Discutie despre Teoria Cinetica a gazului ideal.

[mircea_p]

Imi pare bine ca te-a ajutat.

Am inteles acum. Si banuiesc ca folosind calcul integral sau alte notiuni de matematica putem demonstra intr-adevar ca media pe o durata mare este aceeasi cu media pe o durata foarte mica? Sau nu avem nevoie de calcul integral si este defapt o explicatie mult mai simpla care mie imi scapa?

Nu putem demonstra asta pentru ca in general nu e adevarata.
E vorba doar de functii (marimi) periodice.
Media pe o durata "mare" este aproximativ egala cu media pe o perioada. Nu pe orice durata "mica".
Este exact egala cand durata "mare" contine un numar intreg de perioade. Dar si daca nu este, este o foarte buna aproximatie daca durata "mare" este mult ma mare decat perioada.

"Demonstratia" era evidenta daca nu foloseai valorile numerice de la inceput.

Ai calculat distanta parcursa in 2 zile ca
[tex]d= \frac{2 zile}{30s} \cdot 25 m[/tex] (care da 144000 m)

Si apoi ai calculat media impartind d la timpul total, 2 zile:
[tex]v= \frac{d}{2 zile}= \frac{2 zile \cdot 25m}{30s \cdot 2 zile}=\frac{ 25m}{30s} [/tex]
Care este exact viteza medie pe o perioada.

[Higgs]

Am inteles perfect acum. Am inteles absolut tot! Uite, am incercat sa rezolv o problema:

Un fascicul paralel de molecule de azot avand viteza [tex] v=400m/2[/tex], cade pe un perete sub unghiul de incidenta [tex]\alpha=60^o[/tex]. Concentratia moelculelor din fascicul este n=10^25 m^-3. Considerand ciocnirea cu peretele perfect elastica, calculati presiunea exercitata de molecule pe perete.

Iata cum am gandit eu:

Ciocnirea fiind perfect elastica variatia impulsului pentru o singura molecula este [tex]\Delta p=2mv_x=2mVcos\alpha[/tex];

Forta medie exercitata de o singura molecula molecula este deci [tex] f=\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{2mVcos\alpha}{\Delta t}[/tex] .

In fascicul se afla[tex] N[/tex] molecule identice care se indreapta cu aceeasi viteza. Forta totala exercitata de cele[tex] N[/tex] molecule este: [tex] F=Nf=N\frac{2mVcos\alpha}{\Delta t} [/tex].

Acum se pune o problema. Nu cunoastem alte informatii suplimentare despre ciocnire, depilda cat timp dureaza aceasta. Trebuie cumva sa eliminam din ecuatie [tex] \Delta t[/tex]. Tinem cont (da, am inteles in sfarsit asta!!!) ca forta aceasta este medie. Insa aici a intervenit o problema in rationamentul meu, pe care am rezolvat-o putin pe ocolite. In modelul de baza al teoriei-cinetico moleculare, moleculele executa o miscare de "du-te-vino". De aceea  puteam elimina [tex]\Delta t[/tex] luand intervalul de timp dintre doua ciocniri succesive. Aici problema nu spune ca gazul s-ar afla intr-o incinta , deci acea miscare de "du-te-vino" nu exista. De aceea, mi se pare un pic ciudat sa luam intervalul de timp dintre doua ciocniri succeisve, din moment ce exista doar o singura ciocnire. Poate ma poti lamuri putin aici.

Asa ca am aplicat un alt rationament. Am citit mai demult undeva chestia asta. Putem lua-o pe ocolite si spune ca: cele N molecule care lovesc peretele in intervalul de timp respectiv se afla intr-un volum delimitat de aria peretelui [tex] S[/tex] si [tex]\Delta t v_x[/tex], adica [tex]V=S\Delta t v_x[/tex]. Daca o molecula nu se afla la o distanta mai mica sau egala cu [tex]\Delta tv_x[/tex] atunci nu loveste peretele in intervalul [tex]\Delta t[/tex]. Numarul de molecule din acest volum, si care lovesc peretele este: [tex] N=nS\Delta t v_x[/tex] , considerand evident constanta contertaia moleculelor din fascicul.

