Functii clasa a IX-a

[justakid]

Buna, ati putea sa ma ajutati si pe mine cu o problema va rog?

Reprezentati grafic functia:

f:R->R
f(x)=max(3x^2-5x+2,x+2)

Nu prea inteleg cum sa ii fac reprezentarea grafica.. Am facut tabelul de semn si astfel am determinat ca f(x)=
x+2,x din [2/3;2]
3x^2-5x+2, x din (-inf;2/3) U (2,+inf)

Dar si de asta mi-am dat seama cam dubios..adica prin tabelul acela..si cateva incercari (1,9,-1,5...d-astea)..

Exista vreo alta metoda...? Si, cum il reprezint? Am luat 7 puncte:

A(0,2), B(2/3,8/3), C(1,3), D(2,4), E(-2,24), F(-1,10), G(3,14).. Intre punctele B si D functia e liniara ca e x+2, de asemenea B va fi minimul atins de f(x) si vor fi doua brate crescatoare care tind spre infinit.

[A.Mot-old]

Buna, ati putea sa ma ajutati si pe mine cu o problema va rog?

Reprezentati grafic functia:

f:R->R
f(x)=max(3x^2-5x+2,x+2)

Nu prea inteleg cum sa ii fac reprezentarea grafica.. Am facut tabelul de semn si astfel am determinat ca f(x)=
x+2,x din [2/3;2]
3x^2-5x+2, x din (-inf;2/3) U (2,+inf)

Dar si de asta mi-am dat seama cam dubios..adica prin tabelul acela..si cateva incercari (1,9,-1,5...d-astea)..

Exista vreo alta metoda...? Si, cum il reprezint? Am luat 7 puncte:

A(0,2), B(2/3,8/3), C(1,3), D(2,4), E(-2,24), F(-1,10), G(3,14).. Intre punctele B si D functia e liniara ca e x+2, de asemenea B va fi minimul atins de f(x) si vor fi doua brate crescatoare care tind spre infinit.

Ce problema este asta si de unde ai luat-o?Ce intelegi intelegi tu prin acel "max."?

[A.Mot-old]

Doua probleme pentru justakid:

1.-Sa se rezolve inegalitatea 3x²-5x+2>x+2.
2.-Sa se rezolve inegalitatea 3x²-5x+2<x+2.

[zec]

Ai putea apela chiar la metoda grafica .Deseneaza in acelasi sistem cartezian ambele functii.Ceea de grad 2 si ceea de grad 1 ,graficul functiei tale se obtine eliminand graficile care se situeaza in partea inferioara.

[justakid]

Doua probleme pentru justakid:

1.-Sa se rezolve inegalitatea 3x²-5x+2>x+2.
2.-Sa se rezolve inegalitatea 3x²-5x+2<x+2.

Ah! Si da ca f(x)=3x^2+5x+2,x apartine R-[-1/6,11/6] si x+2 pt x apartine [-1/6,11/6]. E bine?

[zec]

Doua probleme pentru justakid:

1.-Sa se rezolve inegalitatea 3x²-5x+2>x+2.
2.-Sa se rezolve inegalitatea 3x²-5x+2<x+2.

Ah! Si da ca f(x)=3x^2+5x+2,x apartine R-[-1/6,11/6] si x+2 pt x apartine [-1/6,11/6]. E bine?

Nu sunt astea valorile,ar trebui sa ai intervalul [0,2] in locul [-1/6,11/6]

[A.Mot-old]

Doua probleme pentru justakid:

1.-Sa se rezolve inegalitatea 3x²-5x+2>x+2.
2.-Sa se rezolve inegalitatea 3x²-5x+2<x+2.

Ah! Si da ca f(x)=3x^2+5x+2,x apartine R-[-1/6,11/6] si x+2 pt x apartine [-1/6,11/6]. E bine?

In cazul problemei 1. data de mine rezulta imediat ca x apartine R-[0,2].
In cazul problemei 2. data de mine rezulta imediat ca x apartine [0,2]

In cazul problemei tale notand cu f₁(x)=3x²-5x+2 si f₂(x)=x+2

(daca prin "max" se intelege care dintre valorile celor doua functii este mai mare pentru anumite valori ale lui x) eu

cred ca graficul pentru f(x)=max(3x²-5x+2,x+2) este:

Graficul functiei f₁(x)=3x²-5x+2 pentru x apartinand R-[0,2] reunit cu graficul

functiei f₂(x)=x+2 pentru x apartinand (0,2).

[justakid]

Da, max banuiesc ca-nseamna val mai mare. Atata scrie, "max".

Cum va da 0,2..

3x^2-5x+2>x+2
3x^2-5x+2-x-2>0
3x^2-6x>0 <=> x^2-2x>0 => delta=4 => x1,2=[2+-sqrt(4)]/2] => x1=3, x2=-1.

Apoi tabel. Cand x=-1,3 x^2-2x=0. Intre ele e negativ. In afara pozitiv. Deci x^2-2x>0 pt x din R-[-1;3]...echiavelnt cu 3x^2-5x+2>x+2.

