Autor Subiect: Matrice si determinanti (Citit de 5444 ori)

foton01 · « : Decembrie 22, 2012, 05:32:58 p.m. »

Salut!
Zilele acestea am dat peste mai multe probleme cu determinanti. Toate aveau ceva legat de $det(A^{2}+AB+B^{2})$ sau $det(A^{2}-AB+B^{2})$ . Este vreo metoda speciala cu care se rezolva tipul acesta de probleme? Au vreo scriere aparte acesti determinanti? Am sa va scriu cele doua problme pentru a exemplifica mai bine.
1.Fie $A,B \in M_3(R)$ singulare cu proprietatile $AB=BA$ , $det(A-B)=1$ $det(A+B)=3.$ Calculati $det(A^{2}-AB+B^{2}$
2.Fie $A,B$ doua matrice patratice de ordin trei cu elemente intregi cu proprietatea ca:
$AB=BA$ si $det(A^{2}-AB+B^{2})-det(A^{2}+AB+B^{2})+2=6det(AB).$
Sa se arate ca $det(A-B)=0$ .

Imi puteti da niste idei la aceste probleme va rog ?

Mai am si o a 3-a problema care nu are legatura cu cele doua dar nu prea am idei nici aici

3.Demonstrati ca daca $A,B$ sunt matrici patrate ce comuta si care au elemente numere naturale, atunci $det(A^{2}+B^{2})$ NU poate lua valoarea 2012.

Imi cer scuze ca sunt atatea probleme dar inca nu am invatat pe deplin cum sa lucrez cu determinanti

Multumesc !

zec · « **Răspuns #1 :** Decembrie 23, 2012, 09:30:45 a.m. »

Sunt grele si nu au o particularitate anume.Doar ca la rezolvare trebuie luat in considerare toate datele care le prezinta problemele.De exemplu la 1 matrici singulare inseamna ca au determinaint nul.La problema 2 au elemente numere intregi deci asta inseamna ca valorile determinantilor sunt numai numere intregi.Faptul ca sunt de ordin 3 si la 1 si la 2 e posibil sa iei in considerare matrice .
Unde ai gasit problemele?

foton01 · « **Răspuns #2 :** Decembrie 23, 2012, 03:02:23 p.m. »

Citat din: zec din Decembrie 23, 2012, 09:30:45 a.m.

Unde ai gasit problemele?

sunt dintr-o culegere mai veche pentru olimpiada

zec · « **Răspuns #3 :** Decembrie 26, 2012, 05:43:27 p.m. »

Am o demonstratie pentru problema 1.Probabil ca dupa ce vei vedea rezolvarea iti vei da seama de dificultatea ei.Apropo asa ca fapt mi-a luat ceva timp de gandire.
Fie $P(x)=|A+xB|$ si avem conform ipotezei $gradP\le 3;P(0)=0;P(1)=3;P(-1)=1$ pe de alta parte coeficientul lui $x^3$ este detB=0 care se remarca usor in modul cum se calculeaza un determinant in general.
detA=detB=0 deoarece zice in ipoteza matrici singulare.
Astfel P(x) e un polinom de grad 2 scriind $P(x)=ax^2+bx+c$ afli imediat din conditiile date ca $P(x)=2x^2+x$ .
Calculam acuma $|A^2+B^2|=|A+iB||A-iB|=P(i)P(-i)=(-2+i)(-2-i)=5$ (aici folosim faptul ca A si B comuta)
Fie $G(x)=|A^2+xAB+B^2|$
Asemanator cu ideea de la P(x) gradul lui G este maxim 2 intrucat coeficientul lui x³ este detAB=detAdetB=0
Avem G(0)=5; G(-2)=det(A-B)²=(det(A-B))²=1 si analog G(2)=9
Fie G(x)=ax²+bx+c obtinem c=5 imediat
si 4a-2b+5=1;4a+2b+5=9 de unde a=0 si b=2 astfel G(x)=2x+5 iara determinantul cautat este G(-1)=3 .Raspuns 3

zec · « **Răspuns #4 :** Decembrie 27, 2012, 11:43:53 a.m. »

Problema 3.
Ideea demonstratiei se bazeaza pe urmatorul fapt:
Se stie ca $det{A^2+B^2}\ge 0$ daca A si B comuta demonstratia se bazeaza pe urmatorul fapt. $det{\overline A}=\overline {|A|}$ unde $A\in M_n(C)$ .
Nu dau demonstratia dar ca fapt nu e grea se bazeaza pe definitia generala a determinantului si proprietati ale conjugatei unui numar complex.
Astfel $det{A^2+B^2}=det{A+iB}det{A-iB}=det{A+iB}\overline{|A+iB|}=det{|A+iB|}$ unde la final intelegem modul de numar complex din determinant.
Deci $det{A^2+B^2}=x^2+y^2$ unde x,y sunt partea reala respectiv partea imaginara a lui det(A+iB) evident ca x si y sunt numere intregi.
Acuma nu ramane de aratat decat ca ecuatia $x^2+y^2=2012$ nu are solutii intregi.
Genul de ecuatie se bazeaza pe ideea de resturi patratice. $x^2$ poate fi de forma 4k sau 4k+1.Dar 2012 e de forma 4k asta inseamna ca nu putem avea decat 4k+4k=2012 deci x par si y par scriem x=2u y=2v si ecuatia devine $u^2+v^2=503$ dar 503 e de forma 4k+3 si nu poate fi suma de 2 numere de forma 4k sau 4k+1 deci ecuatia data nu are solutii.

foton01 · « **Răspuns #5 :** Decembrie 27, 2012, 01:42:13 p.m. »

Multumesc mult pentru ajutor

Autor Subiect: Matrice si determinanti (Citit de 5444 ori)

foton01

Matrice si determinanti

zec

Răspuns: Matrice si determinanti

foton01

Răspuns: Matrice si determinanti

zec

Răspuns: Matrice si determinanti

zec

Răspuns: Matrice si determinanti

foton01

Răspuns: Matrice si determinanti