Avand in vedere cele spuse mai sus, avem:

[tex] F=Nf=N\frac{2mVcos\alpha}{\Delta t}=nS\Delta t v_x \frac{2mVcos\alpha}{\Delta t}=2nSm(vcos\alpha)^2=2nS\frac{M}{N_A}(vcos\alpha)^2[/tex], unde M este masa moleculara a azotului.

Este rationamentul meu corect? Ar fi fost corect daca as fi mediat forta pe intervalul de timp dintre doua ciconiri "imaginare"? Daca am inteles eu bine, putem media variatia impulsului pe un anumit interval de timp, daca acest interval de timp este suficient de mare, astfel incat media pe mai multe cicluri  (adica pe un interval de timp mult mai mare) sa nu se schimbe, corect?

[mircea_p]

Da, in cazul realistic nu avem o molecula ciocnind peretele periodic.
Am mentionat asta mai la inceput. Nu stiu cum continua demonstratia aia in OP, dar o molecula nu face asa ceva intr-un gaz in conditii relativ normale.
Dar cum problema nu era atat de TCM cat de mecanica si medii, am continuat asa.

Demonstratia ar trebui facuta asa cum ai facut in partea a doua.
Consideri un numar N de molecule care ciocnesc o arie a peretului intr-un timp T.
Fiecare molecula transfera acelei portiuni de perete un moment (delta p), in acest timp T. Deci in total impulsul transferat este N(delta p).
Atunci forta medie este N(delta p)/T.
Cum N va depinde de T, media nu va depinde de timpul T.
Numarul de ciocniri pe unitate de timp este constant, atat timp cat timpul este "mare". Daca ne uitam la intervale de timp foarte mici (sau arii foarte mici pe perete), putem vedem fluctuatii in rata ciocnirilor.

Cat de mic este un "timp mic" intr-un gaz in conditii normale?
Sa zicem viteza medie a moleculelor este in jur de 1000 m/s iar drumul liber mediu al unei molecule este de ordinul a 100 nm.
Timpul intre doua ciocniri succesive este deci de ordinul 10^(-7)m/10^3m/s = 10^(-10) s. Adica 0.1 ns (nano-secunde).

[Higgs]

Da, in cazul realistic nu avem o molecula ciocnind peretele periodic.
Am mentionat asta mai la inceput. Nu stiu cum continua demonstratia aia in OP, dar o molecula nu face asa ceva intr-un gaz in conditii relativ normale.
Dar cum problema nu era atat de TCM cat de mecanica si medii, am continuat asa.

Ajuta cu ceva daca postez cuvant cu cuvant demonstratia? Nu este mare deranj. As putea chiar face poza. Am inteles ca intr-un caz realistic chiar nu avem asa ceva.

Cum N va depinde de T, media nu va depinde de timpul T.
Numarul de ciocniri pe unitate de timp este constant, atat timp cat timpul este "mare". Daca ne uitam la intervale de timp foarte mici (sau arii foarte mici pe perete), putem vedem fluctuatii in rata ciocnirilor.

Inteleg.

Cat de mic este un "timp mic" intr-un gaz in conditii normale?
Sa zicem viteza medie a moleculelor este in jur de 1000 m/s iar drumul liber mediu al unei molecule este de ordinul a 100 nm.
Timpul intre doua ciocniri succesive este deci de ordinul 10^(-7)m/10^3m/s = 10^(-10) s. Adica 0.1 ns (nano-secunde).

Deci, am rezolvat corect problema?

[mircea_p]

Rezultatul pare corect.
In principiu insa, acel (delta t) nu trebuie sa fie timpul de ciocnire, cum pare ca ai asumat acolo. Ai vazut ca orice timp oarecare e OK.
Deci principial ar fi mai "corect" sa scrii
F= (Delta p)/(Delta t) unde (delta p) e impulsul transferat peretelui in (delta t).
Unde delta t este un timp arbitrar.
Lasa complet la o parte timpul de ciocnire. Nu ai nevoie de asta.

