Oscilații amortizate

[Higgs]

Salut, am dat peste următoarea problemă:

"Un pendul mateamtic oscilează amortizat, decrementul logaritmic al amortizării fiind egal cu  D = 0,04. Știind că după 50s, energia pendulului a scăzut de n = 7,39 ori, să se afle lungimea pendulului. "

Ok, iată cum am încercat eu să rezolv (am notat cu alpha coeficientul de amortizare)

Făcând raportul dintre energia inițială  a oscilatorului și energia după t = 50 s , obțin: [tex] n = e^{\alpha t} [/tex] , iar de aici [tex] \alpha = \frac{\ln{n}}{t} [/tex] .

Decrementul logaritmic este : [tex] D = -\alpha T [/tex] , unde T est perioada pendului. De aici, am făcut înlocuirile:

[tex] D = - \frac{\ln{n}}{t} T = - \frac{\ln{n}}{t} 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} [/tex]

Am ridicat la pătrat, și am obținut că: [tex] l = (\frac{Dt}{2 \pi \ln{n}})^2 g [/tex]

Am verificat răspunsul la sfârșit. Formula de la sfârșit este:

[tex] l = (\frac{Dt}{2 \pi \ln{\sqrt{n}}})^2 g [/tex]

Acum, am refăcut calculele, dar nu am găsit greșeala. Sunt suficient de neatent încât să greșesc la calcule, dar chiar nu văd de unde ar putea apărea acel radical. Plus de asta, problema nu a avut nimic deosebit, adică nu a necesitat prea multă cugetare a supra fenomenului fizic, ci doar am aplicat formule. Acum, am greșit eu undeva? Am aplicat ceva greșit?

Pentru energie am folosit: [tex] E_t = \frac{m\omega^2A_0^2 e^{-\alpha t}}{2} [/tex]

Mă puteți ajuta să găsesc greșeala, vă rog ?

[mircea_p]

Nu inteleg ce ai notat cu n.
Decrementul logaritmit e definit ca logaritmul raportului intre doua amplitudini, asa e?
Energia e proportionala cu amplitudinea la patrat.

[Higgs]

Nu inteleg ce ai notat cu n.

n este definit în enunț ca fiind raportul dintre energia la momentul t_0 și energia la momentul t

Decrementul logaritmit e definit ca logaritmul raportului intre doua amplitudini, asa e?
Energia e proportionala cu amplitudinea la patrat.

Da, corect.

[mircea_p]

Da, n este definit. Nu am observat.

Atunci, daca amplitudinea scade ca

[tex] e^{-\alpha t} [/tex]

energia scade ca

[tex] e^{-2\alpha t} [/tex]

[Higgs]

Da, n este definit. Nu am observat.

Atunci, daca amplitudinea scade ca

[tex] e^{-\alpha t} [/tex]

energia scade ca

[tex] e^{-2\alpha t} [/tex]

Dar expresia energiei, în funcție de timp este [tex] E(t) = \frac{m\omega_0^2}{2}A^2e^{-\alpha t} [/tex]. Și se obține: [tex] E_0/E = e^{-\alpha t} [/tex], nu-i așa ?

[mircea_p]

Poti sa o scrii asa dar atunci acel "alfa" nu e tot acela din definitia decrementului logaritmic.
Notatiile tale nu sant consistente.


Daca avem o oscilatie descrisa de
[tex]x(t)=A_0\cos(\omega t)e^{-\alpha t} [/tex]
decrementul logaritmic va fi
[tex]D=ln\frac{x(t)}{x(t+T)}=\alpha T [/tex]
Dar cat va fi energia totala ca functie de timp pentru acest oscilator?
Daca faci caluculele vei gasi ceva de genul expresiei scrisa de tine dar cu termenul exponential
[tex]e^{-2\alpha t} [/tex]
Stii doar ca energia e proportionala cu x^2, nu? Iar exponetiala la patrat inseamna ca inmultesti exponentul cu 2.

Sigur ca poti nota ceea ce eu am scris 2*alfa cu "alfa", daca tii neaparat. Dar atunci x(t) va avea o exponentiala in care apare "alfa"/2 si decrementul logaritmic va fi  "alfa"*T/2. Si pana la urma tot acolo ajungi.
Rezultatul tau e gresit cu un factor de 2 pentru ca notezi cu alfa doua marimi diferite.

[Higgs]

Dar cat va fi energia totala ca functie de timp pentru acest oscilator?

Ei bine, nu va fi [tex] E_t = \frac{m\omega^2A_0^2 e^{-\alpha t}}{2} [/tex] ? În a cest moment sunt puțin confuz în legătură cu aflpha-urile. Alpha din relația energiei totale și cel din ecuația oscilației amortizate, nu sunt unul și acelasi ?

