Frânghia

[Electron]

La limita, se poate considera ca initial, o fractiune foarte mica din sfoara "atarna" prin orificiu, ceea ce ar fi suficient sa "declanseze" caderea, chiar daca viteza initiala e zero.

Desigur, Alexandru e cel care decide conditiile initiale.

Si inca o precizare: Pentru mine rezultat cantitativ este si cel care da formula de calcul a raspunsului, in care se poate inlocui fiecare valoare "data" in problema, pentru a calcula valoarea ceruta. Tot ce am scris eu pana acum este calitativ si nu contine formule de niciun fel.

e-

[Alexandru Rautu]

Pentru mine rezultat cantitativ este si cel care da formula de calcul a raspunsului, in care se poate inlocui fiecare valoare "data" in problema, pentru a calcula valoarea ceruta. Tot ce am scris eu pana acum este calitativ si nu contine formule de niciun fel.

Mi se pare foarte corect... valoare numerica conteaza mai putin...

[Abel Cavaşi]

Mi-am făcut ceva timp pentru a citi mai atent explicaţia lui Electron şi, în sfârşit, am înţeles şi eu ce am neglijat: tocmai inerţia frânghiei aflate pe masă. Am considerat că dacă nu contează masa, o putem considera chiar nulă, ceea ce este greşit . Felicitări lui Electron pentru profunzimea cu care a înţeles problema!

Ok, atunci, în cazul simplu al frânghiei ,,radiale", acceleraţia frânghiei de lungime , masă şi densitatea liniară constantă când a căzut cu o porţiune este



Restul ar cam trebui să rezulte de aici.

[Mavriche Adrian]

Aici, e o alta chestie care-mi sustine faptul ca problema era doar pentru cazul sforii "incolocite"... intradevar, avem nevoie sa cunoastem viteza initiala pentru cazul "radial"...

Nu stiu de unde ai scos timpul respectiv... dar iti pot spune ca viteza initiala este v₀ > 0

       Salut Alex,

    Sper sa nu te superi,dar cu sfoara "incolocita" sau nu,tu trebuie sa dai o bere la fiecare dintre cei ce "s-au chinuit" sa rezolve problema pusa de tine.Asta pentru-ca nu ai dat datele problemei complete.

         Cu stima,A.M.

   P.S.Primul rand il dai tu,urmatorul vedem noi cine.

[ionut]

