Frânghia

Alexandru Rautu · Iunie 11, 2008, 06:59:28 PM

Citat din: Alexandru Rautu din Iunie 11, 2008, 06:36:51 PM
Forta care actioneza asupra bucatii de sfoara trecuta prin gaura este:

${F=-\frac{dE_p}{dx}}$

unde ${E_p(x)}$ este energia potentiala.

${F=-\Delta mg}$ ,

${\Delta m}$ fiind masa bucatii de sfoara trecuta prin gaura la un moment dat.

Cum ${\Delta m=\sigma x}$ , unde ${\sigma}$ este densitatea lineara a franghiei, iar masa totala a frânghiei este ${m=\sigma L}$ , atunci rezulta ca

${F=-\frac{mgx}{L}}$

Asadar,

${E_p(x)=\int_{0}^{E_p}dE_p=\int_{0}^{x}\frac{mgx}{L}dx=\frac{mgx^2}{2L}}$

Deoarece forta ${F}$ este o forta conservativa, avem ${\Delta E_c=\Delta E_p}$

${E_c(v)-E_c(v_0)=E_p(x)-E_p(0) \qquad \Longrightarrow \qquad \frac{1}{2}{mv^2}\quad - \quad\frac{1}{2}{mv_0^2}=\frac{mgx^2}{2L}}$

Asadar,

${v(x)=\sqrt{v_0^2+\frac{x^2g}{L}\quad}}$

Mi-a placut mai mult sa aflu viteza folosind energiile, dar se pot afla foarte simplu si cu legiile lui Newton..

Citat din: Abel Cavaşi din Iunie 11, 2008, 06:43:13 PM
Aşa, deci, Alex?! Hmmm... N-arată rău. Se vede că ai fost olimpic .

..vai de capu' meu ce olimpic am mai fost si eu

... in loc sa rezolv probleme si sa ma pregatesc serios pentru concurs, eu citeam despre TRS, "string theory" si etc... hmm

Va rog, sa verificati relatiile pentru ca e exclus sa fi gresit!

Electron · Iunie 11, 2008, 07:07:44 PM

Citat din: Alexandru Rautu din Iunie 11, 2008, 06:59:28 PM
Va rog, sa verificati relatiile pentru ca e exclus sa fi gresit!

Asta da greseala.

e-

Alexandru Rautu · Iunie 11, 2008, 07:20:26 PM

Citat din: Electron din Iunie 11, 2008, 07:07:44 PM
Citat din: Alexandru Rautu din Iunie 11, 2008, 06:59:28 PM
Va rog, sa verificati relatiile pentru ca e exclus sa fi gresit!
Asta da greseala.

...

am pierdut un "nu" pe drum

Alexandru Rautu · Iunie 11, 2008, 07:36:46 PM

Citat din: Alexandru Rautu din Iunie 11, 2008, 06:36:51 PM

${\tau={\frac{v_0}{g}\quad \left (\sqrt{1+\frac{3gL}{v_0^2}}\quad-\quad\sqrt{1+\frac{gL}{v_0^2}} \quad \right )}\quad+\quad{\sqrt{\frac{L}{g}} \quad ln\left ( \sqrt{\frac{gL}{v_0^2}} + \sqrt{1+\frac{gL}{v_0^2}} \quad \right )}}$

Pentru
${v_0 =\quad1 \quad ms^{-1}}$

avem ${\tau =0.815 \quad s}$

Alexandru Rautu · Iunie 11, 2008, 10:44:03 PM

Pentru ca nu-mi place sa am in relatiile mele termenul v₀, am incercat o noua abordare:

Folosind legiile lui Newton se poate arata ca

${a=\frac{gx}{L}}$

unde ${a}$ este acceleratia si ${x}$ este lungimea bucatii care atarna prin gaura.

