Welcome, Guest. Please login or register.

Autor Subiect: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a  (Citit de 108829 ori)

0 Membri şi 1 Vizitator vizualizează acest subiect.

Offline Adi

  • Global Moderator
  • *****
  • Mesaje postate: 11298
  • Popularitate: +15/-7
    • Site personal Adrian Buzatu
Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
« Răspuns #30 : Noiembrie 16, 2009, 06:47:56 p.m. »
oricum este si mai simplu de scris cum e la noi in latex ,decat in matematica oficiala in treaba asta cu combinarile.
@Adi:nu cred ca o sa pot scrie direct pe site ,din cauza timpului ,asa ca in momentul in care am timp sa mai fac articole le public si aici si sper sa le poti pune tu pe site ,oricum este bine sa fie si aici .

Nici o problema, pune aici pe forum si le voi pune eu pe site. Dar foloseste sfaturile ce le-am dat deja, adica cu \log in loc de log.
Pagina personala: http://adrianbuzatu.ro

Offline b12mihai

  • Senior
  • ****
  • Mesaje postate: 1124
  • Popularitate: +2/-0
Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
« Răspuns #31 : Noiembrie 30, 2009, 03:01:59 p.m. »
Propun si eu o integrala ciudata pe care am primit-o de la un coleg de clasa:

\int \frac{x \cos x}{2 + 2 \cos^2 x} \,dx

Personal m-as fi gandit la a doua schimbare de variabila cu t = \cos x , dar nu mi-a iesit nimic, pana acum...

Fiecare are scopul lui in lumea asta nebuna.

hellboy

  • Vizitator
Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
« Răspuns #32 : Ianuarie 03, 2010, 01:33:22 p.m. »
Propun si eu o integrala ciudata pe care am primit-o de la un coleg de clasa:

\int \frac{x \cos x}{2 + 2 \cos^2 x} \,dx

Personal m-as fi gandit la a doua schimbare de variabila cu t = \cos x , dar nu mi-a iesit nimic, pana acum...



Salut, sa stii ca majoritatea integralelor ce contin combinatii de polinoame in x si fractii cu functii trigonometrice nu se pot exprima in termeni de functii elementare. De exemplu

Offline b12mihai

  • Senior
  • ****
  • Mesaje postate: 1124
  • Popularitate: +2/-0
Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
« Răspuns #33 : Ianuarie 11, 2010, 10:10:14 p.m. »
Va propun o integrala interesanta, care se poate rezolva in 3 moduri (eu am facut-o deja, e extrem de simpla si daca exista elevi care nu reusesc sa o faca voi posta aici detaliate toate cele 3 solutii):

 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2x}{4\cos^2x + \sin^2x} \ dx

Mai interesant este sa rezolvati, tot in doua moduri urmatoarele integrale, ceva mai dificile decat cea de mai sus:

 \int \frac{1}{x^4 + 1} \ dx

 \int \frac{x^2}{x^4 + 1} \ dx

Daca ati invatat sa integrati functiile rationale prin descompunere in fractii simple si prima si a doua metoda de schimbare de variabila, chiar nu ar trebui sa aveti probleme in a le rezolva pe toate cele pe care le-am propus.  ;D Succes. Daca aveti intrebari sunt aici.
Fiecare are scopul lui in lumea asta nebuna.

laurentiu

  • Vizitator
Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
« Răspuns #34 : Ianuarie 12, 2010, 07:15:11 p.m. »
Pai ultimele le aduni si scazi si dau foarte frumos: mai general putem considera:I_n=\int \frac{x^{3n-1}}{x^{4n}+1} ;J_n=\int \frac{x^{n-1}}{x^{4n}+1}.Las pe cei interesati sa efectueze calculele.In legatura cu cea dea2a ,cel putin ideea rapida este schimbarea de variabila t=tg{\frac{x}{2}}.Acu nu-mi dau seama ce alte variante ar mai exista .
« Ultima Modificare: Ianuarie 12, 2010, 07:25:42 p.m. de laurentiu »

Offline b12mihai

  • Senior
  • ****
  • Mesaje postate: 1124
  • Popularitate: +2/-0
Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
« Răspuns #35 : Ianuarie 13, 2010, 02:32:52 p.m. »
Citat
In legatura cu cea dea2a ,cel putin ideea rapida este schimbarea de variabila t=tg{\frac{x}{2}}.Acu nu-mi dau seama ce alte variante ar mai exista .