La fel pt <...

Unde gresesc?

[justakid]

Ah, si, mai am o problema va rog.. Tot functii.

f:R->R, f(x)=(ax^2-bx+1)/(x^2+1), a,b din R. Sa se determine valorile lui m pt care Imf=[-1/2;5/2]

Deci f(x) tre sa fie > 5/2 si mai mic ca -1/2...Le iau separat si dupa reunesc intervalele care mi-au dat pt m..

(ax^2-bx+1)/(x^2+1)>5/2 => dupa mai multi pasi (2a-5)x^2-2b(x)+7>0...Delta da b^2-14a-35.

Acum, ca aia de la inceput sa fie > 0 trebuie or delta (b^2-14a-35) sa fie negativ ca sa nu-si schimbe functia semnul si 2a-5>0 sau...se mai poate altfel? Ca daca delta>0 si are solutii nu ma prea prind cum ar veni..Si oricum, ce fac cu deltau' ala asa cu b si a?

x~(x~(

[mircea_p]

3x^2-6x>0 <=> x^2-2x>0 => delta=4 => x1,2=[2+-sqrt(4)]/2] => x1=3, x2=-1.

Greseala mai generala e ca rezolvi cam mecanic si nu te uiti daca are sens rezultatul.
x2-2x=x(x-2) cu radacini x=0 si x=2. Solutiile tale nu satisfac ecuatia, in mod evident.
Daca vrei sa rezolvi cu metoda standard, vezi sa aplici formula corect.
Greseala particulara este ca in formula standard, totul (-2b + sqrt(delta)) se imparte la 2a,  nu numai radical din delta.

[justakid]

3x^2-6x>0 <=> x^2-2x>0 => delta=4 => x1,2=[2+-sqrt(4)]/2] => x1=3, x2=-1.

Greseala mai generala e ca rezolvi cam mecanic si nu te uiti daca are sens rezultatul.
x2-2x=x(x-2) cu radacini x=0 si x=2. Solutiile tale nu satisfac ecuatia, in mod evident.
Daca vrei sa rezolvi cu metoda standard, vezi sa aplici formula corect.
Greseala particulara este ca in formula standard, totul (-2b + sqrt(delta)) se imparte la 2a,  nu numai radical din delta.

Oops =)) Nu era de la formula, adica o stiu, scaderea si adunarea pe de alta parte...... Scuze. Dar cealalta problema?

[zec]

Daca vrei Im f =[-1/5,5/2] pai trebuie ca -1/5<=f(x)<=5/2 pentru orice x real si functia sa ia valorile din capetele intervalului . Asta inseamna doar delta=0 cazul strict negativ nu ne convine  dar ar trebui sa remarci ca il luam in considerare daca cumva se cerea ca Im f sa fie inclus sau egal cu acel interval .In plus fata de conditia delta =0 mai ai cele ale coeficientului lui x^2 pozitiv sau negativ .

[justakid]

Am rez la scoala..nu se poate..ca putem studia doar pt delta<0 si nu va fi multimea solutiilor completa.

Multumesc tuturor pt ajutor

[zec]

Ma bucur ca ai rezolvate ,poate ai inteles indicatia mea care era buna dar nu am explicato suficient de detaliat.
Acuma as vrea sa fac cateva comentarii despre problema asta dar va fi legat de chestiuni de clasa a 11-a sau superioare.
Aceasta problema se poate rezolva si cu ajutorul derivatei si determinarea extremelor functiei.Doar ca alegand metoda studiului extremelor acestei functii devine complicata din cauza formei solutiilor  derivatei .Asa ca metoda la nivel de clasa 9-a e mult mai clasica dar si mai eficienta.
La nivel superior ar trebui sa se remarce ca imaginea unei multimi deschise printr-o functie continua nu e neaparat o multime deschisa si aceasta functie e un exemplu care transforma R in interval inchis.In schimb exista o teorema care afirma ca preimaginea unei multimi inchise este inchisa daca f este continua si in acest caz preimaginea intervalui inchis este tot R si am putea afrima eronat ca nu se poate,dar se poate intrucat R este si multime inchisa si deschisa conform definitiei unui spatiu topologic.Pentru mai multe informatii puteti sa aflati de la http://ro.wikipedia.org/wiki/Spa%C8%9Biu_topologic
Ce  e cunoscut si numita ca proprietatea lui Darboux este ca o functie sa transforme multimi conexe in multimi conexe.In topologia numerelor reale multimile conexe sunt intervale si orice functie continua are proprietatea lui Darboux.Cu toate ca se preda la clasa 11-a  proprietatea lui Darboux ea nu e bine inteleasa de catre majoritatea elevilor si fac asocieri gresite .Intrucat la problema noastra cere imeginea unui interval R sa fie tot interval si f e continua atunci inseamna ca putem avea solutii,dar daca cerea sa fie cine stie ce reuniune de intervale din start nu puteam avea solutii pentru ca numai aveam imagine conexa.