Welcome, Guest. Please login or register.

Autor Subiect: Calculul unor limite  (Citit de 9289 ori)

0 Membri şi 1 Vizitator vizualizează acest subiect.

andreutza_1515

  • Vizitator
Calculul unor limite
« : Octombrie 17, 2009, 03:32:47 p.m. »
Matematica asta...
Am o problema: Sa se calculeze limita sirului: a(n) = (1-2/n^2)^n
La prima vedere nu e asa greu.. dar e nedeterminare de tipul 1^infinit
Ma poate ajuta cineva? :(

laurentiu

  • Vizitator
Re: Calculul unor limite
« Răspuns #1 : Octombrie 17, 2009, 04:39:46 p.m. »
Pe ce clasa esti in primul rand?(dupa problema data presupun ca pe clasa a11a).
Limita este chiar 1 conform urmatoarelor:Fie a_n un sir de numere reale astfel incat a_n=(1+x_n)^{y_n};\lim_{n\to\infty} x_n=0 & \lim_{n\to\infty} y_n=\infty.Facem urmatorul lucru :a_n=[(1+x_n)^{\frac{1}{x_n}}]^{x_n y_n} asta fiind o scriere echivalenta pt a_n.Acum se mai cunoaste faptul ca \lim_{n\to\infty} (1+x_n)^{\frac{1}{x_n}}=e ,deci limita ta revine la a calcula  \lim_{n\to\infty} x_n y_n ,iar la tine  x_n=-\frac{1}{n^2},y_n=n ,deci  \lim_{n\to\infty} x_n y_n =0 => \lim_{n\to\infty} a_n =e^0 =1.Ce e cu rosu e de tinut minte:D

andreutza_1515

  • Vizitator
Re: Calculul unor limite
« Răspuns #2 : Octombrie 17, 2009, 04:42:16 p.m. »
ms mult.... is anul I la facultatea de matematica si informatica (spec. info) .. :| dar limitele nu sunt punctul meu forte :(

laurentiu

  • Vizitator
Re: Calculul unor limite
« Răspuns #3 : Octombrie 17, 2009, 04:46:46 p.m. »
la ce universitate?si eu vreau anu asta sa intru tot la mate-info ,dar pe specializare mate,adica la anul 
« Ultima Modificare: Octombrie 17, 2009, 04:49:23 p.m. de laurentiu »

Offline mircea_p

  • Senior
  • ****
  • Mesaje postate: 1979
  • Popularitate: +140/-12
Re: Calculul unor limite
« Răspuns #4 : Octombrie 18, 2009, 01:32:20 a.m. »
De ce este considerat cazul 1^(infinit) o nedeterminare?
Probabil ca e ceva in legatura cu rigoarea matematica, eu privesc limitele mai mult dintr-un punct de vedere "fizic".

As fi zis ca 1^(infinit) =1
Pentru ca 1*1*1*1.... = 1 indiferent de numarul de termeni. Deci unde e problema, de ce nu e limita 1 pur si simplu?


Mihnea Maftei

  • Vizitator
Re: Calculul unor limite
« Răspuns #5 : Octombrie 18, 2009, 01:45:39 a.m. »
O explicatie "on the back of the envelope" ar fi asa: 0,99999999999999^infinit = 0, pe cand 1,00000000000001^infinit = infinit.

Offline Adi

  • Global Moderator
  • *****
  • Mesaje postate: 11298
  • Popularitate: +15/-7
    • Site personal Adrian Buzatu
Re: Calculul unor limite
« Răspuns #6 : Octombrie 18, 2009, 01:46:42 a.m. »
De ce este considerat cazul 1^(infinit) o nedeterminare?
Probabil ca e ceva in legatura cu rigoarea matematica, eu privesc limitele mai mult dintr-un punct de vedere "fizic".

As fi zis ca 1^(infinit) =1
Pentru ca 1*1*1*1.... = 1 indiferent de numarul de termeni. Deci unde e problema, de ce nu e limita 1 pur si simplu?



Pentru ca (1+ceva_mic)^(1/ceva_mic) face numarul e, iar nu 1.
Pagina personala: http://adrianbuzatu.ro

Offline Adi

  • Global Moderator
  • *****
  • Mesaje postate: 11298
  • Popularitate: +15/-7
    • Site personal Adrian Buzatu
Re: Calculul unor limite
« Răspuns #7 : Octombrie 18, 2009, 01:48:00 a.m. »
O explicatie "on the back of the envelope" ar fi asa: 0,99999999999999^infinit = 0, pe cand 1,00000000000001^infinit = infinit.

