Welcome, Guest. Please login or register.

Autor Subiect: Ecuatie cu doua necunoscute  (Citit de 10511 ori)

0 Membri şi 1 Vizitator vizualizează acest subiect.

Offline A.Mot-old

  • Senior
  • ****
  • Mesaje postate: 1079
  • Popularitate: +13/-57
Ecuatie cu doua necunoscute
« : Septembrie 28, 2011, 10:01:22 a.m. »
Sa se rezolve in multimea numerelor intregi ecuatia x2-10y2-10y=4.Eu ma gandesc ca trebuie sa calculez pe y in functie de x si de aici rezulta ca trebuie ca 10x2-15 sa fie un patrat perfect adica 10x2-15=a2;eu am gasit x=2 si a=5 dar aceasta solutie duce la faptul ca y=0.Poate cineva sa dea vreo solutie generala a ecuatiei 10x2-15=a2 astfel incat y sa fie numar intreg?
Adevărul Absolut Este Etern!

Offline Electron

  • Veteran
  • *****
  • Mesaje postate: 8404
  • Popularitate: +245/-217
Răspuns: Ecuatie cu doua necunoscute
« Răspuns #1 : Septembrie 28, 2011, 10:54:47 a.m. »
Care e interesul practic al acestei ecuatii? Ce problema vrei sa rezolvi?

e-
Don't believe everything you think.

Offline A.Mot-old

  • Senior
  • ****
  • Mesaje postate: 1079
  • Popularitate: +13/-57
Răspuns: Ecuatie cu doua necunoscute
« Răspuns #2 : Septembrie 29, 2011, 08:12:49 a.m. »
Care e interesul practic al acestei ecuatii? Ce problema vrei sa rezolvi?
e-
Dar de ce trebuie neaparat ca o o ecuatie sa aiba un interes practic si nu unul teoretic sau ambele interese?Eu vreau sa rezolv aceasta ecuatie si daca cineva ma poate ajuta ii multumesc anticipat. ???
Adevărul Absolut Este Etern!

Offline Electron

  • Veteran
  • *****
  • Mesaje postate: 8404
  • Popularitate: +245/-217
Răspuns: Ecuatie cu doua necunoscute
« Răspuns #3 : Septembrie 29, 2011, 10:53:24 a.m. »
Dar de ce trebuie neaparat ca o o ecuatie sa aiba un interes practic si nu unul teoretic sau ambele interese?
Nu e neaparat, eram doar curios.


e-
Don't believe everything you think.

Offline sicmar

  • Junior
  • **
  • Mesaje postate: 134
  • Popularitate: +2/-0
Răspuns: Ecuatie cu doua necunoscute
« Răspuns #4 : Septembrie 29, 2011, 05:03:25 p.m. »
Sa se rezolve in multimea numerelor intregi ecuatia x2-10y2-10y=4.Eu ma gandesc ca trebuie sa calculez pe y in functie de x si de aici rezulta ca trebuie ca 10x2-15 sa fie un patrat perfect adica 10x2-15=a2;eu am gasit x=2 si a=5 dar aceasta solutie duce la faptul ca y=0.Poate cineva sa dea vreo solutie generala a ecuatiei 10x2-15=a2 astfel incat y sa fie numar intreg?

Ecuaţia x2-10y2-10y=4 este reductibilă la o ecuaţie de tip Pell.

Se rezolvă, algoritmic, în mai mulţi paşi.

Primii doi paşi au ca scop ajungerea la o ecuaţie de tipul: x2-Dy2=A, cu A şi D întregi şi D pozitiv, liber de pătrate.