Alta idee: schimbarea de variabila:

\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2x}{4\cos^2x + \sin^2x} \ dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{2 \sin x \cos x}{4\cos^2x + \sin^2x} \ dx , t = \cos x \ sau \ t = \sin x - astea ar fi celelalte 2 idei...E de fapt una, ca e, practic, acelasi lucru. Mie mi se pare mai simplu pt ca facand schimbarea de variabila t=tg{\frac{x}{2}} ajungi sa calculezi integrala:

\int_0^{1} \frac {2t}{(t^2+4)(t^2+1)} \ dt care se face prin rationale si parca e mai complicat, cand prin, de exemplu  t = \cos x ajungi sa calulezi:  \int^1_{\frac{1}{\sqrt2}} \frac{2t}{3t^2+1}, care, sincer, mi se pare mai simplu de calculat  ;D .

P.S.: Interesanta generalizarea, nu m-am gandit la ea ;D . O sa efectuez calculele. Probabil se pot scoate niste relatii de recurenta pe-acolo, nu?
Fiecare are scopul lui in lumea asta nebuna.

laurentiu

  • Vizitator
Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
« Răspuns #36 : Ianuarie 13, 2010, 07:27:43 p.m. »
Pai eu nu am vazut prima data integrala asta pe care ai propus-o tu ,asta ar fi I1. de fapt la un concurs eu am rezolvat I667 ,si de acolo mi-am dat seama de smecherie:adica impartirea prin x^{2n}.Cred ca asa a devenit mai simpla cu indiciu asta.

Offline b12mihai

  • Senior
  • ****
  • Mesaje postate: 1124
  • Popularitate: +2/-0
Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
« Răspuns #37 : Ianuarie 25, 2010, 03:27:27 p.m. »
Salutare din nou:

Iata niste integrale pe care le-am primit la un test la mate:

 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin^4x + \cos^4x}
       

 \int_0^{2\pi} \frac{dx}{\sin^4x + \cos^4x}

Exista oare o alta metoda de a le face, in afara de a calcula primitiva functiei  f(x) = \frac{1}{\sin^4x + \cos^4x} \ , \ f: \ [0, \frac{\pi}{2}] \to \mathbb{R} - luam domeniul de definitie pentru a o afla pe prima, si care este ceva de genul  F(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{\tan^2x - 1}{\sqrt{2}\tan x} si apoi cu legarea constantelor, pentru ca mi se pare foarte mult de scris si de calcul...Profesorul asa ne-a aratat pana acum, numai cu primitiva (si numai pe prima apucasem sa o fac, erau doar 3 puncte in care aparea o discontinuitate, pentru ca la a doua erau si mai multe constante de legat)  ???
Fiecare are scopul lui in lumea asta nebuna.

basileu

  • Vizitator
Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
« Răspuns #38 : Mai 09, 2010, 01:25:23 a.m. »
Salutari,
Am trecut de mult de clasa a XII si va rog sa-mi aduceti si mie aminte cum se calculeaza si cat fac urmatoarele integrale definite.
         π                                        2π                   
        ∫ sin(x) dx                            ∫ sin(x) dx
        0                                        0                       
         π                                        2π                   
        ∫ cos(x) dx                           ∫ cos(x) dx
        0                                         0                     


                    

                                            
                                                                          
                                                                            
  

Offline Adi

  • Global Moderator
  • *****
  • Mesaje postate: 11298
  • Popularitate: +15/-7
    • Site personal Adrian Buzatu
Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
« Răspuns #39 : Mai 09, 2010, 02:16:45 a.m. »
Bine ai venit la noi pe forum. Calcularea lor e foarte simpla si se face in doi pasi. Sa o luam pe prima.

 \int_0^\pi (\sin x) dx=(-\cos x)|_0^\pi=(-\cos 0) - (-\cos \pi) = (-1) - (- (-1)) = -1 - 1 = -2

Primul pas este sa gasesti care este functia care derivata iti da sin x. Si aceasta functie este - cos x. Aceasta functie se numeste "primitiva" lui sin x. Apoi trebuie luata aceasta primitiva intre valorile integralei. Functia la valoarea de sus minus functia la valoarea de jos.

