sirul lui Rolle

[kama]

Determinati valorile reale ale lui "a" pentru care ecuatia
(e^x)(x^2 + 4X +1)=a are exact trei solutii reale.

[kama]

Notez cu g:R->R , g(x)=f(x)-a
g'(x)=(e^x)(x+1)(x+5)
g'(x)=0 are solutiile x=-1 sau x=-5
g(-1)=(-2/e)-a
g(-5)=(6/e^5) -a
limita pentru x tinde la minus infinit este -a
limita pentru x tinde la plus infinit este plus infinit

pentru a=0, cate solutii reale are ecuatia?dar pentru a=6/(e^5)?

Va multumesc frumos pentru idei si propuneri!

[Abel Cavaşi]

Ok. Și te-ai oprit aici? Calculează valorile extreme ale funcției și interpretează rezultatele.

[kama]

Nu-mi dau seama unde gresesc rationamentul.

Functia din tabel este g(x), nu f(x), am scris gresit.

[Abel Cavaşi]

Arată-mi tabelul de monotonie pentru g(x).

[kama]

Eu stiu ca Sirul lui Rolle nu foloseste monotonia functiei.
Sa inteleg ca nu se poate aplica Sirul lui Rolle? Care este explicatia?
Folosind monotonia functiei este o alta metoda de a rezolva acest exercitiu? Va multumesc.

[atanasu]

Out of topic
Dle Cavasi ma bucur ca ai revenit dupa o pauza atat de mare pe acest forum care dupa mine nu trebuie lasat sa moara ba din contra cred ca cei care il parasesc fac o greseala.
Nu ma bag pe probleme specifice de matematica, in cazul de fata de analiza, unde expertiza matale este evident superioara unui amator dar te rog daca ai putin timp sa urmaresti demonstratia pe care  am dat-o la sfarsitul firului Postulatul sau Teorema lui Euclid la :

https://forum.scientia.ro/index.php/topic,5255.0.htmlAcolo discutia destul de inutila cu Electron adica posibil a fi mult rezumta s-a desfasurat in perioada aprilie 2018 -ianuarie 2019 pe parcursul a 36 pg si respectiv 531 postari pe care l-eam rezumat la postarea 529 unde am citat in ordine cronologica postarile mele  maxim de relevante la subiect respectiv:
-postarea 12 in care am demonstrat unicitatea perpendicularei dusa dintr-un punct exterior unei drepte pe acea dreapta lucru insuficient pentru a reduce postulatul paralelei la o simpla teorema;
-in postarile 50 , 86, 503 am condus lucrurile pana la a demonstra in opinia mea teorema lui Euclid plecand de la elementele anterioare din Elementele sale si folosind un model cinematic  cu o completare la 527 unde am facut o trimitere la demonstratia lui Legendre pe care de fapt am si prezentat-o la 512 in partea finala si  care nu inteleg de ce nu a fost acceptata lucru ce ar fi facut inutila demonstratia mea de la 503

PS Mie mi se pare si scriu asta la postarea 526, ca filozoful antic Posidonius din Apameia (sec I ien) are si el o propunere interesanta care transforma deasemenea postulatul in teorema;

Daca dedici un timp infim din timpul tau acestei pretentii pe care o am privitor la postulat desigur ca iti raman total recunoscator si sunt sigur ca daca ma vei combate nu o vei face jignind-ma si punandu-ma la colt cum  au  alti destepti de pe aici prostul obicei sa o faca.

[sicmar]

I. Mai întâi să răspund la întrebările tale.

1. Întrebarea "pentru a=0, cate soluții reale are ecuația?" are răspunsul: 2.
Atenție la faptul că valorile la infinit trebuie înțelese ca limite. În cazul nostru, pentru a=0 valoarea trecută în tabel, g(x)=0, trebuie înțeleasă g(x) tinde la 0 când x tinde la minus infinit, fără a atinge valoarea 0 ci fiind strict pozitivă. Nu știu dacă se mai folosește acum barbarismul de notație "+0" pentru astfel de situații.

2. Întrebarea "pentru a=6/(e^5), cate soluții reale are ecuația?" răspunsul depinde de felul în care ați învățat la școală să le numărați.
De obicei se vorbește de soluții multiple, și se numără ținând seama de ordinul de multiplicitate, în cazul ecuațiilor polinomiale dar dacă la școală s-a extins la alte ecuații atunci ar trebuie să fie definiții de felul:
Dacă o funcție g este derivabilă până la ordinul n, cu n>=2, într-un interval deschis conținând punctul x₀ și g(x₀)=0, g'(x₀)=0, g''(x₀)=0,... g^(n-1)(x₀)=0 și gⁿ(x₀)/=0 atunci spunem că x₀ este soluție multiplă de ordinul n a ecuației g(x)=0. Pentru n=2 spunem că soluția este dublă, pentru n=3 spunem că soluția este triplă etc.

În cazul nostru, ca să putem spune că pentru a=6/(e^5) ecuația are o soluție dublă trebuie calculată și derivata de ordinul 2 și abia după ce se verifică faptul că g''(-5)/=0 putem spune că ea este x=-5 este soluție dublă. (Altel ar exista dubiul că ea poate fi soluție triplă etc.) Sub acest aspect rezolvarea pe care ai dat-o este incompletă, deși rezultatul este corect, întrucât n-ai verificat comportamentul derivatei secunde în punctul x=-5. Cred că deja te-ai prins, că rezolvarea este incompletă și pentru că n-ai verificat dacă nu cumva x=-1 este o soluție triplă când a=-2/e  și astfel să ai trei soluții și în acest caz.

Cred că este evident că dacă soluțiile multiple, în sensul definiției de mai sus sau una care să o includă, se numără o singură dată atunci nu mai are rost discuția asupra multiplicității și, în această situație, în rezolvare ai greșit numărând de două ori soluția x=-5 când a=6/e^5.

II. O eroare (de redactare, cred) apare în rândul 1 din tabel, în tabel fiind scrise valorile pentru g(x) nu pentru f(x). Atenție la redactări.

N.B. N-am calculat g''(x) și valorile ei în x=-5 și x=-1 ci am apreciat ochiometric că g''(x)/=0 în aceste puncte. Dacă este altfel, ții seama de ideile de mai sus.

[kama]

Va multumesc mult pentru explicatii, am inteles unde faceam greseli.
Ecuatia are exact 3 solutii reale pentru "a" apartine intervalului (0;6/e^5).

Am insa de facut o observatie, de exemplu, conditiile pentru ca x=-5 sa fie radacina dubla sunt g(-5)=0, g'(-5)=0 si g''(-5) diferit de 0, care nu sunt in acord cu cele spuse de dvs.

[sicmar]

I. Nu m-am dumirit la ce parte a textului meu te-ai referit atunci când ai scris:
"Am insa de facut o observatie, de exemplu, conditiile pentru ca x=-5 sa fie radacina dubla sunt g(-5)=0, g'(-5)=0 si g''(-5) diferit de 0, care nu sunt in acord cu cele spuse de dvs." Încearcă să fii mai explicit.

II. Cred că ar trebui să verifici prin manuale dacă în ele se folosește cuvântul "rădăcină" și în cazul altor ecuații decât cele polinomiale (= algebrice). (N-am stat acum să verific dar mi se pare că termenul "rădăcină" este, istoric, legat de problema rezolvării prin radicali a ecuațiilor polinomiale, via "rădăcină pătrată" sau "pătratică", "rădăcină cubică" etc.) După câte știu, la altfel de ecuații decât cele polinomiale se folosește termenul "soluție".