Frânghia

Electron · Iunie 13, 2008, 03:32:01 PM

Citat din: Alexandru Rautu din Iunie 11, 2008, 10:44:03 PM
Asadar,

${\tau_1=\sqrt{\frac{L}{g}} \quad ln\left ( \frac{L}{x_0} \quad + \quad \sqrt{\frac{L^2}{x_0^2}\quad-\quad 1\quad} \right )}$

Cum

${x_0 \ll L}$

atunci

${\tau_1\approx\sqrt{\frac{L}{g}} \quad \left ( 1\quad -\quad \frac{x_0}{2L}\quad \right )\approx\sqrt{\frac{L}{g}}}$

Alexandru, imi explici cum ai facut aceasta arpoximatie? Adica, limita primei expresii cand x₀ tinde la 0 e infinita, dar expresia aproximata are limita finita ...

e-

Alexandru Rautu · Iunie 13, 2008, 03:41:43 PM

Ok, inainte de-a trece la cazul sforii "incolacite", as vrea sa retific cateva aspecte si unele greseli pe care le-am facut!

Citat din: Alexandru Rautu din Iunie 11, 2008, 10:44:03 PM

Cum

${x_0 \ll L}$

atunci

${\tau_1\approx\sqrt{\frac{L}{g}} \quad \left ( 1\quad -\quad \frac{x_0}{2L}\quad \right )\approx\sqrt{\frac{L}{g}}}$

Am gresit teribil aici... aproximatia ar fi adevarata doar daca ${x_0 \approx 0.75L}$

Nu stiu cum sa fac aproximatia, dar daca am considera ca doar ${1 %}$ din ${L}$ atarna initial prin gaura, atunci ${\tau \approx 1.7 \quad s}$ $:-\$

Alexandru Rautu · Iunie 13, 2008, 03:44:58 PM

Sa rezumam rezultatele pe care le avem:

${\tau(v_0)\quad=\quad{\frac{v_0}{g}\quad \left (\sqrt{1+\frac{3gL}{v_0^2}}\quad-\quad\sqrt{1+\frac{gL}{v_0^2}} \quad \right )}\quad+\quad{\sqrt{\frac{L}{g}} \quad ln\left ( \sqrt{\frac{gL}{v_0^2}} \quad +\quad \sqrt{1+\frac{gL}{v_0^2}} \quad \right )}}$

Pentru ${v_0\rightarrow 0}$ avem ${\tau(v_0)\rightarrow \infty}$ , adica franghia nu se va misca de pe masa.

Avem graficul:

${\tau(x_0)\quad=\quad \frac{1}{g} \quad \left ( \sqrt{3gL- \quad \frac{gx_0^2}{L}\quad} \quad - \quad \sqrt{gL - \quad \frac{gx_0^2}{L}\quad} \right ) \quad + \quad \sqrt{\frac{L}{g}} \quad ln\left ( \frac{L}{x_0} \quad + \quad \sqrt{\frac{L^2}{x_0^2}\quad-\quad 1\quad} \right )}$

Pentru ${x_0\rightarrow 0}$ avem ${\tau(x_0)\rightarrow \infty}$ , adica franghia va ramane pe masa.

Avem graficul:

Abel Cavaşi · Iunie 13, 2008, 03:52:00 PM

Citat din: ionut din Iunie 13, 2008, 11:56:33 AM
De la ce inaltime cade liber franghia ta?

Am presupus că frânghia verticală are capătul inferior la 1 m, iar capătul superior la 2 m.

CitatNu cred ca e nici un mister aici. Franghia de pe masa are in prima etapa a miscarii sale o acceleratie mai mica decat cea gravitationala. Diferenta intre timpi se datoreaza probabil vitezei initiale sau diferentei de inaltime. Nu stiu exact ce date numerice ai folosit tu.

Tocmai asta este interesant: deşi acceleraţia frânghiei aflată pe masă este mai mică, totuşi, ea ajunge mai repede la sol decât frânghia verticală.

EDIT:
Se pare că graficele lui Alex clarifică ,,misterul" acestei probleme

.

