Matematica distractiva

[Thorth]

Sincer nu am stiut cum sa denumesc acest topic.

Matematica este un lucru frumos si uneori chiar amuzant.
Asadar care este rezultatul urmatorului exercitiu:

1-1+1-1+1-1+... = ?

[valangjed]

In principiu zero dar depinde unde opresti seria ,rezultatul poate fi si unu.

[Mihnea Maftei]

Nu exista un rezultat (pentru ca seria nu e bine definita, in sensul ca vrea sa reprezinte o limita care nu exista).

Notatia "1-1+1-1+1-1+..." inseamna in mod normal [tex]\lim_{n\to\infty}\ \sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}[/tex]. Limita asta nu exista.  : )

[b12mihai]

Nu este cazul [tex] 0 \cdot \infty [/tex] ? Pai asta este o nedeterminare in analiza matematica...asa ca ceea ce zici tu daca e la infinit e ... o nedeterminare.

[Thorth]

frumoase raspunsuri, dar limita asta exista si se rezolva, adevarat cu analiza matematica superioara as spune, dar sunt curios la ce rezultate va duceti cu mintea.

referitor la frumoasa formula nu este general valabila, ia incepe tu cu i de la 0 si iti da acelasi lucru. (adunarea si scadea sunt comutative)

[Mihnea Maftei]

@Thorth: Functia [tex]f(n)=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}[/tex] contine doua siruri (unul pentru n par si altul pentru n impar) care converg catre limite diferite (0 si 1); prin urmare functia nu are limita.

Ai putea sa explici putin ce ai in gand cand spui ca limita exista (si care ar fi ea)?

Cat despre formula mea, anume [tex]1-1+1-1+1-1+...=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}[/tex], eu vad ca e corecta. Spui ca daca incep cu i=0 imi da acelasi lucru. Dar faptul ca exista mai multe moduri de reprezentare a unei functii nu inseamna ca fiecare dintre acele reprezentari e incorecta.  : )


@Gothik: "[tex]0\cdot\infty[/tex]" este o notatie care inseamna "limita produsului dintre o functie care are limita 0 si o functie care are limita infinit". Aceasta limta a produsului, daca exista, poate avea orice valoare, dar are o valoare precisa. Se numeste "caz de nedeterminare" pentru ca nu poti determina acea valoare doar din faptul ca limita unui factor e 0 si limita celuilalt e infinit. Trebuie sa stii formele exacte ale celor doi factori—iar daca le stii, limita produsului (daca ea exista) este determinata. Iar in cazul nostru cunoastem forma exacta a expresiei (dar aceasta expresie nu are limita).

[Electron]

Asadar care este rezultatul urmatorului exercitiu:

1-1+1-1+1-1+... = ?

Aceasta este suma unui sir care nu este convergent, ca atare nu are nici o valoare. Care e partea amuzanta?

e-

[mircea_p]

frumoase raspunsuri, dar limita asta exista si se rezolva, adevarat cu analiza matematica superioara as spune, dar sunt curios la ce rezultate va duceti cu mintea.

Bine, acum ne arati si noua cum se rezolva cu analiza asta superioara?
Ca ai vazut deja la ce concluzii duce analiza (inferioara?) invatata de cei care au raspuns pana acum.

[Thorth]

Salutare,


Serie respectiva are limite diferite in 0 si 1 astfel atunci cand seria converge, atunci seria este egala cu suma seriei care este 1 sau 0 depinde de numarul de elemente, daca seria e divergenta atunci si suma seriei este divergenta si atunci limita seriei nu exista iar limita sumei este + - infinit.

Off:  ma asteptam sa gasesc oameni cu bun simt pe aici, open mind, care au abandonat ironia fina, emancipata in caldeira romaneasca. Nu am dorit niciodata sa spun ca eu sunt miezul din dodoasca iar restul pur si simplu nu mai conteaza. Imi cer mii de scuze daca am reusit sa va fac sa ganditi asa. Iar amuzamentul este acolo unde te astepti mai putin...

Numai bine!

