Ştiri:

Vă rugăm să citiţi Regulamentul de utilizare a forumului Scientia în secţiunea intitulată "Regulamentul de utilizare a forumului. CITEŞTE-L!".

Main Menu

Limita unui sir inedit - cu combinari

Creat de b12mihai, Ianuarie 07, 2010, 07:05:50 PM

« precedentul - următorul »

0 Membri şi 1 Vizitator vizualizează acest subiect.

b12mihai

Salutari! Am si eu o problema de matematica de clasa a XI-a gasita pe la pregatirea pentru admiterea la facultate:

[tex] \lim_{x \to \infty} \frac{C^n_{2n}}{4^n} [/tex]

Am incercat cu criteriul raportului, insa
[tex] \lim_{x \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} [/tex] mi-a dat 1 si nu ma ajuta cu nimic, ca limita trebuie sa fie ori mai mare ca 1 ca sirul sa tinda la infinit, ori mai mica decat 1 ca sirul sa tinda la 0...Am incercat si cu descompunerea combinarilor dupa formula, dar nu ajungeam la nimic...Din cate stiu [tex] \lim_{x \to \infty} \frac{4^n}{n!} = 0 [/tex] ca "factorial e mai puternic decat puterea"...dar aici am exact invers  ???

Fiecare are scopul lui in lumea asta nebuna.

Adi

Primul pas la astfel de probleme unde ti se cere sa spui care e limita si sa demonstrezi asta este ... sa spui doar care e limita. Ca sa intuiesti care e limita si ca sa intelegi ce inseamna de fapt acel raport pas cu pas, ia primi termeni ai sirului si calculeaza-i de mana (sau mai usor, cu un mic programel pe calculator). Si vezi catre ce valoare tine.
Pagina personala: http://adrianbuzatu.ro

laurentiu

Nu am calculat foarte atent limita ,da cred ca mai mult ca sigur ai 2 pasi :
1)avand limita de forma infinit/infinit ,poti aplica teorema cesaro-stolz ;
2)dupa ce ai aplicat cesaro-stolz ,vei avea de calculat o noua limita iar sirul care desemneaza acea limita il notezi [tex]y_n[/tex] ,si acum aplici criteriul raportului .Mie cel putin mia dat infinit aplicand criteriul raportului la acest sir ,si cum limita acestuia este [tex]+\infty[/tex] inseamna ca si limita initiala este [tex]+\infty[/tex].Nu stiu daca este bine ,nu prea am timp acum de mate ,ma pregatesc pt judeteana de la fizica .Sper sa fie bine .

Adi

Dar urmand sfatul meu sa calculezi cateva valori iti da ca ele tot cresc tot mai mari? Daca e asa, asta ar fi in acord (fara a demonstra) cu faptul ca limita e infinit. Si asa te poti verifica dar si poti avea intuitia dinainte a cat e limita.
Pagina personala: http://adrianbuzatu.ro

laurentiu

Limita e totusi 0 .Calculasem limta celui de-al doilea raport invers .

laurentiu

Si solutia completa:se observa ca [tex]\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{4n^2+6n+2}{4n^2+8n+4}<1,\forall n\in\mathbb{N}[/tex],deci sirul este strict descrescator ,si cum ia valori pozitive este marginit inferior de 0,deci este convergent .Nu stiu daca stii teorema urmatoare:Daca ai un sir [tex]x_n[/tex] convergent si exista [tex]\lim_{n\to\infty} n\(\frac{x_n}{x_{n-1}}-1}\)\in\mathbb{R}-{0}[/tex],atunci limita lui x_n este 0.Revin si cu o demostratie a chestiei astia .Acum aplicand aceasta teorema ,iti da limita [tex]\frac{-1}{4}[/tex] ,deci este in R stelat ,asadar limita de care ai nevoie este 0.Cred ca se poate si mai simplu

b12mihai

@laurentiu - nu stiam de teorema de care mi-ai spus (are vreun nume?) - sau daca stiam am uitat-o. Oricum e interesanta ca rezultat si extrem de utila...