${a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\quad \frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx}}$

De aici,

${v\frac{dv}{dx}=\frac{gx}{L} \qquad \Longrightarrow \qquad \int_{0}^{v}vdv=\int_{x_0}^{x}\frac{gx}{L}dx} \qquad \Longrightarrow \qquad \left [ \frac{v^2}{2} \right ]_0^v=\frac{g}{L}\left [ \frac{x^2}{2} \right ]_{x_0}^x \qquad \Longrightarrow \qquad v(x)=\sqrt{\quad \frac{g}{L} \quad \left ( x^2 \quad - \quad x_0^2\right ) \quad }$

unde ${x_0}$ este o fractiune mica din lungimea sforii care atarna initial prin gaura, pentru care ${v(x_0)=0}$ .

Cum
${v(x)=\frac{dx}{dt}\qquad \Longrightarrow \qquad \tau_1=\sqrt{\frac{L}{g}} \quad \int_{x_0}^{L}\frac{dx}{\sqrt{x^2-x_0^2}\quad}}=\sqrt{\frac{L}{g}}\quad\left [ ln \left (x\quad+\quad\sqrt{x^2\quad-\quad x_0^2 \quad} \right ) \right ]_{x_0}^L= \sqrt{\frac{L}{g}} \quad ln\left ( \frac{L}{x_0} \quad + \quad \sqrt{\frac{L^2}{x_0^2}\quad-\quad 1\quad} \right )$

Asadar,

${\tau_1=\sqrt{\frac{L}{g}} \quad ln\left ( \frac{L}{x_0} \quad + \quad \sqrt{\frac{L^2}{x_0^2}\quad-\quad 1\quad} \right )}$

Cum

${x_0 \ll L}$

atunci

${\tau_1\approx\sqrt{\frac{L}{g}} \quad \left ( 1\quad -\quad \frac{x_0}{2L}\quad \right )\approx\sqrt{\frac{L}{g}}}$

Cum
${v(L)=\sqrt{gL\quad - \quad \frac{gx_0^2}{L}\quad}}$

si

${L=\tau_2v(L)\quad +\quad \frac{1}{2}g\tau_2^2}$

rezulta ca

${\tau_2=\frac{1}{g} \quad \left ( \sqrt{3gL- \quad \frac{gx_0^2}{L}\quad} \quad - \quad \sqrt{gL - \quad \frac{gx_0^2}{L}\quad} \right )\approx\sqrt{\frac{L}{g}}\quad \left ( \sqrt{3} \quad - \quad 1 \right )}$

Asadar, timpul dupa care sfoara ajunge in totalitate pe podea este

${\tau=\tau_1+\tau_2=\sqrt{\frac{3L}{g}\quad}\approx 0.55 \quad s}$

ionut · Iunie 11, 2008, 10:49:35 PM

Buna Alex,

Mersi pentru rezolvarea care include si viteza initiala. Eu am presupus gresit ca as obtine niste ecuatii diferentiale mai ciudate si nu le-as putea rezolva, dar se pare ca nu a fost asa greu pana la urma. Rezultatul tau pentru viteza la momentul desprinderii totale a franghiei v(t₁) = radical (v₀² + gL) este forma mai generala pentru ce am obtinut eu, adica v(t₁) = radical(gL). In conditiile date de problema, adica un impuls foarte mic dat franghiei sau o fractie a franghiei mica lasata sa atarne, rezultatul meu tinde sa il aproximeze pe al tau pentru v₀² << gL

.

Alexandru Rautu · Iunie 11, 2008, 10:51:48 PM

Citat din: ionut din Iunie 11, 2008, 10:49:35 PM
Buna Alex,

Mersi pentru rezolvarea care include si viteza initiala. Eu am presupus gresit ca as obtine niste ecuatii diferentiale mai ciudate si nu le-as putea rezolva, dar se pare ca nu a fost asa greu pana la urma. Rezultatul tau pentru viteza la momentul desprinderii totale a franghiei v(t₁) = radical (v₀² + gL) este forma mai generala pentru ce am obtinut eu, adica v(t₁) = radical(gL). In conditiile date de problema, adica un impuls foarte mic dat franghiei sau o fractie a franghiei mica lasata sa atarne, rezultatul meu tinde sa il aproximeze pe al tau pentru v₀² << gL .