   Buna,
   Nu prea stiu sa editez formule aici (poate imi spune cineva) asa ca o sa imi incerc si eu norocul pentru ca berea lui Alex ma tenteaza .
     Folosesc urmatoarele notatii:  L - lungimea sforii;  H - inaltimea mesei;  x(t) - fractia de sfoara care e suspendata vertical la un moment dat; g - acceleratia gravitationala; a(t) - acceleratia sforii la un moent dat; v(t) - viteza sforii la un moment dat. Consider aici ca inaltimea mesei H este mai mare sau egala decat lungimea sforii L astfel incat in momentul in care al doilea capat al sforii ajunge la gaura din masa, toata sfoara este suspendata.
     La orice moment de timp, t, cand sfoara nu a atins inca podeaua putem scrie urmatoarele egalitati:
1.) Conservarea energiei
     E(t=0) = E(t)  -->  E_p(t=0) + E_c(t=0) = E_p(t) + E_c(t)
       Asta inseamna:
      LgH = (L-x(t))gH + x(t)g(H-x(t)/2) + Lv(t)²/2;
      Aici consider cazul cand toata sfoara se misca (diferit de cazul cand sfoara de pe masa este incolacita). Observati ca am folosit faptul ca sfoara are o densitate lineara constanta si ca urmare densitatea s-a simplificat in toti termenii. Dupa un pic de algebra obtinem ecuatia urmatoare:
     x(t)²g = Lv(t)², adica  x(t) = radical(L/g)v(t)  (1)
     v(t) = dx(t)/dt  (2)
   Inlociund ecuatia (2) in ecuatia (1) obtinem urmatoarea ecuatie diferentiala:
      dt = radical(L/g) dx/x
   pe care daca o integram intre momentul initial si momentul cand toata sfoara a parasit masa o sa obtinem:
      T = radical(L/g) * Integrala (dx/x)_x(t=0)^L, x(t=0) este fractia de sfoara care se lasa suspendata la inceput pentru ca sfoara sa cada.
      Rezultatul este T = radical(L/g) * (ln(L) - ln(x(t=0))). Putem observa ca daca x(t=0) ar fi lasat zero atunci timpul de cadere ar deveni infinit, de aceea avem nevoie de acel mic impuls initial sau de atarnarea unei parti oricat de mici din sfoara.
2.) Cealalata egalitate pe care o putem folosi pentru rezolvarea problemei este echilibrul fortelor. La orice moment de timp putem scrie urmatoare egalitate:
       G(t) = F_i(t), unde G(t) este greutatea sforii care atarna, iar F_i(t) este inertia.
     Ecuatia de mai sus se expliciteaza astfel:
       x(t)g = La(t), unde a(t) este acceleratia
     Deci x(t) = (L/g)a(t), unde a(t) este a doua derivata in raport cu timpul a lui x(t). Ecuatia asta o sa ne ajute sa aflam viteza sforii in momentul cand aceasta a parasit complet masa.
      x(t) = (L/g) dV(t)/dt   ==>  x(t)dt = (L/g) dV(t);
     Acum folosim egalitatea de la punctul 1 care spune ca x(t) = radical(L/g) V(t). Facand inlocuirile obtinem:
     radical(L/g) V(t) dt = (L/g) dV(t) =>  dt = radical(L/g) dV(t)/dt. Integrand din nou intre momentul initial (unde V(t=0) este o constanta nenula) obtinem
         T = radical(L/g) [ln(V(T)) - ln(V(t=0))].  Il cunoastem pe T, asa ca ln(V(T)) = {T+radical(L/g)*ln(V(t=0)) } / {radical(L/g)}
    si in final obtinem pe V(T) = exp {{T+radical(L/g)*ln(V(t=0)) } / {radical(L/g)}}, unde V(t=0) poate fi obtinut din conditia x(t=0) = radical(L/g) V(t=0)

     Mai departe, daca nu ma insel miscarea sforii este accelerata cu acceleratia gravitationala pana ce ultimul capat al sforii atinge solul (daca ignoram tensiunile din sfoara). Deci acum e simplu, mai trebuie calculat timpul in care sfoara parcurge distanta H cu acceleratia g si cu viteza initiala V(T).
     Asta e raspunsul pe care il dau momentan. Sper sa nu fi gresit undeva (nu rezolv in fiecare zi ecuatii diferentiale din pacate ).

[Abel Cavaşi]

Eu zic că 90% din bere o merită Ionuţ  . (Poate 1% îmi daţi şi mie  . )

Edit:
OT
Ionuţ, dacă vrei să scrii formule în LaTeX, deocamdată cea mai bună metodă este cea sugerată de HarapAlb (pe care o folosesc şi eu), până când Adi va avea posibilitatea să implementeze o metodă independentă şi facilă.
EOT

[Alexandru Rautu]

Electron, Abel, Adi sau cine mai citeste topic-ul acesta, sunteti de acord cu demonstratia lui Ionut pentru cazul sforii asezate "radial" (adica in linie dreapta pe masa) ?

[ionut]

  OT:
    Abel, mersi pentru lamuriri.
  EOT.

    Am continuat putin calculele de mai sus si am ajuns la un rezultat interesant pentru viteza sforii in momentul cand aceasta a parasit in totalitate masa.
    Am inlocuit pe T in expresia lui V(T) si am obtinut urmatorul lucru:
       V(T) = exp{ [radical(L/g)*ln(L) - radical(L/g) ln(x(0)) + radical(L/g)*ln(V(0)]/[radical(L/g)] }
     V(0) = radical(g/L) * x(0)
     Dupa operatiile algebrice o sa vedem ca termenii care contin pe x(0) se anuleaza si o sa ramanem cu ceva de genul:
        V(T) = exp{ ln(L) + ln(radical(g/L)) } ceea ce duce la expresia finala V(T) = radical(gL) care nu depinde decat de lungimea sforii, nu si de conditia initiala.

[Abel Cavaşi]

Electron, Abel, Adi sau cine mai citeste topic-ul acesta, sunteti de acord cu demonstratia lui Ionut pentru cazul sforii asezate "radial" (adica in linie dreapta pe masa) ?