Ah, da, si asta,. Foarte clara explicatia, Mihnea. Arata ca de fapt conteaza de care parte a lui 1 te afli. Iar exemplu meu arata ca depinde si sub ce forma de infinit se gasete exponentul.
Pagina personala: http://adrianbuzatu.ro

Mihnea Maftei

  • Vizitator
Re: Calculul unor limite
« Răspuns #8 : Octombrie 18, 2009, 01:58:28 a.m. »
Mircea_p, asa cum ai gandit tu (gresit) puteai sa gandesti si despre 0*infinit.

Notatia 1infinit nu se refera la 1*1*1*1*... de o infinitate de ori (inmultire al carei rezultat este intr-adevar 1), ci la limita cand x --> x0 din f(x)g(x), daca limita cand x --> x0 din f(x) este 1 si limita cand x --> x0 din g(x) este infinit.
« Ultima Modificare: Octombrie 18, 2009, 02:05:20 a.m. de Mihnea »

Offline Adi

  • Global Moderator
  • *****
  • Mesaje postate: 11298
  • Popularitate: +15/-7
    • Site personal Adrian Buzatu
Re: Calculul unor limite
« Răspuns #9 : Octombrie 18, 2009, 02:12:50 a.m. »
Corecta definitie, Mihnea. Ajuta la clarificarea notiunii.
Pagina personala: http://adrianbuzatu.ro

laurentiu

  • Vizitator
Re: Calculul unor limite
« Răspuns #10 : Octombrie 18, 2009, 02:56:42 p.m. »
@mircea_p:cred ca esti de acord ca \frac{n+1}{n} se apropie de 1 ca n este din ce in ce mai mare ,e apropierea asta inseamna ca pt orice \eps>0 exista un n_{\eps} \in\mathbb{N} a.i. \frac{n+1}{n} \in (1-\eps,1+\eps) ,in cazul de fata fiind chiar in (1,1+\eps),deoarece  1+\frac{1}{n}>1,\forall n natural nenul .Asta se traduce matematic prin \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=1 .Notand cu x_n=\frac{n+1}{n} ,se verifica simplu ca sirul  y_n=x_n^n este strict crescator (de exemplu folosind binomul lui Newton),adica y_n>y_2 ,\forall n>2,iar y_2=1,5^2=2,25 =>y_n>2,25,si dupa cum ti-am demonstrat  x_n este "aproape 1",nu 1,ci foarte aproape de 1 ,iar ridicand asta la n ,adica \lim_{n\to\infty} x_n^n=e,care este aproximativ egal cu 2,71828.Sper ca este mai clar acum .
« Ultima Modificare: Octombrie 18, 2009, 03:05:43 p.m. de laurentiu »

Offline mircea_p

  • Senior
  • ****
  • Mesaje postate: 1979
  • Popularitate: +140/-12
Re: Calculul unor limite
« Răspuns #11 : Octombrie 18, 2009, 03:55:58 p.m. »
Multumesc pentru toate raspunsurile.
Nu am zis ca nu sant de acord cu nedeterminarea. Asa am invatat si eu la liceu.
Nu e o "critica a paradigmei matematice actuale" ci doar o curiozitate. Nu voiam o demonstratie matematica ca nu am dreptate (nu ma indoiam de asta) ci mai degraba una intuitiva.
Cred ca e vorba mai degraba de un abuz de limbaj. Nu este 1 la infinit ci (ceva care tinde la 1)^(infinit).





andreutza_1515

  • Vizitator
Re: Calculul unor limite
« Răspuns #12 : Octombrie 18, 2009, 08:26:16 p.m. »
la ce universitate?si eu vreau anu asta sa intru tot la mate-info ,dar pe specializare mate,adica la anul 
eu sunt la uvt (universitatea de vest timisoara) :-? bafta ;)

Offline Adi

  • Global Moderator
  • *****
  • Mesaje postate: 11298
  • Popularitate: +15/-7
    • Site personal Adrian Buzatu
Re: Calculul unor limite
« Răspuns #13 : Octombrie 18, 2009, 09:15:54 p.m. »
Nu voiam o demonstratie matematica ca nu am dreptate (nu ma indoiam de asta) ci mai degraba una intuitiva.

Cred ca explicatia lui Mihnea tocmai asta ofera, intuitivitate.

Cred ca e vorba mai degraba de un abuz de limbaj. Nu este 1 la infinit ci (ceva care tinde la 1)^(infinit).

Corect. Si mai precis, (ceva care tinde la 1)^(ceva care tinde la infinit). De aceea astea se pun in ghilimele: "1^infinit".
Pagina personala: http://adrianbuzatu.ro