Ştiri:

Vă rugăm să citiţi Regulamentul de utilizare a forumului Scientia în secţiunea intitulată "Regulamentul de utilizare a forumului. CITEŞTE-L!".

Main Menu

Cateva definitii si exemple din teoria multimilor si relatia de ordine.

Creat de zec, August 20, 2011, 09:52:08 PM

« precedentul - următorul »

0 Membri şi 1 Vizitator vizualizează acest subiect.

zec

 Ceea ce vreau sa explic are un element fundamental in ceea ce reprezinta bazele matematicii.
Din punct de vedere istoric ,teoria multimilor sa fundamentat destul de tarziu.Cel care a luminat aceasta teorie a fost Cantor care avea sa si sufere din aspectul acesta si abia spre finalul vietii i sau recunoscut rezultatele.Una din aspectele lui a fost ceea legata de infinituri si in special pe afirmatia ca exista infinit mai mare decat alt infinit care din punct de vedere filozofic era relationata cu existenta unui alt dumnezeu peste dumnezeu.
Nu am sa fac din acest post un referat si de aceea nu am sa prezint chiar orice definitie.
Relatia de ordine este relatia care satisface 3 proprietati reflexiva,tranzitiva si antisimetrica si o notam in general cu [tex] \le [/tex] ,totusi proprietatea de reflexivitate  se poate omite si atunci vorbim de o relatie de ordina stricta.
Antisimetria se defineste astfel :Daca a[tex] \le [/tex]b si b[tex] \le [/tex]a atunci a=b
O multime impreuna cu o relatie de ordine se numeste multime ordonata.
Exemple notam cu P(A) multimea partilor lui A .P(A) impreuna cu incluziunea e o multime ordonata si aici in acest exemplu avem situatia in care nu orice 2 multimi se pot compara sau zis altfel au o relatie de ordine.
O multime ordonata in care orice 2 elemente a si b avem a[tex] \le [/tex]b sau b[tex] \le [/tex] se numeste total ordonata.
O multime ordonata se numeste inductiv ordonata daca orice submultime total ordonata a sa  este majorata si aceasta definitie e foarte importanta avand legatura cu Lema lui Zorn.
Lema lui Zorn Orice multime inductiv ordonata are un element maximal.
Situatiile de multimi inductiv ordonate sunt importante  si le intalnim cu relatia de incluziune mai mult care e o relatie de ordine pe multimi.De aceea lema lui Zorn apare destul de des utilizata in demonstratii de existenta a unui element maximal pe la teorii algebrice de gen :Grup maximal,inel maximal etc
O alta relatie de ordine mai putin obisnuita e relatia de divizibilitate impreuna cu multimea numerelor intregi.
Pentru definitia elementului maximal,majorant(minorant),supremum(infimum) sau superior(inferior) nu o putem face decat pe submultimi dintr-o multime mai mare ordonata.
Fie X aceea multime mai mare ordonata si A o submultime a sa.
Atunci un element a din A se numeste maximal(minimal) daca pentru x din X si x[tex]\le[/tex]a(x[tex]\ge[/tex]a) rezulta x=a.PE scurt se subintelege ideea ca  e maximal(minimal) daca nu exista alt element mai mare sau mai mic decat el in A.
Un element x din X se numeste majorant(minorant) al multimii A daca pentru orice a din A avem a[tex]\le[/tex]x ( a[tex] \ge [/tex]x).
Daca multimea majornatilor(minorantilor) a unei multimi A admite un element minimal(maximal) atunci acel element e numit superior(inferior).


AlexandruLazar

Foarte interesant postul tău :). Acum niște ani de zile parcursesem și eu o carte destul de groasă, oarecum tangențială la domeniul meu de activitate, care includea și câte ceva despre relații, și știu că am fost absolut fascinat să descopăr cât de adâncă este de fapt această problemă a relațiilor. Dacă țin bine minte, clasa relațiilor de ordine este de fapt foarte largă -- include și alte relații binare legate de problema ordonării -- relații de preordine (care sunt doar reflexive și tranzitive), ordini parțiale stricte sau nu și așa mai departe.

zec

Citat din: AlexandruLazar din August 20, 2011, 10:55:47 PM
Foarte interesant postul tău :). Acum niște ani de zile parcursesem și eu o carte destul de groasă, oarecum tangențială la domeniul meu de activitate, care includea și câte ceva despre relații, și știu că am fost absolut fascinat să descopăr cât de adâncă este de fapt această problemă a relațiilor. Dacă țin bine minte, clasa relațiilor de ordine este de fapt foarte largă -- include și alte relații binare legate de problema ordonării -- relații de preordine (care sunt doar reflexive și tranzitive), ordini parțiale stricte sau nu și așa mai departe.
Cam asa ceva.
As vrea sa mai precizez un lucru.Prin anumite referate o sa gasiti axioma lui Cantor si a lui Arhimede ele sunt axiome ale numerelor reale si trebuiesc tratate ca atare.
Cat despre acest capitol sunt multe de spus si adus in completare.
Care se ofera poate sa continue si sa discute despre cardinalul unei multimi,numere cardinale,axioma alegeri si axioma lui Zermelo .Ordine lexicografica si cum o folism sa scriem un polinom cu mai multe nedeterminate in modul ordonat.
Problema: scrieti urmatoarele monoame in ordine lexicografica si dupa grad:x2yz2,xyz,yz2,x3yz,xyz3,y3z,y4z2