Alexandru Rautu · Iunie 13, 2008, 03:58:24 PM

Citat din: Abel Cavaşi din Iunie 13, 2008, 03:52:00 PM
Tocmai asta este interesant: deşi acceleraţia frânghiei aflată pe masă este mai mică, totuşi, ea ajunge mai repede la sol decât frânghia verticală.

Ajunge mai repede pentru ca in aproximatia mea "tampita" ${x_0 \approx 0.75 m}$

... nu stiu ce-am gandit eu atunci $:-\$

Abel Cavaşi · Iunie 13, 2008, 04:12:28 PM

Citat din: Electron din Iunie 13, 2008, 10:08:15 AMAm analizat si cazul "incolacit" (adica sfoara sa fie dispusa inasa fel incat sa nu se miste decat partea care a cazut prin orificiu). Notez cu A primul capat (care cade primul) si cu B celalat capat (care cade ultimul). De asemenea, putem sa ne imaginam sfoara ca fiind o serie de mase dm (segmente de lungime dx) care sunt legate intre ele, in asa fel incat fiecare impune "vecinului" miscarea sa. Diferenta cu primul caz (cel "radial") este ca, acum capatul B al sforii ramane in repaus atata timp cat restul sforii inca nu a trecut prin orificiu.

Cazul frânghiei încolăcite este mult mai complex. Putem să aşezăm frânghia pe masă în foarte multe feluri şi chiar putem considera că frânghia are o anumită grosime.

ionut · Iunie 13, 2008, 04:30:19 PM

Buna Alex,
In modul meu de rezolvare am facut aproximatia ca viteza initiala este foarte mica si am exclus-o din ecuatia conservarii energiei. Am presupuso doar foarte mica si pozitiva pentru a scapa de divergenta. La sfarsit am demonstrat totusi ca viteza in momentul cand franghia a parasit in totalitate masa nu depinde de aceasta viteza initiala (cu conditia ca ea sa fie mica), rezultatul era V(t1) = radical(gL) daca mai tii minte.
Daca nu ma insel, in primul tau mod de rezolvare, in care ai folosit ecuatia conservarii energiei ai obtinut rezultatul $v(\tau_1) = \sqrt(v_0^2 + gL)$ ceea ce in cazul problemei noastre (impuls initial foarte mic) e perfect ok.
Pentru "greseala" pe care zici ca ai facut-o eu cred ca nu trebuie sa te impacientezi prea tare

. Te confrunti cu aceeasi divergenta cu care m-am confruntat si eu. Incearca sa ignori faptul ca \tau_1 este puternic dependent de x_0 la valori mici pentru ca viteza finala nu este dependenta de x_0

. Totul e sa faci o aproximatie rezonabila atunci cand trebuie ca sa iti usurezi situatia.

ionut · Iunie 13, 2008, 04:39:42 PM

Citat din: Abel Cavaşi din Iunie 13, 2008, 03:52:00 PM
Citat din: ionut din Iunie 13, 2008, 11:56:33 AM
De la ce inaltime cade liber franghia ta?
Am presupus că frânghia verticală are capătul inferior la 1 m, iar capătul superior la 2 m.
CitatNu cred ca e nici un mister aici. Franghia de pe masa are in prima etapa a miscarii sale o acceleratie mai mica decat cea gravitationala. Diferenta intre timpi se datoreaza probabil vitezei initiale sau diferentei de inaltime. Nu stiu exact ce date numerice ai folosit tu.
Tocmai asta este interesant: deşi acceleraţia frânghiei aflată pe masă este mai mică, totuşi, ea ajunge mai repede la sol decât frânghia verticală.
EDIT:
Se pare că graficele lui Alex clarifică ,,misterul" acestei probleme .

Abel, cred ca e ceva gresit. Daca franghia de pe masa pleaca din repaus (sau cu o viteza foarte mica) atunci al doilea capat ar trebui sa ajunga jos mai tarziu decat al doilea capat al franghiei verticale descrise de tine. Dar cred ca Alex a facut calculele pentru o viteza initiala a franghiei destul de mare si probabil de asta franghia de pe masa ajunge mai repede.

