Gandacul (problema de fizica penru liceu)

[Mihnea Maftei]

Am demonstrat (mai jos) de ce P'=P (L+F/k)/L.

Banda elastica poate fi privita ca fiind formata din doua benzi elastice, fiecare cu constanta ei de elasticitate (k1 si k2), ca in figura asta de pe Wikipedia:

Am pastrat notatiile:
P=distanta dintre perete si contactul dintre cele doua benzi mai mici (sa zicem, un punct alb), cand banda e nedeformata
P'=distanta dintre perete si punctul alb cand banda totala e alungita cu o alungire x
L=lungimea nedeformata a benzii totale
L'=lungimea deformata a benzii totale
F=k*(L'-L)=forta care actioneaza asupra capatului benzii

F este si forta care actioneaza asupra fiecareia dintre cele 2 benzi mai mici in parte ( astfel incat F=k*x=k1*x1=k2*x2, unde x=L'-L e alungirea benzii totale, x1 e alungirea benzii mai mici, din stanga etc.) Faptul ca F este forta care alungeste cele 2 benzi mai mici se explica daca ne imaginam ca banda1 este legata de perete printr-un fir scurt si de banda2 prin alt fir scurt, iar forta F actioneaza tot printr-un fir scurt asupra benzii totale. Astfel, tensiunea din fiecare fir (si deci forta care deformeaza fiecare banda: banda1, banda 2, banda totala) este F.

P'/P=(P+(P'-P))/P=(P+F/k1)/P=1+F/(k1*P)                   (1)

L'/L=(L+(L'-L))/L=(L+F/k)/L=1+F/(k*L)                        (2)

Bun.
Legea lui Hooke spune ca F=(E*S/P)*(P'-P) si F=(E*S/L)*(L'-L), unde E este modulul lui Young corespunzator materialului din care este facuta banda, iar S este aria sectiunii transversale a benzii. Cum F = k1*(P'-P) si F = k*(L'-L), rezulta ca:
k1 = E*S/P,  iar  k = E*S/L

Deci k1*P = k*L (=E*S). Deci 1+F/(k1*P) = 1+F/(k*L)             (3)

Din (1),(2) si (3) rezulta ca P'/P = L'/L  (ceea ce in sine e o formulare mai frumoasa decat am scris eu).
Iar pentru ca in (2) avem L'/L = (L+F/k)/L, rezulta ca P'/P = (L+F/k)/L si deci:

P' = P (L+F/k)/L

[Electron]

Mihnea, demonstratia de acum mi se pare perfect acceptabila.

Argumentul care ar fi fost suficient (pentru mine) in versiunea anterioara pe care am comentat-o este ca putem considera ca banda elastica este omogena, ca fiecare bucata din ea are exact aceleasi proprietati elastice ca oricare alta bucata (lucru folosit in modelarea ueni benzi ca fiind formata din doua benzi elastice in aceasta demonstratie). De aici rezulta in mod justificat faptul ca "banda se intinde ca un corp ce se dilateaza termic unidimensional" si formula matematica scrisa de tine.

Acum ca avem demonstratia ca banda se intinde "uniform", intrebarea urmatoare este: ce relevanta are pentru aceasta demonstratie faptul ca banda elastica are masa distribuita uniform sau nu are masa deloc de-a lungul ei (ci eventual e concentrata toata in capatul unde se aplica forta)?

e-

[Mihnea Maftei]

Pentru aceasta demonstratie (cea din postarea mea precedenta) nu prea are relevanta, pentru ca am definit forta care trage de capatul benzii ca fiind k*(L'-L) in orice moment.

Daca ar avea masa (uniform distribuita sau concentrata), atunci forta cu care s-ar trage de capatul benzii nu ar mai fi constransa sa fie k*(L'-L) in orice moment si ar putea fi constanta (nedepinzand de L'-L) (in problema originala se spune ca e constanta).

In cazul in care ar fi constanta de la inceput (si diferita de 0) si masa ar fi distribuita uniform, atunci tensiunile din cele "trei fire mici" de care spuneam nu ar mai fi egale intre ele, pentru ca orice portiune a benzii va fi accelerata. Nu stiu daca in acest caz A'B'=C'D' pentru orice A, B ,C, D asfel incat AB=CD (puncte la care ma refeream intr-o postare trecuta). De asta am intrebat atunci daca A'B'=C'D'.

Daca ar avea masa concentrata in capat, atunci A'B' = C'D' oricare ar fi A,B,C,D asfel incat AB=CD.