Autor Subiect: Calculul unor limite (Citit de 9289 ori)

andreutza_1515 · « : Octombrie 17, 2009, 03:32:47 p.m. »

Matematica asta...
Am o problema: Sa se calculeze limita sirului: a(n) = (1-2/n^2)^n
La prima vedere nu e asa greu.. dar e nedeterminare de tipul 1^infinit
Ma poate ajuta cineva?

laurentiu · « **Răspuns #1 :** Octombrie 17, 2009, 04:39:46 p.m. »

Pe ce clasa esti in primul rand?(dupa problema data presupun ca pe clasa a11a).
Limita este chiar 1 conform urmatoarelor:Fie $a_n$ un sir de numere reale astfel incat $a_n=(1+x_n)^{y_n};\lim_{n\to\infty} x_n=0 & \lim_{n\to\infty} y_n=\infty$ .Facem urmatorul lucru : $a_n=[(1+x_n)^{\frac{1}{x_n}}]^{x_n y_n}$ asta fiind o scriere echivalenta pt $a_n$ .Acum se mai cunoaste faptul ca $\lim_{n\to\infty} (1+x_n)^{\frac{1}{x_n}}=e$ ,deci limita ta revine la a calcula $\lim_{n\to\infty} x_n y_n$ ,iar la tine $x_n=-\frac{1}{n^2},y_n=n$ ,deci $\lim_{n\to\infty} x_n y_n =0 => \lim_{n\to\infty} a_n =e^0 =1$ .Ce e cu rosu e de tinut minte:D

andreutza_1515 · « **Răspuns #2 :** Octombrie 17, 2009, 04:42:16 p.m. »

ms mult.... is anul I la facultatea de matematica si informatica (spec. info) .. :| dar limitele nu sunt punctul meu forte

laurentiu · « **Răspuns #3 :** Octombrie 17, 2009, 04:46:46 p.m. »

la ce universitate?si eu vreau anu asta sa intru tot la mate-info ,dar pe specializare mate,adica la anul

mircea_p · « **Răspuns #4 :** Octombrie 18, 2009, 01:32:20 a.m. »

De ce este considerat cazul 1^(infinit) o nedeterminare?
Probabil ca e ceva in legatura cu rigoarea matematica, eu privesc limitele mai mult dintr-un punct de vedere "fizic".

As fi zis ca 1^(infinit) =1
Pentru ca 1*1*1*1.... = 1 indiferent de numarul de termeni. Deci unde e problema, de ce nu e limita 1 pur si simplu?

Mihnea Maftei · « **Răspuns #5 :** Octombrie 18, 2009, 01:45:39 a.m. »

O explicatie "on the back of the envelope" ar fi asa: 0,99999999999999^infinit = 0, pe cand 1,00000000000001^infinit = infinit.

Adi · « **Răspuns #6 :** Octombrie 18, 2009, 01:46:42 a.m. »

Citat din: mircea_p din Octombrie 18, 2009, 01:32:20 a.m.

De ce este considerat cazul 1^(infinit) o nedeterminare?
Probabil ca e ceva in legatura cu rigoarea matematica, eu privesc limitele mai mult dintr-un punct de vedere "fizic".

As fi zis ca 1^(infinit) =1
Pentru ca 1*1*1*1.... = 1 indiferent de numarul de termeni. Deci unde e problema, de ce nu e limita 1 pur si simplu?

Pentru ca (1+ceva_mic)^(1/ceva_mic) face numarul e, iar nu 1.

Adi · « **Răspuns #7 :** Octombrie 18, 2009, 01:48:00 a.m. »

Citat din: Mihnea din Octombrie 18, 2009, 01:45:39 a.m.

O explicatie "on the back of the envelope" ar fi asa: 0,99999999999999^infinit = 0, pe cand 1,00000000000001^infinit = infinit.

Ah, da, si asta,. Foarte clara explicatia, Mihnea. Arata ca de fapt conteaza de care parte a lui 1 te afli. Iar exemplu meu arata ca depinde si sub ce forma de infinit se gasete exponentul.

Mihnea Maftei · « **Răspuns #8 :** Octombrie 18, 2009, 01:58:28 a.m. »

Mircea_p, asa cum ai gandit tu (gresit) puteai sa gandesti si despre 0*infinit.