1. Se scapă de termenul în y, forţând introducerea lui "sub pătrat".

2x2-5(4y2+4y+1)+5=8 şi
2x2-5(2y+1)2=3

2. Se forţează introducerea "sub pătrat" a coeficientul lui x2.

(2x)2-10(2y+1)2=6

Prin notarea u=2x, v=2y+1 se obţine ecuaţia:
u2-10v2=6  (1)

Din soluţiile ecuaţei (1) doar cele pentru care u este par duc la soluţii ale ecuaţiei iniţiale.
(Dacă u este par atunci automat v este impar)

După rezolvarea ecuaţiei (1) soluţiile ecuaţiei iniţiale se determină astfel:
\left{\array{<br />x&=&\frac{u}2\\<br />y&=&\frac{v-1}2}<br />

Paşii 3 şi 4 au ca scop reducerea ecuaţiei (1) la o ecuaţie Pell, adică de forma: x2-Dy2=1, cu D întreg, pozitiv, liber de pătrate.

3. Se găseşte o soluţie particulară a ecuaţiei (1).
În cazul nostru (foarte simplu) aceasta este:
u0=4, v0=1
Nu întotdeauna ecuaţia x2-Dy2=A are soluţii în numere întregi. Dacă are soluţii atunci o soluţie particulară se determină prin încercări. Se poate demonstra, folosind fracţiile continue, că numărul încercărilor este finit.

4. Asociezi ecuaţiei (1) ecuaţia Pell corespunzătoare.

(Aceasta se obţine din ecuaţia (1) prin înlocuirea termenului liber cu 1.)

a2-10b2=1  (2)

Dacă a, b este o soluţie a ecuaţiei (2) şi u0, v0 este o soluţie particulară a ecuaţiei (1) atunci
u=au0-10bv0 şi v=av0-bu0 este soluţie a ecuaţiei (1). (Verificarea comportă doar calcule elementare.)
Mai mult, dacă a, b parcurg toate soluţiile ecuaţiei (2) atunci u, v determinaţi ca mai sus parcurg toate soluţiile ecuaţiei (1).

În cazul nostru soluţile ecuaţiei (1) se obţin din cele ale ecuaţiei (2) astfel:
\left{\array{<br />u&=&4a - 10b\\<br />v&=&a - 4b}<br />

Paşii 5 şi 6 au ca scop găsirea soluţiei ecuaţiei Pell.

5. Se determină cea mai mică soluţie pozitivă a ecuaţiei (2) (numită soluţia fundamentală).
Ea se determină prin dezvoltarea în fracţie continuă a lui \sqr{10}.

În cazul nostru ea este
a0=19, b0=6

(Nu-mi cereţi să fac dezvoltarea că nici nu ştiu cum să scriu aşa ceva în LaTex.)

6. Toate soluţiile an, bn pozitive ale ecuaţiei (2) se pot pune sub forma:
a_n+\sqr{10}b_n=(a_0+\sqr{10}b_0)^n, unde a_0, b_0 este soluţia fundamentală.

În cazul nostru avem:
a_n+\sqr{10}b_n=(19+6\sqr{10})^n

Există şi relaţia:
a_n-\sqr{10}b_n=(19-6\sqr{10})^n
uşor verificabilă prin înmulţirea cu precedenta.

Din aceste două relaţii se deduc:
a_n=\frac{(19+6\sqr{10})^n+(19-6\sqr{10})^n}2
b_n=\frac{(19+6\sqr{10})^n-(19-6\sqr{10})^n}{2\sqr{10}}

şi extinzând la numere întregi avem soluţia generală a ecuaţiei (2):
a={\pm}\frac{(19+6\sqr{10})^n+(19-6\sqr{10})^n}2
b=\frac{(19+6\sqr{10})^n-(19-6\sqr{10})^n}{2\sqr{10}}
cu n întreg (nu neapărat pozitiv).
(Nu este necesar semnul în faţa fracţiei corespunzătoare lui b pentru că ea parcurge şi valorile negative, atunci când n este negativ.)

Deşi în mod uzual se renunţă la semne, de această dată n-o vom face pentru că ecuaţia iniţială nu este simetrică în variabila y şi odată "pierdute" semnele sunt greu de regăsit.

Paşii 7-9 duc acum de la suluţiile ecuaţiei Pell la soluţiile ecuaţiei iniţiale.