[Higgs]

Rezultatul pare corect.
In principiu insa, acel (delta t) nu trebuie sa fie timpul de ciocnire, cum pare ca ai asumat acolo. Ai vazut ca orice timp oarecare e OK.
Deci principial ar fi mai "corect" sa scrii
F= (Delta p)/(Delta t) unde (delta p) e impulsul transferat peretelui in (delta t).
Unde delta t este un timp arbitrar.
Lasa la complet la o parte timpul de ciocnire. Nu ai nevoie de asta.

Asa este. A fost o eroare de exprimare. Ar ajuta daca as posta demonstratia TCM dupa care m-am uitat eu?

[mircea_p]

Nu stiu? Tie ti-ar ajuta cu ceva?

[Higgs]

Da. As vrea sa stiu daca acea demonstratie e facuta bine. Eu sunt destul de convins de ce zice acolo. Dar acum ca ai scos in evidenta ca intr-un gaz real nu se intampla asa ceva, mi se pare putin dubioasa demonstratia respectiva.

[mircea_p]

OK, da referinta sau linkul. Sau e dintr-o carte?

[Higgs]

Este dintr-o carte. Iata mai jos, cuvant cu cuvant, ceea ce scrie acolo:

Stim ca un gaz aflat intr-un cilindru ca cel din figura (nu mai deenez figura) exercita o presiune asupra pistonului. Teoria moleculara interpreteaza presiunea nu ca pe o forta statica, ci ca pe un efect emdiu al multor lovituri minuscule produse de ciocnirile moleculelor cu pistonul. AStfel, daca pistonul este impins spre stanga de un resort, ne asteptam ca el sa nu ramana in repaus, ci ca sa oscieleze usor in jurul unei pozitii medii, ca si cum ar fi bombardat cu o ploaie de gloante trase intamplator. Tocmai aceste ciconiri moleculare intamplatoare, care nu se echilibreaza in fiecare moment, sunt cele carora li se datoreaza miscare browniana a particulelor aflate in suspensie.

Prespupunem ca gazul este compus dintr-un numar mare de molecule, avand toatea ceeasi masa m si miscandu-se in cilindru cu viteze orientate intamplator, avand marimi care difera de la o molecula la alta. Fie m masa moleculei si u componenta vitezei pe axa ox. Atunci cand consideram toate moleculele, media componentelor pe axa y nu se schimba prin ciocnirea cu pistonul deoarece in medie gazul ca intreg nu se deplaseaza pe verticala. Vom presupune deci ca, in timpul ciocnirii, componenta y a vitezei fiecare molecule nu se schimba. De asemenea identificam energia interna a gazului cu suma energiilor cinetice ale moleculelor lui. Deoarece energia interna ramane constanta daca gazul este izolat, energia cinetica medie a moleculelor este constanta. Presupunem deci ca energia cinetica a oricarei molecule ete constanta intr-o ciocnire cu peretii adica ciocnirile sunt perfect elastice. Deci marimea vitezei u este aceeasi inainte si dupa ciocnire si, deoarece omponenta y ramane neschimbata, marimea componentei x este de asemenea neschimbata dar de sens contrar.

Forta medie exercitata asupra pistonului de cater o molecual poate fi calculata punand forta medie egala cu viteza de schimbare a impulsului.   Deoarece componenta x a vitezei moleculei trece de la +u la -u la fiecare ciocnire, marimea variatiei impulsului la fiecare ciocnire este 2mu. Pentru a gasi forta medie in timpul ciconirii, ar trebui sa ipartim variatia impulsului la durata ciocnirii. Dar, dupa ce s-a ciocnit o data de piston, molrvuls trebuie sa se deplaseze pana la celalalt capat al cilindrului si inapoi, inainte de a se ciocni din nou, si in acest timp nu exercita nici o forta asupra pistonului. Pentru a gasi media in timp corecta a fortei trebuie sa mediem pe timpul total dintre ciocniri. Cand molecula se deplaseaza la celalalt capat al cilindrului si inapoi, marimea vitezei sale pe axa x ramane constanta. Daca l este lungimea cilindrului, timpul pentru a realiza acest drum este:

[tex] t=\frac{2l}{u}[/tex]

si forta medie exercitata asupra pistonului de catre o molecula este:

forta medie= vaitezamedie de variatie a impulsului=[tex]\frac{mu^2}{l}[/tex]

Consideram acum alte molecule: 2,3 etc. cu vitezele [tex] u_2, u_3[/tex], etc. Forta medie exercitata de fiecare este data de o expresie asemanatoare celei din ecuatia anterioara, deci:

forta medie=[tex] \frac{m}{l}(u_1^2 +u_2^2+...+)[/tex]

Presiunea medie este egala cu forta medie toatala impartita la aria pistonului S, astfel ca:

[tex]p= \frac{m}{V}(u_1^2 +u_2^2+...)[/tex].

