O problema cu parte intreaga si parte fractionara

[b12mihai]

Fie [tex] B = \{x \in \mathbb{R} \ | \ [x+\{x\}]=3\} [/tex]. Atunci:

a) B = (3 ; 5]    b) B = {3}  c) B = [3 ; 7/2]    d) B = [2 ; 3]   e) B = [5/2 ; 7/2]

Eu am incercat asa:

[tex]3 \le x+{x} < 4 \Rightarrow   3 \le 2x -

• < 4 \ [/tex]
  
  Notand [tex]
• = k \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in [k,k+1) [/tex] si din relatia de mai sus se obtine:
  
  [tex]\frac{3+k}{2} \le x < \frac{4+k}{2}[/tex]
  
  Acum m-am gandit cumva ca intervalul [k,k+1) trebuie sa fie inclus in [tex] [\frac{3+k}{2} , \frac{4+k}{2}][/tex] , dar de aici mi-a iesit ca nu exista nici un k astfel incat sa se realizeze aceasta incluziune  Aici m-am blocat
  
  P.S.Raspunsul corect la aceasta problema spune in carte ca este e) , dar nu este oferita nici o indicatie    . Multumesc anticipat pentru raspunsuri.

[laurentiu]

Problema o poti aborda putin altfel.Sunt 2 conditii:
1)[tex]

• +2\{x\}\ge3 [/tex].Se poate verifica ca daca [tex]
• <2 [/tex] nu exista solutie ,iar pt [tex]
• =2[/tex] e obligatoriu ca [tex]\{x\}\ge\frac{1}{2}[/tex].Evident [tex]
• \ge3[/tex] verifica ,deci de aici obtinem [tex]x\ge2,5[/tex]
  2)[tex]
• +2\{x\}<4[/tex].E clar aici ca daca [tex]
• \ge4 [/tex] nu avem solutii .Deci [tex]
• \le3 [/tex].Evident pt [tex]
• \le2 [/tex] avem solutie ,iar pt [tex]
• =3 [/tex] este neaparat obligatoriu si suficient de asemenea ca [tex]\{x\}<\frac{1}{2}[/tex],altfel nu am avea solutie .De aici obtinem [tex]x<\frac{7}{2}[/tex].
  Coroborand 1)si 2) obtinem ca orice x cu [tex]\frac{5}{2}\le x<\frac{7}{2}[/tex] avem [tex]x\in B [/tex],iar pt [tex]x\in(-\infty,\frac{5}{2})\cap[\frac{7}{2},\infty)[/tex] avem [tex]x\not\in B[/tex].Deci [tex]B=[\frac{5}{2},\frac{7}{2})[/tex],deci niciun raspund a,b,c,d sau e nu e corect:)).

[b12mihai]

Am reusit sa fac problema folosind indicatiile de la tine. Am luat pe incercari si am dat valori partii intregi, scriind-ul la inceput pe x ca parte fractionara + parte intreaga.

Multumesc mult pentru raspuns! Azi am reusit si eu sa ii dau de cap. Intr-adevar este gresit , raspunsul corect este [tex]B=[\frac{5}{2},\frac{7}{2}) [/tex] , mi-a iesit si mie asta. Probabil ca vroiau sa scrie la variante e) deschis la 7/2 si au gresit la tipar.