7. În acord cu cele de la punctul 4 de mai sus se determină soluţiile ecuaţiei (1):

\left{\array{<br />u&=&{\pm}4\frac{(19+6\sqr{10})^n+(19-6\sqr{10})^n}2 - 10\frac{(19+6\sqr{10})^n-(19-6\sqr{10})^n}{2\sqr{10}}\\ <br />v&=&{\pm}\frac{(19+6\sqr{10})^n+(19-6\sqr{10})^n}2 - 4\frac{(19+6\sqr{10})^n-(19-6\sqr{10})^n}{2\sqr{10}}}<br />

8. În acord cu punctul 2 de mai sus se determină soluţiile ecuaţiei iniţiale:

\left{\array{<br />x&=&{\pm}2\frac{(19+6\sqr{10})^n+(19-6\sqr{10})^n}2 - 5\frac{(19+6\sqr{10})^n-(19-6\sqr{10})^n}{2\sqr{10}}\\ <br />y&=&{\pm}\frac{(19+6\sqr{10})^n+(19-6\sqr{10})^n}4 - 2\frac{(19+6\sqr{10})^n-(19-6\sqr{10})^n}{2\sqr{10}}-\frac12}<br />

9. În final se "cosmetizează" rezultatul:

\left{\array{<br />x=\frac{({\pm}4-\sqr{10})(19+6\sqr{10})^n+({\pm}4+\sqr{10})(19-6\sqr{10})^n}4}\\<br />y=\frac{({\pm}5-2\sqr{10})(19+6\sqr{10})^n+({\pm}5+2\sqr{10})(19-6\sqr{10})^n-10}{20}<br />

Se arată destul de simplu că pentru orice întreg n avem soluţii întregi.


10. Dacă se vrea şi soluţie pentru 10x2-15= a2, cum această ecuaţie se obţine din ecuaţia iniţială prin transformarea a=10y+5, în mod automat din soluţiile găsite mai sus, prin aceaşi transformare se obţin soluţiile noii ecuaţii.

Avem,
\left{\array{<br />x=\frac{({\pm}4-\sqr{10})(19+6\sqr{10})^n+({\pm}4+\sqr{10})(19-6\sqr{10})^n}4}\\<br />a=\frac{({\pm}5-2\sqr{10})(19+6\sqr{10})^n+({\pm}5+2\sqr{10})(19-6\sqr{10})^n}{2}<br />
sunt soluţiile generale ale acestei ecuaţii.

Aici se observă că pentru n negativ se obţin aceleaşi soluţii ca pentru n pozitiv dar cu semnul schimbat astfel se verifică faptul că odată cu soluţia (x, a) se obţine şi soluţia (-x, -a) etc.

Note.
Rezolvarea ecuaţiilor de tip Pell nu mai comportă nici un fel de probleme teoretice. Calculul numeric aferent este însă laborios, aşa cum se vede mai sus.

Mi-a făcut plăcere să mă aplec asupra acestei probleme întrucât mi-a trezit amintiri vechi.

Primul contact cu ecuaţia lui Pell l-am avut în vacanţa dintre clasa a VII-a şi a VIII-a, citind o carte a Floricăi T. Câmpan. Era o carte de popularizare a matematicii, prin prezentarea unor probleme celebre. Acolo se ajungea la această ecuaţie pornind de la problema boilor lui Arhimede.

În anul I de facultate am cumpărat dintr-un anticariat ediţia din 1913 a cărţii lui Oskar Perron "Die Lehre von den Kettenbruchen", în care erau tratate fracţiile continue şi ecuaţia lui Pell şi care m-a familiarizat cu subiectul. În acea perioadă Calude era asistent la cursul de informatică şi a dat ca temă să se facă un program care să calculeze radicalul dintr-un număr. În loc să fac un program simplu, aplicând metodele uzuale de interpolare, am folosit fracţiile continue. (Fracţiile continue dau cea mai bună aproximare, prin numere raţionale, a radicalilor.) Calude a apreciat abordarea şi "m-a împins de la spate" în cizelarea ei până am ajuns cu ea la o sesiune de comunicări ştiinţifice, la Iaşi. Eram singurul student din anul I acolo. De atunci, mereu m-am întors cu plăcere la fracţii continue şi la ecuaţiile de tip Pell.
« Ultima Modificare: Septembrie 29, 2011, 09:46:12 p.m. de sicmar »