Notatia 1^infinit nu se refera la 1*1*1*1*... de o infinitate de ori (inmultire al carei rezultat este intr-adevar 1), ci la limita cand x --> x₀ din f(x)^g(x), daca limita cand x --> x₀ din f(x) este 1 si limita cand x --> x₀ din g(x) este infinit.

Adi · « **Răspuns #9 :** Octombrie 18, 2009, 02:12:50 a.m. »

Corecta definitie, Mihnea. Ajuta la clarificarea notiunii.

laurentiu · « **Răspuns #10 :** Octombrie 18, 2009, 02:56:42 p.m. »

@mircea_p:cred ca esti de acord ca $\frac{n+1}{n}$ se apropie de 1 ca n este din ce in ce mai mare ,e apropierea asta inseamna ca pt orice $\eps>0$ exista un $n_{\eps} \in\mathbb{N}$ a.i. $\frac{n+1}{n} \in (1-\eps,1+\eps)$ ,in cazul de fata fiind chiar in $(1,1+\eps)$ ,deoarece $1+\frac{1}{n}>1,\forall n$ natural nenul .Asta se traduce matematic prin $\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=1$ .Notand cu $x_n=\frac{n+1}{n}$ ,se verifica simplu ca sirul $y_n=x_n^n$ este strict crescator (de exemplu folosind binomul lui Newton),adica $y_n>y_2 ,\forall n>2$ ,iar $y_2=1,5^2=2,25 =>y_n>2,25$ ,si dupa cum ti-am demonstrat $x_n$ este "aproape 1",nu 1,ci foarte aproape de 1 ,iar ridicand asta la n ,adica $\lim_{n\to\infty} x_n^n=e$ ,care este aproximativ egal cu 2,71828.Sper ca este mai clar acum .

mircea_p · « **Răspuns #11 :** Octombrie 18, 2009, 03:55:58 p.m. »

Multumesc pentru toate raspunsurile.
Nu am zis ca nu sant de acord cu nedeterminarea. Asa am invatat si eu la liceu.
Nu e o "critica a paradigmei matematice actuale" ci doar o curiozitate. Nu voiam o demonstratie matematica ca nu am dreptate (nu ma indoiam de asta) ci mai degraba una intuitiva.
Cred ca e vorba mai degraba de un abuz de limbaj. Nu este 1 la infinit ci (ceva care tinde la 1)^(infinit).

andreutza_1515 · « **Răspuns #12 :** Octombrie 18, 2009, 08:26:16 p.m. »

Citat din: laurentiu din Octombrie 17, 2009, 04:46:46 p.m.

la ce universitate?si eu vreau anu asta sa intru tot la mate-info ,dar pe specializare mate,adica la anul

eu sunt la uvt (universitatea de vest timisoara) :-? bafta

Adi · « **Răspuns #13 :** Octombrie 18, 2009, 09:15:54 p.m. »

Citat din: mircea_p din Octombrie 18, 2009, 03:55:58 p.m.

Nu voiam o demonstratie matematica ca nu am dreptate (nu ma indoiam de asta) ci mai degraba una intuitiva.

Cred ca explicatia lui Mihnea tocmai asta ofera, intuitivitate.

Citat din: mircea_p din Octombrie 18, 2009, 03:55:58 p.m.

Cred ca e vorba mai degraba de un abuz de limbaj. Nu este 1 la infinit ci (ceva care tinde la 1)^(infinit).

Corect. Si mai precis, (ceva care tinde la 1)^(ceva care tinde la infinit). De aceea astea se pun in ghilimele: "1^infinit".

Autor Subiect: Calculul unor limite (Citit de 9289 ori)

andreutza_1515

Calculul unor limite

laurentiu

Re: Calculul unor limite

andreutza_1515

Re: Calculul unor limite

laurentiu

Re: Calculul unor limite

mircea_p

Re: Calculul unor limite

Mihnea Maftei

Re: Calculul unor limite

Adi

Re: Calculul unor limite

Adi

Re: Calculul unor limite

Mihnea Maftei

Re: Calculul unor limite

Adi

Re: Calculul unor limite

laurentiu

Re: Calculul unor limite

mircea_p

Re: Calculul unor limite

andreutza_1515

Re: Calculul unor limite

Adi

Re: Calculul unor limite