Fie N numarul total de molecule. Valoarea media a patratelor vitezelor moleculelor pe axa x este:

[tex]\overline{u_x^2}=\frac{u_1^2 +u_2^2+...}{N}[/tex]

Ecuatia presiunii se poate deci scrie:

[tex] p=\frac{Nm\overline{u_x^2}}{V}[/tex]

Marimea vitezei rezultante v este data de:

[tex] u^2= u_x^2+u_y^2+u_z^2[/tex], si mediined peste toate moleculele: [tex] \overline{u^2}=\overline{u_x^2}+\overline{u_y^2}+\overline{u_z^2}[/tex]

Dar, doearece directiile x, y si z sunt toate echivalente,

[tex]\overline{u_x^2}=\overline{u_y^2}=\overline{u_z^2}[/tex], deci:[tex] \overline{u^2}=3\overline{u_x^2}[/tex]

si ecuatia devine:

[tex]PV=\frac{1}{3}Nm\overline{u_2}=(\frac{2}{3}N)(\frac{1}{2}m\overline{u^2})[/tex]



Restul am inteles. Punem in concodranta legile teoretice cu cele experimentale si obtinem expresia pentru energia interna.  Am copiat mot-a-mot continutul cartii. Singura chestie care o inteleg la modul intuitiv dar nu as putea sa o explic este de ce "cele trei directii sunt echivalente". "Ciudatenia demonstratiei" este acolo unde consideram ca toate moleculele se comporta la fel si obtinem acea expresie a fortei medii. La asta te refereai si tu, nu?

[mircea_p]

Dar, dupa ce s-a ciocnit o data de piston, molrvuls trebuie sa se deplaseze pana la celalalt capat al cilindrului si inapoi, inainte de a se ciocni din nou, si in acest timp nu exercita nici o forta asupra pistonului. Pentru a gasi media in timp corecta a fortei trebuie sa mediem pe timpul total dintre ciocniri. Cand molecula se deplaseaza la celalalt capat al cilindrului si inapoi, marimea vitezei sale pe axa x ramane constanta. Daca l este lungimea cilindrului, timpul pentru a realiza acest drum este:

[tex] t=\frac{2l}{u}[/tex]

si forta medie exercitata asupra pistonului de catre o molecula este:

forta medie= vaitezamedie de variatie a impulsului=[tex]\frac{mu^2}{l}[/tex]

echivalente". "Ciudatenia demonstratiei" este acolo unde consideram ca toate moleculele se comporta la fel si obtinem acea expresie a fortei medii. La asta te refereai si tu, nu?

Multumesc pentru efortul facut de a copia textul.
Tot nu ai spus de unde este. E un manual?

In general, pana la pasajul in rosu, mi se pare OK. De acolo incepe ceva ce in engleza se numeste "hand waving", adica niste asumtii si manipulari matematice pentru a obtine un rezultat dorit intr-un mod neriguros, daca nu chiar gresit (rezultatul final fiind insa OK).
Banuiesc ca "molvrs" ar fi molecule.
Ceea ce am pus in rosu nu e nici adevarat pentru un gaz in conditii normale si nici necesar pentru a obtine formula presiunii.

Miscarea unei molecule oarecare in gaz e un "random walk", intre ciocniri succesive. Timpul necesar unei molecule sa ajunga la peretele opus nu este dat de d/v unde v este viteza moleculei. Sigur, cu exceptia cazurilor in care drumul liber mediu este de ordinul dimeniunii vasului. Ceea ce se intampla in incintele cu vacuum ultra-inalt.

