Frânghia

[Abel Cavaşi]

Ba nu! Partea care atârnă are o acceleraţie care depinde de inerţia părţii aflate în mişcare pe masă, iar inerţia părţii în mişcare pe masă depinde de forma curbei iniţiale pe care se află frânghia.

Din acest motiv, numai cazul radial seamănă cu ecuaţia rachetei, nu şi cel încolăcit.

[Alexandru Rautu]

Ba nu! Partea care atârnă are o acceleraţie care depinde de inerţia părţii aflate în mişcare pe masă, iar inerţia părţii în mişcare pe masă depinde de forma curbei iniţiale pe care se află frânghia.

Din acest motiv, numai cazul radial seamănă cu ecuaţia rachetei, nu şi cel încolăcit.

Nope, gresesti ... sau te complici foarte mult ... cazul radial ... e cel mai usor caz... la fel si aici ... vezi si textul problemei care am postato.. spune ca sfoara respectiva se afla in jurul gaurii...

EDIT:  Se poate presupune ca sfoara cade pur si simplu prin gaura... si partea care atarna ii creste masa in timp ...

[Abel Cavaşi]

Un alt caz de tipul ,,încolăcit" simplu (la care cred că se referă şi enunţul problemei) este cel în care frânghia (lanţul) este înfăşurată strâns, fără spaţii goale între spirele rezultate. În acest caz, nicio parte a frânghiei nu este în repaus. Mai precis, putem considera că frânghia reprezintă un disc compact de masă şi rază variabile ce se roteşte cu o acceleraţie unghiulară crescătoare.

Atunci, de data aceasta, forţa de greutate a frânghiei căzute contribuie cu un moment de rotaţie variabil ce trebuie calculat.

[ionut]

     Buna,
    Incerc si eu sa vad daca am inteles cazul franghiei incolacite. Deci neglijam toate frecarile, dimensiunile, rezistente la indoire, torsiuni, etc. In acest caz, calitativ putem remarca ca franghia care atarna deja va trebui sa cheltuie o parte din energia s-a potentiala pe accelerarea portiunii de franghie care sta sa cada. Pentru rezolvarea problemei putem folosi conservarea energiei care trebuie sa fie valabila la orice moment de timp. Trebuie sa remarcam ca folosirea echilibrului fortelor in acest caz al problemei duce la niste contradictii pentru ca in problema presupunem ca portiunea dX de sfoara care tocmai cade este accelerata instantaneu la valoarea acceleratiei pe care sfoara o are la un moment dat. In realitate nu se intampla tocmai asa.
    Dar sa trecem la rezolvarea problemei. La un moment arbitrar de timp, t, o portiune x din sfoara a cazut prin gaura. Ecuatia conservarii energiei se scrie astfel:


    Acum, daca vrem sa fim rigurosi si sa rezolvam cazul general, adica in momentul initial avem o portiune de sfoara ce atarna, iar viteza initiala este 
   Asta va duce la urmatoarea ecuatie:
  , care dupa reducerea tuturor termenilor devine
 
  Partea o notam cu C si este constanta.
  Deci vom avea:
    Mai departe obtinem ca timpul care se scurge pana la parasirea mesei de catre al doilea capat al sforii este dat de:
   
    Eu nu am fost foarte bun la matematica dar stiu ca asta este o integrala hyper geometrica. Se poate rezolva, dar eu nu ma incumet. In schimb vreau sa fac ceea ce fizicienii fac de obicei. In cazul nostru, valorile lui si  sunt foarte mici daca am inteles corect problema. Ba mai mult, putem modela problema in asa fel incat primul capat al sforii sa stea putin suspendat deasupra gaurii din masa dar la acelasi nivel cu masa. In acest caz, ecuatia conservarii energiei devine:
   
  Aceasta ecuatie se reduce la , adica 
   
   Aici se poate face o schimbare de variabila   care va face ca integrala noastra sa devina
   
    Deci,
     
    Se poate nota aici ca timpul de cadere pt un corp care cade liber de la aceeasi inaltime ar fi care e mai scurt decat timpul pentru sfoara.
    Ok, acum folosim ecuatia lui Galilei si obtinem si timpul din etapa a doua de cadere:
 
    poate fi calculat din conditia  si o obtinem ca fiind . Pentru cine a urmarit rezolvarea mea pentru cazul cu sfoara intinsa pe masa poate vedea ca valoarea acestei viteze este aceeasi.
    Acum rezolvam ecuatia de gradul 2, alegem valoarea pozitiva pentru si obtinem:
   
   In final,
   
      Probabil ca Alex va rezolva problema pentru cazul cel mai greu. Eu am dat doar solutia cea mai usoara si care aproximeaza rezultatul foarte bine in conditiile date de problema (asa cum a fost ea enuntata).

[Alexandru Rautu]

Un alt caz de tipul ,,încolăcit" simplu (la care cred că se referă şi enunţul problemei) este cel în care frânghia (lanţul) este înfăşurată strâns, fără spaţii goale între spirele rezultate. În acest caz, nicio parte a frânghiei nu este în repaus. Mai precis, putem considera că frânghia reprezintă un disc compact de masă şi rază variabile ce se roteşte cu o acceleraţie unghiulară crescătoare.

Atunci, de data aceasta, forţa de greutate a frânghiei căzute contribuie cu un moment de rotaţie variabil ce trebuie calculat.