Daca intelegi acest pas, poti cauta pentru celelalte functii? Un tabel cu primitive gasesti tot aici la noi.
« Ultima Modificare: Mai 30, 2012, 06:25:30 p.m. de Scientia »
Pagina personala: http://adrianbuzatu.ro

basileu

  • Vizitator
Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
« Răspuns #40 : Mai 09, 2010, 03:21:10 a.m. »
Multumesc pentru aducere amine
Te mai rog sa ma ajuti si cu asta:

 T     2
∫  sin  (2nx/T)dx
 0
 T              2
∫  sin(2nx/T) dx
 0
  unde n este pi

Offline Adi

  • Global Moderator
  • *****
  • Mesaje postate: 11298
  • Popularitate: +15/-7
    • Site personal Adrian Buzatu
Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
« Răspuns #41 : Mai 09, 2010, 05:09:41 a.m. »
Intai trebuie sa faci o schimbare de variabila de sinus sau cos sa fie doar in functie de x, asa e mai usor. Si apoi ramai cu sinus la patrat. Aici e un pic mai greu, dar nu imposibil. Sper ca Gothik, care e elev de a 12-a si in priza cu integralele sa te ajute mai mult. Din pacate nu am timp sa o rezolv exact. Dar o idee: folosesti ca sin patrat plus cos patrat = 1. si la fel cand integrezi aceasta ecuatie.
Pagina personala: http://adrianbuzatu.ro

Offline b12mihai

  • Senior
  • ****
  • Mesaje postate: 1124
  • Popularitate: +2/-0
Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
« Răspuns #42 : Mai 09, 2010, 10:43:56 a.m. »
Bine ai venit la noi pe forum. Calcularea lor e foarte simpla si se face in doi pasi. Sa o luam pe prima.

 \int_0^\pi (\sin x) dx=(-\cos x)|_0^\pi=(-\cos 0) - (-\cos \pi) = (-1) - (- (-1)) = -1 - 1 = -2

Am impresia ca e ceva in neregula aici: in primul rand sinus pe [0, pi] e mereu pozitiva, deci integrala nu avea cum sa iti dea o valoare negativa . Iata cum e corect:

  \int_0^\pi (\sin x) dx=(-\cos x)|_0^\pi=(-\cos \pi) - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2

Adi, sa stii ca atunci cand scrii (-\cos x)|_0^\pi este (-\cos \pi) - (-\cos 0). Tu scrisesesi invers.

Ma gandesc imediat si la integralele scrise de basileu , deocamdata le scriu in LATEX sa vad daca am inteles bine la ce trebuie sa ma gandesc:

T     2
∫  sin  (2nx/T)dx
 0
 T              2
∫  sin(2nx/T) dx
 0
  unde n este pi

 \int_0^T \sin^2(2\pi x/T)dx
 \int_0^T \sin(2\pi x/T)^2dx
« Ultima Modificare: Mai 09, 2010, 10:46:05 a.m. de gothik12 »
Fiecare are scopul lui in lumea asta nebuna.

Offline b12mihai

  • Senior
  • ****
  • Mesaje postate: 1124
  • Popularitate: +2/-0
Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
« Răspuns #43 : Mai 09, 2010, 10:53:39 a.m. »
Intai trebuie sa faci o schimbare de variabila de sinus sau cos sa fie doar in functie de x, asa e mai usor.

Asta se numeste liniarizare. Al nostru basileu ar trebui sa stie ca din  cos2x = 2cos^2x - 1 = 1 - 2sin^2x vom obtine ca cos^2x = \frac{1+cos2x}{2} & sin^2x = \frac{1 - cos2x}{2} . Aceste relatii sunt foarte utile LA ORICE integrala care contine sin patrat. Chestia cu sin patrat + cos patrat = 1 e utila doar in anumite cazuri particulare.

Deci pentru integrala asta (pusa in quote mai jos), basileu, e nevoie de relatiile de care ti-am zis mai sus. 

Citat
\int_0^T \sin^2(2\pi x/T)dx

Crezi ca te descurci de aici? Am sa fac si eu calculele sa vad ce imi iese.
Fiecare are scopul lui in lumea asta nebuna.

basileu

  • Vizitator
Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
« Răspuns #44 : Mai 09, 2010, 04:35:28 p.m. »
Multumesc, mie mi-a dat ca rezultat T/2
este corect sper.
Tot ce am cerut pana acum, nu sunt simple exercitii, ci sunt
realmente necesare pentru a construi un convertor de tensiune
mai special.Pe masura ce rezolv anumite probleme,  vad ca apar
si altele  la care aparatul matematic pe care mi-l mai amintesc,
nu mai face fata, de exemplu o solutie pentru ecuatia:

                sin(2nx/T)=K(1-x/T)

si vedem ce o fi nevoie mai departe.