Presupunerea ca la echilibru toate moleculele se comporta la fel in medie nu e ciudata. Asta e partea de statistica a teoriei cinetice.

Revenind la formula presiunii, poti gasi un calcul care nu foloseste presupunerea asta (care pare scoasa din burta )in manualul de a 10-a dinainte de 90. E la inceputul capitolului 4, scris de D. Borsan de la Facultatea de fizica. Pe vremea aia manualele de fizica erau scrise de fizicieni. Nu stiu daca si acum.

[Higgs]

Iti multumesc pentru raspuns. Partea in rosu mi s-a parut intotdeauna ireala. Legat de acea demonstratie, ai putea sa ma ajuti? Detii cumva manualul cu pricina si poti posta aici demonstratia, daca nu este prea mult? Imi cer scuze pentru eventualele greseli de ortografie. Legat de comportarea statistica, am inceput sa citesc al 5-lea volum de la Berkley. Si am inceput sa inteleg. Este incredibil de bun cursul.

[HarapAlb]

(...)
Forta medie exercitata asupra pistonului (*) de cater o molecual poate fi calculata punand forta medie egala cu viteza de schimbare a impulsului.  (...) Pentru a gasi forta medie (**) in timpul ciconirii, ar trebui sa ipartim variatia impulsului la durata ciocnirii. Dar, dupa ce s-a ciocnit o data de piston, molrvuls trebuie sa se deplaseze pana la celalalt capat al cilindrului si inapoi, inainte de a se ciocni din nou, si in acest timp nu exercita nici o forta asupra pistonului. Pentru a gasi media in timp corecta a fortei (*) trebuie sa mediem pe timpul total dintre ciocniri.
(...)

Pasajul asta este destul de incalcit. Atentie ca forta ce actioneza asupra moleculei nu este egala cu forta ce actioneaza asupra unui perete, cand vorbim de ciocniri.

//calcul eliminat pentru ca nu era corect//

In textul respectiv cred ca e vorba de o exprimare neriguroasa si de aceea pot aparea confuzii.


In cazul general, cand nu vrem sa consideram timp de ciocnire infinit de mic, forte medie o putem scrie astfel:

[tex]F_{mediu}=\frac{1}{2t_\ast}\int_{0}^{2t_\ast}F_{perete}(t)dt[/tex]

insa stim ca [tex]F_{perete}(t)[/tex] este zero cand nu are loc ciocnirea. Considerand timpul de ciocnire [tex]\Delta t_{ciocnire}[/tex] valoarea medie devine

[tex]F_{mediu} = \frac{1}{2t_\ast}\int_{0}^{\Delta t_{ciocnire}}\frac{dp_{perete}}{dt}dt[/tex], in continuare folosind conservarea impulsului scriem

[tex]F_{mediu}=\frac{1}{2t_\ast}\int_{0}^{\Delta t_{ciocnire}}\frac{dp_{molecula}}{dt}dt=\frac{1}{2t_\ast}(p_{molecula}({\footnotesize \rm dupa ciocnire}) - p_{molecula}({\footnotesize \rm inainte de ciocnire}))=\frac{mu^2}{l}[/tex]

Dupa cum se observa forta medie este data de variatia impulsului moleculei impartita la intervalul dintre ciocniri cu peretele, desi la prima vedere nu este deloc intuitiv cum se ajunge la aceasta formula.


Edit: calculul in care apare functia lui Dirac nu este corect, lipsesc niste factori.
Edit2: am revazut calculul cu functia delta si matematic era gresit, am hotarat sa-l elimin.

[mircea_p]

Atentie ca forta ce actioneza asupra moleculei nu este egala cu forta ce actioneaza asupra unui perete, cand vorbim de ciocniri.

Ce alte forte mai consideri aici in afara interactiunii molecula-perete?

[HarapAlb]

Atentie ca forta ce actioneza asupra moleculei nu este egala cu forta ce actioneaza asupra unui perete, cand vorbim de ciocniri.

Ce alte forte mai consideri aici in afara interactiunii molecula-perete?

E vorba de dependenta in timp si de valoarea medie, molecula isi schimba de doua ori impulsul (ciocneste doi pereti) in timp ce un perete isi modifica o singura data impulsul.