Si daca-l consider un "lichid foarte dens" care curge prin gaura respectiva gresesc cu ceva... putem face multe analogii, dar nu cred ca vor contribui prea mult aceste lucruri de care vorbiti, cred ca pot fi neglijate. Abel, daca ai timp, as fi curios sa vad abordarea problemei asa cum spui tu.. 

[Alexandru Rautu]

Buna Ionut,

Multumesc pentru rezolvarea ta, dar am o singura intrebare: Esti sigur ca forta care actioneaza asupra franghiei este conservativa, esti sigur ca se conserva "energia" ?     

I love this problem 

[ionut]

Buna Ionut,
Multumesc pentru rezolvarea ta, dar am o singura intrebare: Esti sigur ca forta care actioneaza asupra franghiei este conservativa, esti sigur ca se conserva energia ?

Salut,
   Eu stiu ca energia se conserva mereu , totul e sa iei toti factorii in considerare . Mi-a scapat ceva? Eu fac destul de des greseli asa ca as aprecia daca mi-ai spune. Dupa cum vezi, eu am avut o abordare statica a problemei in care am folosit doar conservarea energiei.

[Alexandru Rautu]

Buna Ionut,
Multumesc pentru rezolvarea ta, dar am o singura intrebare: Esti sigur ca forta care actioneaza asupra franghiei este conservativa, esti sigur ca se conserva energia ?

Salut,
   Eu stiu ca energia se conserva mereu , totul e sa iei toti factorii in considerare . Mi-a scapat ceva? Eu fac destul de des greseli asa ca as aprecia daca mi-ai spune. Dupa cum vezi, eu am avut o abordare statica a problemei in care am folosit doar conservarea energiei.

Energia se conserva mereu, dar daca de exemplu daca avem o forta de frecare, variatia energiei potentiale nu va fi la fel cu cea cinetica... asta intreb si aici, daca nu cumva neglijam vreun aspect de acest gen ?  Pana la urma nu are importanta daca folosim conservarea energiei sau legiile lui Newton, rezultatul trebuie sa fie acelasi...

[ionut]

Da, se neglijeaza frecarea, am uitat sa precizez asta!
Franghia este asezata pe masa.. nu trebuie neaparat sa fie asezata in linie dreapta!

Tu ai spus ca nu se considera frecarea in problema asta.
   Probabil ca te referi la frecare intr-un mod mai general si atunci eu nu imi dau seama. Ar trebui sa mai fie un termen care sa absoarba sau sa produca energie cinetica pe care eu nu il vad deocamdata (daca el exista). Daca asta este explicatia, atunci sunt sincer curios sa o vad. Chiar nu am nici o idee in momentul asta.
   M-am mai gandit la posibilitatea ca viteza sforii sa nu fie uniforma pe toata lungimea ei, dar in cazul nostru (sfoara ideala care nu se intinde) asta nu e posibil.

[Electron]

Ionut, eu sunt perfect de acord cu rezolvarea ta. Eu nu m-am gandit la schimbarea de variabila din integrala aceea ...

e-

[ionut]

  Multumesc Electron,
   Totusi la varianta cu viteza initiala si un x_0 initial din sfoara atarnat m-am impotmolit (lene) in rezolvarea integralei.
    Deasemena Alex a mai spus ceva de un termen neconservativ si momentan nu am nici o idee care ar putea fi in conditiile problemei, daca el exista.

[Abel Cavaşi]

Am impresia că situaţia în care frânghia este încolăcită complet (cazul frânghiei disc) este identică cu situaţia când frânghia este aşezată radial, având în vedere că toată frânghia are aceeaşi viteză şi că nu intervine forţa de frecare dintre frânghie şi frânghie.

[Electron]

    Deasemena Alex a mai spus ceva de un termen neconservativ si momentan nu am nici o idee care ar putea fi in conditiile problemei, daca el exista.

Ionut, in coditiile date, nici eu nu vad vreu motiv sa consideram ca avem "pierderi" de energie. Fizic vorbind, e nevoie de o multime de aporoximatii pentru a putea evalua ce se intampla (frecare zero, grosime neglijabila, flexibilitate perfecta etc). Matematic vorbind, cu un calculator suficient de puternic se poate analiza orice caz general, fara neglijarea acestor parametri, dar interesul fizic al problemei este la nivel de proces, nu altceva.

Astept si eu sa vad ce factor "neconservativ" propune Alexandru.

e-

[Abel Cavaşi]

Deasemena Alex a mai spus ceva de un termen neconservativ si momentan nu am nici o idee care ar putea fi in conditiile problemei, daca el exista.

Ionuţ şi Electron, nu cumva el se datorează faptului că prin cădere (în cazul radial) se efectuează un lucru mecanic de rotaţie al frânghiei cu un unghi de 90^o, prin care aceasta este adusă de la poziţia orizontală la poziţia verticală? Aţi ţinut seama de acest lucru mecanic?

[ionut]

Am impresia că situaţia în care frânghia este încolăcită complet (cazul frânghiei disc) este identică cu situaţia când frânghia este aşezată radial, având în vedere că toată frânghia are aceeaşi viteză şi că nu intervine forţa de frecare dintre frânghie şi frânghie.

Abel, exista diferente. Timpul de cadere este diferit. In cazul sforii incolacite nu mai avem acea divergenta la valori mici ale vitezei initiale.