Stiu, toti meritam o bere

ionut · Iunie 11, 2008, 10:55:44 PM

Ok, fiecare dintre noi da cate o bere la toti ceilalti de pe topicul asta

Alexandru Rautu · Iunie 11, 2008, 11:01:44 PM

Citat din: ionut din Iunie 11, 2008, 10:55:44 PM
Ok, fiecare dintre noi da cate o bere la toti ceilalti de pe topicul asta

Bine, dar sa nu uitam ca asta e doar cazul franghiei asezate "radial"... sa vedem cine rezolva cazul sforii "incolacite", care dupa mine e mult mai greu

Electron · Iunie 12, 2008, 07:56:01 PM

Citat din: ionut din Iunie 11, 2008, 10:55:44 PM
Ok, fiecare dintre noi da cate o bere la toti ceilalti de pe topicul asta

Eu as recomanda sa aveti grija cu berile, sa nu se creada ca incurajati consumul excesiv de alcool, care dauneaza grav sanatatii...

e-

Mavriche Adrian · Iunie 12, 2008, 08:33:34 PM

Citat din: Alexandru Rautu din Iunie 11, 2008, 11:01:44 PM
Citat din: ionut din Iunie 11, 2008, 10:55:44 PM
Ok, fiecare dintre noi da cate o bere la toti ceilalti de pe topicul asta

Bine, dar sa nu uitam ca asta e doar cazul franghiei asezate "radial"... sa vedem cine rezolva cazul sforii "incolacite", care dupa mine e mult mai greu

Salut Alex,

Am si eu o intrebare pentru cazul radial.
Faptul ca primul capat trage accelerat si capatul "final",nu se poate considera ca avem de fapt un corp care cade de la 2m(2m minus capatul care este deja suspendat) si rezolvarea ar fi mult mai usoara?

Cu stima,A.M.

Abel Cavaşi · Iunie 12, 2008, 08:40:06 PM

Adrian, eşti pe drumul (bun?) pe care am mers şi eu înainte de a înţelege că frânghia aflată pe masă nu este acţionată de aceleaşi forţe ca şi frânghia verticală.

Abel Cavaşi · Iunie 13, 2008, 09:47:01 AM

Este interesant de observat că timpul de cădere a frânghiei aflate pe masă

Citat din: Alexandru Rautu din Iunie 11, 2008, 10:44:03 PMAsadar, timpul dupa care sfoara ajunge in totalitate pe podea este

${\tau=\tau_1+\tau_2=\sqrt{\frac{3L}{g}\quad}\approx 0.55 \quad s}$

este mai scurt decât timpul de cădere a frânghiei aflate în poziţie verticală

Citat din: Abel Cavaşi din Iunie 10, 2008, 08:17:40 AMDin această ecuaţie rezultă

${\large{t=\sqrt{\frac{2s}{g}}\approx \sqrt{\frac{4}{9,8}}\approx 0,6388\; sec.}}$

Oare ce semnificaţie fizică are acest fapt?

Electron · Iunie 13, 2008, 10:08:15 AM

Citat din: Alexandru Rautu din Iunie 11, 2008, 11:01:44 PM
sa vedem cine rezolva cazul sforii "incolacite", care dupa mine e mult mai greu

Am analizat si cazul "incolacit" (adica sfoara sa fie dispusa inasa fel incat sa nu se miste decat partea care a cazut prin orificiu). Notez cu A primul capat (care cade primul) si cu B celalat capat (care cade ultimul). De asemenea, putem sa ne imaginam sfoara ca fiind o serie de mase dm (segmente de lungime dx) care sunt legate intre ele, in asa fel incat fiecare impune "vecinului" miscarea sa. Diferenta cu primul caz (cel "radial") este ca, acum capatul B al sforii ramane in repaus atata timp cat restul sforii inca nu a trecut prin orificiu.

Analiza calitativa:

Consider ca la t0, sfoara este in repaus, si o bucatica infima dx (capatul A) este trecuta prin orificiu (datorita impulsului care a dezechilibrat sistemul), deci viteza initiala este nula.

La momentul t1, in care doar o fractiune f < 1 din sfoara a trecut prin orificiu, avem fractiunea f in miscare si fractiunea 1-f in repaus, deci conservarea energiei ne da relatia dintre fractiunea f si viteza v1 in acest moment.

Consideram momentul t2 in care ultima bucatica de sfoara (B) incepe sa cada, moment in care viteza sforii este v2.

