Calcul de limite de siruri

[b12mihai]

In acest topic invit pe cei care au intrebari la calculul de limite de siruri sa ni le adreseze aici...

Incep eu cu limita unui sir, care se presupune ca ar trebui calculat folosind sume Riemann, dar nu am nici o idee cum se poate face:

[tex] \lim_{n \to \infty} \ \frac{1}{n^2} \displaystyle\sum_{k=1}^{n}e^{\frac{k^2}{n^2}} [/tex]

[laurentiu]

Problema e "smechera",de fapt nu trebuie sa calculezi limita .Daca vei calcula limita [tex]\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n e^{\frac{k^2}{n^2}}=\int_0^1 e^{x^2}dx [/tex],e clar ca limita asta exista si e finita si e egala cu integrala pe care am calculat-o .Sirul tau e sirul meu impartit la n ,si ceva finit supra infinit da 0 ,deci limita este 0.
Sau mai aveai o posibilitate:observai ca [tex]e^{\frac{k^2}{n^2}}<e^1=e [/tex] deci aveai [tex]0\le x_n\le\frac{ne}{n^2}[/tex],unde x_n este sirul tau .Acu aplicand clestele iti dadea limita 0 .

[b12mihai]

Problema e "smechera",de fapt nu trebuie sa calculezi limita .Daca vei calcula limita [tex]\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n e^{\frac{k^2}{n^2}}=\int_0^1 e^{x^2}dx [/tex] ,e clar ca limita asta exista si e finita si e egala cu integrala pe care am calculat-o .Sirul tau e sirul meu impartit la n ,si ceva finit supra infinit da 0 ,deci limita este 0.

Ah, ce chestie    eu am zis ca limita sirului x_n este [tex]\int_0^1 e^{x^2}dx[/tex] (si nu aveam idee cum s-ar putea calcula vreodata integrala asta cu ce stiu pana acum), dar acum imi dau seama ca era o prostie ce era in capul meu!

Corect! Multumesc mult!

[b12mihai]

Propun o problema mai complicata un pic:

Fie [tex] a_n = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{n^2} [/tex]

a) Demonstrati ca sirul [tex](a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}[/tex] este convergent
b) Demonstrati ca [tex] \lim_{n \to \infty} a_n = \frac{\pi^2}{6} [/tex]
c) Calculati [tex]\lim_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)^2} [/tex]

Cel mai greu este punctul b)...nu am reusit sa ii dau de cap deloc, nu am nici o idee cum as putea sa il incep ...a) se face relativ usor, iar pt c) se foloseste limita de la b).

[laurentiu]

Nu ii vei da toata viata de cap daca nu cumva esti vreun Lagrange sau alt mare matematician )
Revin si eu cu solutia ,dar trebuie sa o caut prin carti ca altfel nici eu nu stiu .Solutia am vazut-o anul trecut si am uitat-o

[graethel]

b) Demonstrati ca [tex] \lim_{n \to \infty} a_n = \frac{\pi^2}{6} [/tex]

Eu stiu sa demonstrez cu serii Fourier si teorema lui Parseval, dar am invatat asta in facultate. Totusi poate linkul asta contine o rezolare la nivelul cunostiintelor tale:

http://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem

[laurentiu]

Cea mai elementara este cu dezvoltarea in serie Taylor infinita ,care este dupa cunostintele mele in programa de olimpiada nationala a clasei a X-a .Bietii copii )
Nu mi-am dat seama sa caut pe wikipedia ,eu stiam o solutie folosind ceva cu tangenta si inversa ei ,dar nu o mai gasesc

[Lumina]

a) Demonstrati ca sirul [tex](a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}[/tex] este convergent

Desi este o notiune elementara, o voi demonstra:
Folosm inegalitatea [tex]
\frac{1}{{k^2 }} \le \frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} = \frac{1}{k} - \frac{1}{{k + 1}}

[/tex]
Dand valori lui k se obtine chiar sirul tau care este <= cu sirul indicat care este un sir marginit, cum? clasa a 5.

[Lumina]

c) Calculati [tex]\lim_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)^2} [/tex]

Este la fel de banala ca pucntul a:
[tex]
\begin{array}{l}
{\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{\left( {2k - 1} \right)^2 }}}  = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {1 + \frac{1}{{2^2 }} + \frac{1}{{3^2 }} + .... + \frac{1}{{\left( {2n} \right)^2 }} - \left( {\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{\left( {2k} \right)^2 }}} } \right)} \right] \\
  = \frac{{\pi ^2 }}{6} - \frac{1}{4} \cdot \frac{{\pi ^2 }}{6} \\

[/tex]

[Lumina]

Problema b este o problema mai frumoasa decat restul, cand vei ajunge la faculta o vei rezolva in 2..3 randuri, dar totusi am sati arat cea mai frumoasa rezolvarea pe care am vazuto vreodata la problema asta, o gasesti aici uitete la demonstratia lui Omegatheo, nu sunt de neglijat si celelalte solutii 

[Electron]

Problema b este o problema mai frumoasa decat restul, cand vei ajunge la faculta o vei rezolva in 2..3 randuri, dar totusi am sati arat cea mai frumoasa rezolvarea pe care am vazuto vreodata la problema asta, o gasesti aici uitete la demonstratia lui Omegatheo, nu sunt de neglijat si celelalte solutii 

Off topic: Lumina, ai mai multa grija cu ortografia limbii romane.

e-

[Lumina]

Off topic: Lumina, ai mai multa grija cu ortografia limbii romane.

Sunt matematician nu profesor de română 
Apropo, am greşit un pic la inegalitatea:[tex]\frac{1}{{k^2 }} \le \frac{1}{k} - \frac{1}{{k - 1}}[/tex]
este:[tex]\frac{1}{{k^2 }} \le \frac{1}{{k - 1}} - \frac{1}{k}[/tex]
Cred că aţi prins ideea

[Electron]

Off Topic (cu asta chiar inchei si nu mai insist) :

Sunt matematician nu profesor de română 

Daca esti matematician, ar trebui sa aplici macar logica. A fi profesor de romana nu este o conditie nici necesara nici suficienta pentru a scrie corect gramatical. 

e-

[Lumina]

M-ai făcut să râd electron, pentru asta îţi mulţumesc.
Îmi critici posturile, dar te-ai uitat cum scrii tu ?
Nu vreau să jignesc pe nimeni, forumul acesta m-a ajutat de câteva ori, însă atitudinea lui e- nu este corectă, aplică regula "critic fără a fi criticat" .

[Stark]

Poti consulta un nr de demonstratii pe linkul de la MathWorld .
Varianta in care este folosita teorema coeficientului liniar pentru relatii intre radacini (Vieta) mi se pare  de parte cea mai simpla si surprinzator de "elementara". La fel de entuziast sunt si la ideea de a folosi identitatea Moivre. Voi ce spunetzi?

Deasemenea am  gasit un articol foarte interesant Values of the Riemann Zeta Functions at Integers.