[astan]

Seria respectiva e o serie Grandi. Mai multe detalii pe wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Grandi%27s_series

[Adi]

Pai seria nu poate sa aiba ori un numar par de termeni ori un numar impar. Are pur si simplu o infinitate de termeni si atunci seria nu are limita. Acesta este raspunsul oficial al matematicii. Ai gresit daca tu cautai oameni deschisi la minte in a crede altceva decat matematica si in general stiinta oficiala.

[Mihnea Maftei]

Serie respectiva are limite diferite in 0 si 1 astfel atunci cand seria converge, atunci seria este egala cu suma seriei care este 1 sau 0 depinde de numarul de elemente, daca seria e divergenta atunci si suma seriei este divergenta si atunci limita seriei nu exista iar limita sumei este + - infinit.

Exprimarea ta citata mai sus e greu de inteles. Ai vrea sa reformulezi mai clar, te rog?

O serie e un sir infinit, asa ca nu poate avea un numar par sau impar de elemente. Iar o serie nu poate avea doua limite diferite, ci diferite subsiruri ale seriei pot avea diferite limite. Si nu vad de ce zici ca "... iar limita sumei este + - infinit".

(Eu nu te-am ironizat.)

[Thorth]

Seria respectiva e o serie Grandi. Mai multe detalii pe wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Grandi%27s_series

Nu am retinut numele seriei, imi cer scuze, dar cert este ca imi aduc aminte ca ne-a demonstrat ca poate sa fie egala si cu -1/2 . Era un haos total in mintea noastra, desi nimeni din aula nu s-a asteptat la acest raspuns, profesorul incepuse sa faca pariuri pe rezultate  .

@Adi
am afirmat ca depinde de numarul de elemente din sir, adica 2k sau 2k+1;

@Mihnea
mea culpa din tastare rapida am facut o greseala, "... iar limita subsirului sumei  este + - infinit ..." ~  m-a intrigat anumite fineturi clasice, si nu m-am concentrat suficient, scuze, si nu am facut referire la tine.

Numai bine!

[Adi]

@Adi
am afirmat ca depinde de numarul de elemente din sir, adica 2k sau 2k+1;

Tocmai, numarul de elemente din sir este fix si anume infinit. Asadar nu ai de ales intre 2k si 2k+1. Pur si simplu are cate are, adica infinit. Si avand infinit, sirul nu are limita, tocmai pentru ca doua subsiruri diferite au fiecare limita lui, diferite intre ele. Inca din clasa a XI-a de la siruri se stie ca acel sir nu are limite. Ce a facut proful vostru a fost sa va arate ca se poate gasi inca un subsir care el sa aiba limita -1/2, deci inca un motiv pentru care sirul cel mare nu are limita.

[mircea_p]

Salutare,


Serie respectiva are limite diferite in 0 si 1 astfel atunci cand seria converge, atunci seria este egala cu suma seriei care este 1 sau 0 depinde de numarul de elemente, daca seria e divergenta atunci si suma seriei este divergenta si atunci limita seriei nu exista iar limita sumei este + - infinit.

Off:  ma asteptam sa gasesc oameni cu bun simt pe aici, open mind, care au abandonat ironia fina, emancipata in caldeira romaneasca. Nu am dorit niciodata sa spun ca eu sunt miezul din dodoasca iar restul pur si simplu nu mai conteaza. Imi cer mii de scuze daca am reusit sa va fac sa ganditi asa. Iar amuzamentul este acolo unde te astepti mai putin...

Numai bine!

Seria nu are "limita in". Poate faci confuzie cu limita unei finctii. Despre o functie f(x) se poate spune ca are limita L in punctul x=0 sau x=1 etc. Sau mai corect, limita functiei este L cand x tinde la 0 sau 1 etc. O functie deci poate avea limite diferite in diferite puncte.

In cazul sirurilor sau seriilor aceasta exprimare (limita in punctul ...) nu are sens. Acum e vorba de numarul de termeni (care tinde la infinit) si nu de argumentul unei functii (care poate tinde la orice valoare).

E greu sa te faci inteles sau luat in serios daca folosesti expresii necorespunzatoare sau chiar fara sens. (exemplu: "seria este egala cu suma seriei")