Problema high level de electricitate (Yakutia 2005)

[catalin vrabie]

Va dau textul problemei asa cum apare ea in revista evrika nr. 11 (noiembrie) 2005

" Circuitul din figura este format din doua condensatoare cu capacitatile C1 si C2, doua bobine (ideale) cu inductantele L1 si L2, doua diode ideale D1 si D2, precum si un intrerupator K.
  La inceput comutatorul K se afla pe pozitia "deschis" iar condensatorul C2 era incarcat la tensiunea U0. La momentul t=0 comutatorul basculeaza pe cealalta pozitie si inchide ramura de sus a circuitului.
a. Determinati durata tau a procesului tranzitoriu(intervalul de timp de la momentul t=0 pana la momentul in care procesul devine periodic)
b. Determinati perioada T a oscilatiilor regimului stationar ce se instaleaza in circuit
[...]
"
...

Figura e cea atasata, facuta de mine in paint dupa desenul din revista. Ma erau ceva cerinte -vi le dau  dupa ce le lamurim pe astea doua

Peste problema asta am dat acum vreo 2 luni-ultima din proba teoretica a olimpiadei din Yakutia. M-am chinuit fara succes sa scriu legile lui Kirchhoff pentru circuit, intrucat diodele imi impuneau un sens al curentului in cele doua laturi. Am ajuns la niste ecuatii diferentiale de ordinul 2,care nu imi indicau vreun proces tranzitoriu. Nu prea inteleg fenomenologic problema... Daca are cineva o idee...

[AlexandruLazar]

Ah, minunatele probleme la care fenomenele se petrec așa numai pentru găini sferice aflate în vid .

Primul lucru pe care eu l-aș face ar fi să redesenez circuitul acela pentru că pare făcut special ca să încurce. L-am atașat aici -- arată tot ca naiba pentru că n-am Eagle pe calculatorul ăsta și am desenat schema cu ce-am nimerit  .

Cel mai simplu eu aș zice să desenezi schema echivalentă pentru fiecare fază de încărcare și descărcare a condensatoarelor, înlocuind diodele fie cu un scurt, fie cu un gol, după cum arată potențialele. Altfel e mai greu de lucrat dacă stai cu ele acolo pentru că te încurcă atunci când scrii legile lui Kirchhoff.

La prima vedere (dar la ce somn am în mine s-ar putea să greșesc), mie mi se pare că se întâmplă așa: la început, dioda D1 e polarizată invers, D2 e nepolarizată; în momentul în care se închide K, dioda D2 o să vadă pe anod potențialul + de pe armătura "de jos" a lui C2 și pe catod minusul de pe armătura "de sus", deci va fi polarizată direct și o să conducă iar condensatorul C2 se descarcă pe gruparea formată din cele două inductivități în paralel (presupun, pe baza absenței oricărei surse de tensiune, că dioda se poate presupune ideală ) și C1. Cred că de aici încolo procesul o să fie periodic deși o să aibă o formă de undă urâtă pentru că de aici încolo secvențele de polarizare a diodelor încep să se repete deci purtătorii de sarcină or să se miște la fel de fiecare dată.

Sugestia mea, dacă ai circuite cu diode, e să le înlocuiești mereu cu circuitele lor echivalente pentru fiecare secvență de încărcare/descărcare (după ce desenezi primul caz și rezolvi circuitul lui, o să înceapă să se repete -- o să ai probabil 3 circuite echivalente, primul o să îți dea un regim tranzitoriu iar apoi o să ai câte unul pentru fiecare semiperioadă). E mai ușor așa decât să cari un sens impus după tine în legile lui Kirchhoff și vezi lucrurile mai clar.

Cât privește restul de rezolvare, din păcate nici nu mă pot gândi că mi-aș putea imagina să pot concepe să abordez rezolvarea ecuațiilor diferențiale care îți ies de aici fără transformata Laplace . Fără îndoială că se poate dar eu nu știu atâta matematică.