In momentul t3 in care capatul B este inca in aer, si cade cu acceleratia gravitationala g (cadere libera cu viteza initiala v2)

Fie momentul t4 cel in care B ajunge la sol.

Analiza cantitativa:

Intervalul cautat este t4-t0.

Acum, pe intervalul (t0,t2) partea din sfoara care se misca nu este in cadere libera, dat fiind ca fiecare element care incepe sa cada (in afara de A) este antrenat cu viteza momentana a restului sforii (care a trecut deja prin orificiu) ceea ce face ca acceleratia partii mobile sa nu fie g ci ceva mai mica.
Pentru a afla durata t2-t0 trebuie sa gasim ecuatia de miscare a partii mobile, din care sa scoatem durata respectiva. Aici intervine ecuatia diferentiala neliniara mult temuta.

La momentul t2, in care toata sfoara este "suspendata in aer" (A a ajuns la sol si B incepe sa cada) viteza sforii (v2) este datorata energiei cinetice obtinuta prin "caderea" centrului de greutate al sforii pe distanta L/2. Asta rezulta direct din faptul ca la t0 sfoara era in intregime la inaltimea L, deci centrul sau de greutate era la distanta L de sol. In momentul t2, centrul de greutate al sforii este la distanta L/2 (dat fiind ca distributia de masa e liniara

).

Pentru intervalul (t2,t4) avem cadere libera pentru partea care e "in aer" (energia partii care deja a lovit solul se pierde prin degajare de caldura si emisie de unde sonore de ex

). Pentru a afla intervalul t4-t2, se poate folosi caderea libera a capatului B de la inaltimea mesei (L) cu viteza initiala v2. Viteza v2 o putem afla simplu (chiar daca nu stim durata t2-t0) din conservarea energiei intre momentele t0 si t2 (obtinem usor v2^2 = gL)

Apropo, pentru x < L, conservarea energiei ne da gx = v^2 (pentru intervalul t0,t2) care reprezinta ecuatia diferentiala neliniara (dat fiind ca v e derivata lui x in raport cu timpul) care, o data rezolvata, ne-ar permite gasirea duratei t2-t0.

Pentru a gasi durata T = t4-t2, folosim deci ecuatia L = v2*T + (g/2)*T^2 care pentru v2 calculat mai sus ne da solutia pozitiva T = (sqrt(3)-1)*sqrt(L/g)

Analiza mea cantiativa se opreste aici, fiind incompleta (lipseste estimarea duratei t2-t0).

e-

ionut · Iunie 13, 2008, 11:56:33 AM

Citat din: Abel Cavaşi din Iunie 13, 2008, 09:47:01 AM
Este interesant de observat că timpul de cădere a frânghiei aflate pe masă
Citat din: Alexandru Rautu din Iunie 11, 2008, 10:44:03 PMAsadar, timpul dupa care sfoara ajunge in totalitate pe podea este
${\tau=\tau_1+\tau_2=\sqrt{\frac{3L}{g}\quad}\approx 0.55 \quad s}$
este mai scurt decât timpul de cădere a frânghiei aflate în poziţie verticală
Citat din: Abel Cavaşi din Iunie 10, 2008, 08:17:40 AMDin această ecuaţie rezultă
${\large{t=\sqrt{\frac{2s}{g}}\approx \sqrt{\frac{4}{9,8}}\approx 0,6388\; sec.}}$
Oare ce semnificaţie fizică are acest fapt?

Buna Abel,
De la ce inaltime cade liber franghia ta? Nu cred ca e nici un mister aici. Franghia de pe masa are in prima etapa a miscarii sale o acceleratie mai mica decat cea gravitationala. Diferenta intre timpi se datoreaza probabil vitezei initiale sau diferentei de inaltime. Nu stiu exact ce date numerice ai folosit tu.

Ştiri:

Frânghia

Alexandru Rautu

Electron

Alexandru Rautu

Alexandru Rautu

Alexandru Rautu

ionut

Alexandru Rautu

ionut

Alexandru Rautu

Electron

Mavriche Adrian

Abel Cavaşi

Abel Cavaşi

Electron

ionut