Da, eu sunt de acord, pentru că şi eu am ajuns la relaţia
, doar că nu am integrat-o corect şi n-am mai postat răspunsul complet.

[Alexandru Rautu]

   Integrand din nou intre momentul initial (unde V(t=0) este o constanta nenula) obtinem [...]

Asadar, V(t=0) este o constanta nenula... 

     La orice moment de timp, t, cand sfoara nu a atins inca podeaua putem scrie urmatoarele egalitati:
     E(t=0) = E(t)  -->  E_p(t=0) + E_c(t=0) = E_p(t) + E_c(t)   
     Asta inseamna:
     LgH = (L-x(t))gH + x(t)g(H-x(t)/2) + Lv(t)²/2;

Intrebarea mea este cum se face ca-n relatiile pentru coservarea energiilor E_c(t=0) = 0 ? 

[ionut]

    Buna Alex,

    Ai dreptate aici, si eu m-am gandit la asta dar exista o problema de interpretare aici. Daca as considera ca viteza la momentul initial este nula, atunci integrala in care calculez viteza la momentul T devine divergenta (ln(0) = -infinit).
    In prima integrala (rezolvata la punctul 1) problema acestei divergente am rezolvat-o considerand ca in starea initiala o fractie mica din sfoara este suspendata x(0), ceea este perfect ok. Fizic vorbind, nu avem nevoie de o viteza initiala pentru ca sfoara sa se miste, dar matematic ajungem la o divergenta. Totusi, in a doua mea postare, am dus calculele pana la capat si am calculat viteza in momentul desprinderii sforii si a reiesit ca aceasta viteza nu depinde de viteza initiala asa ca pot sa fac ca aceasta viteza initiala sa fie asimptotic mica in asa fel incat conservarea energiei sa nu fie afectata. Totusi trebuie notat ca aceasta viteza initiala depinde de fractia din sfoara lasata suspendata la inceput x(t=0) care este foarte mica (conform problemei).
     Este foarte probabil ca problema sa poata fi rezolvata mai elegant astfel incat sa se evite integralele divergente. Banuiesc ca ar trebui sa facem o "renormalizare" dar deocamdata nu stiu cum, asa ca sunt deschis la sugestii.

[Electron]

Calculele facute de Ionut pe baza energiilor sunt exact cele pe care le-am facut si eu, si vad ca a considerat la limta aceeasi situatie initiala, adica o fractiune minima care atarna, pentru a putea scrie Ec(0)=0.

e-

[ionut]

  Buna Electron,

    Asa este, insa pentru calcularea vitezei in momentul desprinderii totale a sforii de masa trebuie considerata deasemenea o viteza initiala cu toate ca nu este nevoie pentru ca sfoara sa inceapa sa se miste. Asta pentru a evita divergenta din integrala necesara calcularii acestei viteze. Rezultatul final nu depinde de viteza initiala aleasa(cu conditia ca aceasta sa respecte relatia x(t=0)=radical(L/g)V(t=0)) de aceea cred ca daca fractia x este infinitezimala atunci si viteza initiala este infinitezimala ceea ce face ca conservarea energiei sa nu fie afectata.
     Daca vrem sa complicam problema se poate lua in considerare in conservarea energiei faptul ca initial avem o viteza nenula si o fractie de sfoara suspendata dar obtinem niste ecuatii la care nu prea ma incumet .

[Alexandru Rautu]

Daca frânghia este asezata "radial":



Forta care actioneza asupra bucatii de sfoara trecuta prin gaura este:



unde este energia potentiala.

,

fiind masa bucatii de sfoara trecuta prin gaura la un moment dat.



Cum , unde este densitatea lineara a franghiei, iar masa totala a frânghiei este , atunci rezulta ca





Asadar,



Deoarece forta este o forta conservativa, avem



Deci,





Cum


unde este timpul cand franghia atinge podeaua (se afla in totalitate in aer, deoarece inaltimea mesei este egala cu cea a franghiei).



Deci, dupa momentul franghia este in cadere libera cu viteza initiala



parcurgand distanta

   sau   

de unde rezulta ca



Cum timpul total este atunci avem:

 

[Abel Cavaşi]

Aşa, deci, Alex?! Hmmm... N-arată rău. Se vede că ai fost olimpic  .