Totusi...cum ai ajuns la  \frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{4n^2+6n+2}{4n^2+8n+4}<1,\forall n\in\mathbb{N} - ca mie nu mi-a dat asa  ???
Fiecare are scopul lui in lumea asta nebuna.

laurentiu

E posibil sa fi gresit ,oricum iti da x_n+1/x_n <1

Adi

Si totusi, nimeni nu ia cateva valori sa vada efectiv cum evolueaza sirul? Asa vezi daca rezultatul obtinut are sens si iti faci si o idee daca ai obtinut valorea corecta la raportul dintre termenii n+1 si n.
Pagina personala: http://adrianbuzatu.ro

laurentiu

#9
Eu in general iau foarte rar valori ca exemplu in probleme de matematica ,cel putni atunci cand n-am nicio idee despre cum se rezolva problema fac si asta .Si da ,[tex]x_1=\frac{1}{2},x_2=\frac{3}{4},x_3=\frac{5}{18} [/tex],se observa ca de la al doilea termen al sirului avem un sir descrescator

mircea_p

Citat din: Adi din Ianuarie 08, 2010, 06:34:02 PM
Si totusi, nimeni nu ia cateva valori sa vada efectiv cum evolueaza sirul? Asa vezi daca rezultatul obtinut are sens si iti faci si o idee daca ai obtinut valorea corecta la raportul dintre termenii n+1 si n.
Eu am luat si am vazut ca tinde la zero. Dar intre timp deja fusese postata solutia.
Sigur, pentru un matematician poate asta e o mare "rusine" dar eu sant fizician si consider ca si matematica e un fel de fizica si astept palmele peste cap de la matematicieni. ;)

Adi

Bravo Mircea, amandoi gandim la fel aici, ca da, suntem amandoi fizicieni si vrem sa vedem clar lucrurile cum evolueaza in timp, daca acel n ar fi valori discrete ale timpului ...
Pagina personala: http://adrianbuzatu.ro

b12mihai

@Adi si mircea_p - asa incepusem si eu initial sa fac, deoarece problema aparea la un test grila si trebuia sa incercuiesti raspunsul corect. Azi am dat test din siruri, si din lipsa timpului am procedat asa la unele probleme la care stiam ca demonstratia imi ia mult.  Dar, acuma, na, o fi, n-o fi bine, eu sunt adeptul rigorii si vreau sa demonstrez orice afirmatie (matematica) astfel incat sa fie fara dubii.
Fiecare are scopul lui in lumea asta nebuna.

Adi

Noi nu zicem sa nu demonstrezi, ci sa simti intai sirul dand niste valori inainte de a calcula riguros cu niste teoreme abstracte din care sa nu simti deloc sirul. Deci si demonstrezi, nu zicem sa nu demonstrezi.
Pagina personala: http://adrianbuzatu.ro

zec

Citat din: laurentiu din Ianuarie 07, 2010, 11:18:00 PM
Si solutia completa:se observa ca [tex]\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{4n^2+6n+2}{4n^2+8n+4}<1,\forall n\in\mathbb{N}[/tex],deci sirul este strict descrescator ,si cum ia valori pozitive este marginit inferior de 0,deci este convergent .Nu stiu daca stii teorema urmatoare:Daca ai un sir [tex]x_n[/tex] convergent si exista [tex]\lim_{n\to\infty} n\(\frac{x_n}{x_{n-1}}-1}\)\in\mathbb{R}-{0}[/tex],atunci limita lui x_n este 0.Revin si cu o demostratie a chestiei astia .Acum aplicand aceasta teorema ,iti da limita [tex]\frac{-1}{4}[/tex] ,deci este in R stelat ,asadar limita de care ai nevoie este 0.Cred ca se poate si mai simplu
Din pacate chestia asta nu functioneaza,e o incercare de la criteriul lui Rhabe-Duhamel de la serii si automat implica limita sirului ca fiind nula acesta fiind criteriul necesar al unei serii ca sa convearga.Dar criteriul lui Rhabe-Duhamel nu e chiar asa enuntat.
Cat despre problema ,ce sa zic foarte interesanta si in principiu cam 90% din problemele de genul se rezolva cu cleste. Se arata cu ajutorul inductiei si ceva notiuni de convergenta cu siruri care tind la e, urmatoarea inelgalitate 0<Xn<1/ln(n) de la un anumit rang.Pe parcursul demonstratiei in inductie va aparea inegalitatea (1+1/n)^2n+1<n si aici aceasta inegalitate e valabila de la un anumit rang intrucat termenul din stinga converge catre e^2 si cel din dreapta la infinit