Welcome, Guest. Please login or register.

Autor Subiect: x^4+y^4=z^4  (Citit de 8138 ori)

0 Membri şi 1 Vizitator vizualizează acest subiect.

curiosul

  • Vizitator
x^4+y^4=z^4
« : Iulie 17, 2016, 08:17:19 p.m. »
Este prezentată mai jos o metodă diferită de a demonstra că ecuația x^4+y^4=z^4 nu are soluții x, y, z primitive (prime între ele două câte două).

Analizând paritatea soluțiilor se poate arăta că singura situație posibilă este cu două dintre soluții impare și una pară, cu z obligatoriu impar.
Dacă oricare două dintre ele sunt pare, suma sau diferența lor va fi un număr par de unde rezultă că toate trei vor fi divizibile cu 2 caz în care nu mai sunt soluții prime între ele.
Nu pot fi nici toate impare pentru că suma sau diferența a două numere impare este un număr par, iar a treia soluție nu poate fi impară și rămâne situația în care două sunt impare și una pară.

Soluția pară este una dintre soluțiile x sau y, după cum rezultă de mai jos.
Putem scrie ecuația sub forma :
x^4+y^4=\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2=z^4
\left(x^2+y^2\right)^2-z^4=2x^2y^2
\left(x^2+y^2-z^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)=2x^2y^2

Considerând că x și y sunt ambele impare, membrul drept este divizibil cu 2, dar nedivizibil cu 4.
În partea stângă ambele paranteze se divid cu 2, dacă oricare două dintre x, y, z sunt impare și a treia pară, ceea ce înseamnă că în stânga avem un număr divizibil cu 4, iar în dreapta un număr divizibil doar cu 2 ceea ce este imposibil.

Deci x și y nu pot fi ambele impare, una dintre ele este o soluție pară, iar z este obligatoriu impar, dacă x, y, z sunt soluțiile primitive (prime între ele) ale ecuației.
În același fel se poate arăta și pentru tripletele pitagoreice a, b, c ale ecuațieie a^2+b^2=c^2, soluția c trebuie să fie obligatoriu impară dacă a, b și c sunt prime între ele două câte două.

Fie x soluția pară și rescriem ecuația sub forma :

x^4=(z-y)(z+y)(z^2+y^2)

Oricare doi din cei trei factori din dreapta, (z-y) , (z+y)  și  (z^2+y^2)  au doar 2 cel mai mare divizor comun deoarece z și y sunt ambele impare prime între ele.

Fie x=2^kx_1x_2x_3, cu x_1 , x_2 , x_3 impare, prime între ele (două câte două), atunci distribuția factorilor lui x în ecuația de mai sus, poate fi distribuită în doar două moduri :

\begin{cases}z^2+y^2=2x_{1}^{4} \\ z+y=2x_{2}^{4} \\ z-y=2^{4k-2}x_{3}^{4} <br />\end{cases}    sau    \begin{cases}z^2+y^2=2x_{1}^{4} \\ z+y=2^{4k-2}x_{3}^{4} \\ z-y=2x_{2}^{4} <br />\end{cases}

Nu este importantă care variantă o alegem pentru că înlocuind în egalitatea (z+y)^2+(z-y)^2=2(z^2+y^2) valorile de mai sus obținem

4x_2^8+2^{8k-4}x_3^8=4x_1^4

și simplificând ecuația cu 4 ajungem la

x_2^8+2^{8k-6}x_3^8=x_1^4

Rescriem ecuația sub forma

2^{8k-6}x_3^8=(x_1-x_2^2)(x_1+x_2^2)(x_1^2+x_2^4)

Pentru că x_1 și x_2 sunt impare, prime între ele, ca și în cazul anterior, toți factorii (parantezele) din dreapta vor avea doar 2 cel mai mare divizor comun și rescriind x_3=x_{4}x_{5}x_{6} (toate impare pentru că x_3 este impar, distribuția factorilor lui 2^{8k-6}(x_3)^8 va fi

\begin{cases}x_1^2+x_2^4=2x_{4}^{8} \\ x_1+x_2^2=2x_{5}^{8} \\ x_1-x_2^2=2^{8k-8}x_{6}^{8} \end{cases}    sau    \begin{cases}x_1^2+x_2^4=2x_{4}^{8} \\ x_1+x_2^2=2^{8k-8}x_{6}^{8} \\ x_1-x_2^2=2x_{5}^{8} \end{cases}

De aici putem stabili că valoarea lui k trebuie să fie mai mare ca 1, altfel fie x_1-x_2^2, fie x_1+x_2^2 nu se mai divide cu 2, deși ambele (x_1,x_2) sunt impare (prime între ele).

Procedând în mod similar,
înlocuim în egalitatea (x_1+x_2^2)^2+(x_1-x_2^2)^2=2(x_1^2+x_2^4) obținem

4x_5^{16}+2^{16(k-1)}x_6^{16}=4x_4^8

Simplificând cu 4, ajungem la egalitatea x_5^{16}+2^{16k-18}x_6^{16}=x_4^8 și rearanjând termenii obținem

2^{16k-18}x_6^{16}=(x_4^2-x_5^4)(x_4^2+x_5^4)(x_4^4+x_5^8)

Pentru că x_4 și x_5 sunt impare prime între ele cel mai mare divizor comun al parantezelor din dreapta va fi 2, putem proceda cum este arătat mai sus de un infinit de ori și se poate stabili într-un final că factorii impari ai lui x sunt x_1, x_2, x_4, x_5, x_7 , x_8 ,...

Toți acești termeni vor fi numere impare, prime între ele, de unde putem trage concluzia că soluția pară a ecuației x^4+y^4=z^4 trebuie să fie infinit de mare, ceea ce este absurd iar ecuația nu poate avea soluții x, y, z prime între ele.

Întrebarea mea este dacă raționamentul folosit este corect.