Electron · Iunie 13, 2008, 04:59:09 PM

Citat din: ionut din Iunie 13, 2008, 04:30:19 PM
Pentru "greseala" pe care zici ca ai facut-o eu cred ca nu trebuie sa te impacientezi prea tare . Te confrunti cu aceeasi divergenta cu care m-am confruntat si eu. Incearca sa ignori faptul ca \tau_1 este puternic dependent de x_0 la valori mici pentru ca viteza finala nu este dependenta de x_0 . Totul e sa faci o aproximatie rezonabila atunci cand trebuie ca sa iti usurezi situatia.

E drept ca viteza finala (la desprinderea ultimei bucati de pe masa) are limita finita cand x₀ tinde la zero, dar noi cautam aici timpul de cadere, care tinde la infinit in acele conditii (cum e si normal).

Totul depinde de conditiile initiale, pentru ca, analizand calitativ, pentru x₀=0 si v₀=0 franghia nu va cadea de pe masa niciodata (timp "infinit")

e-

Abel Cavaşi · Iunie 14, 2008, 12:47:19 AM

Am impresia că cel mai simplu caz al frânghiei încolăcite este cazul în care frânghia este o linie frântă aşezată pe suprafaţa mesei, astfel încât ea este alcătuită din două porţiuni: o porţiune radială care porneşte din orificiul de cădere şi are lungimea r şi o porţiune rămasă de lungime l care face un unghi ascuţit cu suportul celeilalte porţiuni.

Mavriche Adrian · Iunie 14, 2008, 04:36:46 PM

Citat din: Electron din Iunie 13, 2008, 04:59:09 PM
Citat din: ionut din Iunie 13, 2008, 04:30:19 PM
Pentru "greseala" pe care zici ca ai facut-o eu cred ca nu trebuie sa te impacientezi prea tare . Te confrunti cu aceeasi divergenta cu care m-am confruntat si eu. Incearca sa ignori faptul ca \tau_1 este puternic dependent de x_0 la valori mici pentru ca viteza finala nu este dependenta de x_0 . Totul e sa faci o aproximatie rezonabila atunci cand trebuie ca sa iti usurezi situatia.
E drept ca viteza finala (la desprinderea ultimei bucati de pe masa) are limita finita cand x₀ tinde la zero, dar noi cautam aici timpul de cadere, care tinde la infinit in acele conditii (cum e si normal).

Totul depinde de conditiile initiale, pentru ca, analizand calitativ, pentru x₀=0 si v₀=0 franghia nu va cadea de pe masa niciodata (timp "infinit")

Salut Electron,

Sunt de acord cu tine.Daca nu exista acel "mic" impuls initial,timpul de cadere tinde la infinit.Sfoara ramane in repaus.
Eu am facut urmatorul rationament,pe care te rog sa-l analizezi (va rog sa-l analizati):
Am presupus ca am doua greutati egale,fiecare cat jumatate din greutatea franghiei.Ele sunt legate intre ele cu o ata foarte subtire,ata care are o masa neglijabila.
Ata impreuna cu greutatile,formeaza un ansamblu lung de un metru (lungimea franghiei).
Pozitionand acest ansamblu ca in exemplul cu funia,eu zic ca ar trebui sa obtinem acelasi rezultat (asta pentru-ca nu avem frecare).
Daca la momentul initial dam acel mic impuls,prima greutate (pe care eu am considerat-o primul capat al funiei) trage a doua greutate (al doilea capat al funiei) si ii imprima si acesteia aceiasi acceleratie (prin intermediul firului de ata care le leaga) pe care o capata ea(acceleratie gravitationala).
Prin urmare cand a doua greutate ajunge in dreptul gauri,va avea deja o acceleratie.Aceasta acceleratie se dubleaza (pentru aceasta greutate)atunci cand ea atinge solul (exact ce spunea Ionut,ca timpul de cadere pentru capatul al doilea este mai mic in comparatie cu timpul de cadere a primului capat).Greutatii a doua i se dubleaza acceleratia,deorece la acceleratia pe care o are deja (are deja acceleratie gravitationala) i se adauga alta acceleratie gravitationala.
Daca rationamentul meu e bun,atunci putem considera ca a doua greutate cade de la o inaltime de 2m.In acest caz chiar nu ne intereseaza cum este franghia dispusa,radial sau incolacita.

Cu stima,A.M.