[mircea_p]

Pai fa calculul si vezi. Asta iti sugeram.Pornind de la acel x(t), calculeaza, pas cu pas, energia totala.
Asa vei vedea singur si poate confuzia se va risipi.

[Higgs]

Pai fa calculul si vezi. Asta iti sugeram.Pornind de la acel x(t), calculeaza, pas cu pas, energia totala.
Asa vei vedea singur si poate confuzia se va risipi.

Aha, dar nu știu să fac derivata funcției care îmi dă elongația, pentru a afla ecuația vitezei. Îmi poți da tu formula? Nu am găsit-o nicăieri, și nu mă descurc foarte bine la capitolul ăsta.

După mintea mea ar fi: [tex] A_0 e^{-\alpha t}[\sin(\omega t + \phi) + \omega \cos(\omega t + \phi) ] [/tex]

Este corect ?

[mircea_p]

Depinde de la ce ai pornit, pentru x(t). Ai luat sinus pentru ecuatia lui xo, da?
Atunci e aproape OK. Unul din termenii din parateza trebuie sa fie inmultit cu alfa, nu? La fel cum celalalt e inmultit cu omega.

In cazul general expresia energiei cinetice va fi ceva mai complicata, avand doi termeni.
Dar poti vedea imediat ca pentru energia potentiala trebuei sa iei x^2 iar pentru cea cinetica v^2.
Atat x(t) cat si v(t) constin e^(-alfa*t). Ce se intampla cand il ridici la patrat?

In multe cazuri (ca si cel de fata, in problema ta), amortizarea este mica si se consdiera ca amplitudinea este realtiv constanta pe o perioada. Poti considera sistemul ca un oscilator obisnuit dar cu o amplitudine care scade incet in timp,
A=Ao*e^(-alfa*t).  (1)
Atunci poti scrie energia cu formula stiuta de la oscilatorul neamortizat, ca o functie de amplitudine. Iar la sfarsit inlocuiesti amplitudinea constanta cu aceasta formula exponentiala (1). Dar energia depinde de A^2 si din nou trebuie sa ridici la patrat termenul exponential.

[Higgs]

Depinde de la ce ai pornit, pentru x(t). Ai luat sinus pentru ecuatia lui xo, da?
Atunci e aproape OK. Unul din termenii din parateza trebuie sa fie inmultit cu alfa, nu? La fel cum celalalt e inmultit cu omega.

Am pornit de la [tex] x(t) = A_0^{-\alpha t}sin(\omega t + \phi) [/tex]

In cazul general expresia energiei cinetice va fi ceva mai complicata, avand doi termeni.
Dar poti vedea imediat ca pentru energia potentiala trebuei sa iei x^2 iar pentru cea cinetica v^2.
Atat x(t) cat si v(t) constin e^(-alfa*t). Ce se intampla cand il ridici la patrat?

Aici nu sunt sigur ce vrei să spui. Eu mă gândeam să ridic la pătrat și să folosesc ecuația fundamentală cos^2 + sin^2 = 1 și așa mai reduc din termeni. Dar nu sunt sigur de expresia vitezei.

In multe cazuri (ca si cel de fata, in problema ta), amortizarea este mica si se consdiera ca amplitudinea este realtiv constanta pe o perioada. Poti considera sistemul ca un oscilator obisnuit dar cu o amplitudine care scade incet in timp,
A=Ao*e^(-alfa*t).  (1)
Atunci poti scrie energia cu formula stiuta de la oscilatorul neamortizat, ca o functie de amplitudine. Iar la sfarsit inlocuiesti amplitudinea constanta cu aceasta formula exponentiala (1). Dar energia depinde de A^2 si din nou trebuie sa ridici la patrat termenul exponential.

Deci, am avea: [tex] E(t) = \frac{m \omega^2 A_0^2e^{-2\alpha t}}{2} [/tex] ?

[mircea_p]

In aproximatia atenuarii mici, asa ar fi.
Nu esti sigur?

Forma exacta a expresiei nu e esentiala pentru problema asta. Doar faptul ca energia descreste ca e^(-2*afa).

[Higgs]

In aproximatia atenuarii mici, asa ar fi.
Nu esti sigur?

Forma exacta a expresiei nu e esentiala pentru problema asta. Doar faptul ca energia descreste ca e^(-2*afa).

Da, acum este foarte clar. Făcând raportul se obține că:

[tex] \frac{E_0}{E} =\frac{1}{e^{-\alpha t}} = n \to e^{2\alpha t} = n \to 2\alpha t = \ln{n} \to \alpha t = \frac{1}{2}\ln{n} = ln{sqrt{n}} [/tex]


Mulțumesc foarte mult, ca de obicei, m-ai ajutat enorm!