1m=t
1s =ts
1=tvm, t
1s = (1/q)x
1s = x
1m=xm
1=(v/q
2)xs
prin urmare avem egalitățile
(13*) x
1m = vtm, t
1s = (v/q
2)xs
iar dacă în (13*) eliminăm unitățile de măsură, rezultă că între coordonatele x
1, t
1 și x, t există relațiile
(14*) x
1 = vt, t
1 = (v/q
2)x
Ținând cont de (14*) rezultă că mișcarea în spațiu și în timp a sursei O’ se exprimă prin relațiile
(2) x
1 = vt, t
1 = (v/c
2)x
Prima egalitate din (2) exprimă mișcarea în spațiu a sursei O’ cu viteza v=ac în timpul t, iar cea de a doua egalitate din (2) exprimă mișcarea în timp a sursei O’ cu viteza v/c
2 pe distanța x.
Conorm (1) și (2), mișcarea în spațiu și în timp – așadar în sistemele de coordonate S și respectiv T – a fotonului M în raport cu sursa de lumină O’ este descrisă de relațiile
(3) x
2 = x – vt, t
2 = t – (v/c
2)x
Pentru a finaliza raționamentul, amintesc că relațiile (1), (2) și (3) au fost deduse in ipoteza că sursa O este în repaus relativ, iar sursa O’ și fotonul M sunt în mișcare în același sens cu vitezele v și respectiv c în spațiu și în timp, adică în sistemele de coordonate S, T cu originea O. Putem însă să presupunem și invers, anume că sursa O’ este în repaus relativ și că sursa O și fotonul M sunt în mișcare în sens opus cu vitezele –v și respectiv c în spațiu și în timp, adică în sistemele de referință S’, T’ cu orinea O’. În acest caz, procedând ca și în cazul precedent, obținem relațiile
(1’) x’ = ct’, t’ = (1/c)x’
și
(2’) x
1’ = vt’, t
1’ = (v/c
2)x’
care descriu mișcarea în spațiu și în timp a fotonului M și sursei O în raport cu sursa O’, respectiv relațiile
(3’) x
2’ = x’ + vt’, t
2’ = t’ + (v/c
2)x’
care descriu mișcarea în spațiu și în timp a fotonului M în raport cu sursa O.
Având în vedere cele două ipoteze mai sus prezentate, se pune întrebarea dacă pot fi egale intervalele de spațiu și timp omoloage din sistemele de coordonate S, T și S’, T’, adică dacă factorul k din relatiile
(4) x = k(x’ + vt’), t = k(t’ + (v/c
2)x’)
și respectiv
(4’) x’ = k(x - vt), t’ = k(t – (v/c
2)x)
poate fi unitar. Cum se știe, răspunsul este negativ, k fiind factorul Lorentz.