Offline zec

  • Experimentat
  • ***
  • Mesaje postate: 504
  • Popularitate: +49/-15
Răspuns: Ecuatie cu doua necunoscute
« Răspuns #5 : Septembrie 29, 2011, 08:50:42 p.m. »
Tu practic ai predat un curs intreg aici si te felicit.Despre ecuatia lui Pell imi aduc aminte din facultate de la teoria numerelor curs facut cu regretatul L.Panaitopol si stiu ca se demonstra pentru D liber de patrate faptul ca ecuatia lui Pell admite o infinitate de solutii.
 

Offline A.Mot-old

  • Senior
  • ****
  • Mesaje postate: 1079
  • Popularitate: +13/-57
Răspuns: Ecuatie cu doua necunoscute
« Răspuns #6 : Septembrie 30, 2011, 08:02:15 a.m. »
Sa se rezolve in multimea numerelor intregi ecuatia x2-10y2-10y=4.Eu ma gandesc ca trebuie sa calculez pe y in functie de x si de aici rezulta ca trebuie ca 10x2-15 sa fie un patrat perfect adica 10x2-15=a2;eu am gasit x=2 si a=5 dar aceasta solutie duce la faptul ca y=0.Poate cineva sa dea vreo solutie generala a ecuatiei 10x2-15=a2 astfel incat y sa fie numar intreg?

Ecuaţia x2-10y2-10y=4 este reductibilă la o ecuaţie de tip Pell.

Note.
Rezolvarea ecuaţiilor de tip Pell nu mai comportă nici un fel de probleme teoretice. Calculul numeric aferent este însă laborios, aşa cum se vede mai sus.

Mi-a făcut plăcere să mă aplec asupra acestei probleme întrucât mi-a trezit amintiri vechi.

Primul contact cu ecuaţia lui Pell l-am avut în vacanţa dintre clasa a VII-a şi a VIII-a, citind o carte a Floricăi T. Câmpan. Era o carte de popularizare a matematicii, prin prezentarea unor probleme celebre. Acolo se ajungea la această ecuaţie pornind de la problema boilor lui Arhimede.

În anul I de facultate am cumpărat dintr-un anticariat ediţia din 1913 a cărţii lui Oskar Perron "Die Lehre von den Kettenbruchen", în care erau tratate fracţiile continue şi ecuaţia lui Pell şi care m-a familiarizat cu subiectul. În acea perioadă Calude era asistent la cursul de informatică şi a dat ca temă să se facă un program care să calculeze radicalul dintr-un număr. În loc să fac un program simplu, aplicând metodele uzuale de interpolare, am folosit fracţiile continue. (Fracţiile continue dau cea mai bună aproximare, prin numere raţionale, a radicalilor.) Calude a apreciat abordarea şi "m-a împins de la spate" în cizelarea ei până am ajuns cu ea la o sesiune de comunicări ştiinţifice, la Iaşi. Eram singurul student din anul I acolo. De atunci, mereu m-am întors cu plăcere la fracţii continue şi la ecuaţiile de tip Pell.

Multumesc foarte mult!Intr-adevar artificiul de calcul duce la o ecuatie de tip Pell.Acum am sa vad daca expresia E=26y2+26y+12 este un patrat perfect pentru orice y care a rezultat din acea ecuatie Pell.
Adevărul Absolut Este Etern!

Offline A.Mot-old

  • Senior
  • ****
  • Mesaje postate: 1079
  • Popularitate: +13/-57
Răspuns: Ecuatie cu doua necunoscute
« Răspuns #7 : Septembrie 30, 2011, 08:03:13 a.m. »
Dar de ce trebuie neaparat ca o o ecuatie sa aiba un interes practic si nu unul teoretic sau ambele interese?
Nu e neaparat, eram doar curios.


e-
Are legatura cu o alta problema..........
Adevărul Absolut Este Etern!