Electron · Iunie 14, 2008, 04:58:49 PM

Citat din: Mavriche Adrian din Iunie 14, 2008, 04:36:46 PM
Am presupus ca am doua greutati egale,fiecare cat jumatate din greutatea franghiei.Ele sunt legate intre ele cu o ata foarte subtire,ata care are o masa neglijabila.
Ata impreuna cu greutatile,formeaza un ansamblu lung de un metru (lungimea franghiei).
Pozitionand acest ansamblu ca in exemplul cu funia,eu zic ca ar trebui sa obtinem acelasi rezultat (asta pentru-ca nu avem frecare).

Pana aici, ok.

CitatDaca la momentul initial dam acel mic impuls,prima greutate (pe care eu am considerat-o primul capat al funiei) trage a doua greutate (al doilea capat al funiei) si ii imprima si acesteia aceiasi acceleratie (prin intermediul firului de ata care le leaga) pe care o capata ea(acceleratie gravitationala).

Aici e greseala (si nu ma refer doar la gramatica

). Prima bucata nu poate sa o accelereze pe a doua cu acceleratia gravitationala, deoarece forta care trage de toata sfoara (in cazul "radial" presupus de tine) nu este greutatea totala a sforii, ci doar a partii trecute prin orificiu. Ca atare, atata timp cat mai e vreo bucata de sfoara in miscare pe masa, acceleratia sforii e mai mica decat g.

e-

Abel Cavaşi · Iunie 15, 2008, 08:48:38 AM

Citat din: Mavriche Adrian din Iunie 14, 2008, 04:36:46 PMPozitionand acest ansamblu ca in exemplul cu funia,eu zic ca ar trebui sa obtinem acelasi rezultat (asta pentru-ca nu avem frecare).

Te înşeli amarnic! Mai mult, dai cu piciorul în tot ce au realizat ,,predecesorii" tăi, fără să-i fi înţeles măcar!

Păi cum să obţinem acelaşi rezultat? Frânghia nu poate fi modelată cu două greutăţi, ci doar cu o infinitate de astfel de greutăţi, amplasate uniform de-a lungul frânghiei.

Abel Cavaşi · Iunie 15, 2008, 09:15:19 AM

Iată formularea precisă a problemei frânghiei (formulare care conţine atât cazul radial, cât şi cel încolăcit):

Dată fiind o frânghie de lungime ${\large{l}}$ şi densitate liniară constantă ${\large{\sigma}}$ aşezată pe o masă la înălţimea ${\large{h\ge l}}$ de-a lungul unei curbe plane de ecuaţie ${\large{\kappa=\kappa(s)}}$ (unde ${\large{\kappa}}$ este curbura curbei, iar ${\large{s}}$ este parametrul intrinsec al curbei), să se determine timpul în care frânghia ajunge complet la sol dacă este lăsată să cadă printr-un orificiu aflat pe masă.

Mavriche Adrian · Iunie 15, 2008, 12:58:07 PM

Citat din: Abel Cavaşi din Iunie 15, 2008, 08:48:38 AM
Citat din: Mavriche Adrian din Iunie 14, 2008, 04:36:46 PMPozitionand acest ansamblu ca in exemplul cu funia,eu zic ca ar trebui sa obtinem acelasi rezultat (asta pentru-ca nu avem frecare).
Te înşeli amarnic! Mai mult, dai cu piciorul în tot ce au realizat ,,predecesorii" tăi, fără să-i fi înţeles măcar!

Păi cum să obţinem acelaşi rezultat? Frânghia nu poate fi modelată cu două greutăţi, ci doar cu o infinitate de astfel de greutăţi, amplasate uniform de-a lungul frânghiei.

Salut Abel,

Daca avem o greutate sau o infinitate,rezultatul trebuie sa fie acelasi si asta pentru-ca nu conteaza "greutatea",acceleratia gravitationala este aceiasi (dupa cum tu bine ai spus).Cred ca acea densitate liniara constanta a fost introdusa ca o capcana.

Cu stima,A.M.

Ştiri:

Frânghia

Alexandru Rautu

Alexandru Rautu

Alexandru Rautu

ionut

ionut

Mavriche Adrian

Mavriche Adrian