Unde cade grauntele cand i se drumul din turn?

[Adi]

Iata problema pusa de Mihnea despre grauntele care pica din turn si iata aici raspunsul meu. Din pacate, nu stiu ce au comentariile de pe site, se pare ca nu accepta textul intreg, poate pentru ca are formule.

Mersi pentru confirmare, Mihnea. Deci luam cazul in care h turn << Raza pamant, astfel incat local curbura Pamantului poate fi neglijata si variatia lui g cu inaltimea la fel, dar in acelasi timp luam in considerare ca suprafata Pamantului se roteste in jurul Pamantului cu viteza tangentiala v0=wR, iar varful turnului de inaltime h cu viteza v1=w(R+h). Consideram un sistem de referinta fix relativ la centrul Pamantului, cu axa Oy pe axa turnului si cu directia pozitiva pentru axa OX pe paralela Pamantului. Astfel, grauntele cade intr-un interval de timp T = sqrt(2h/g) = 6.4 secunde pentru h = 200 de metri. In acest timp, grauntele a parcurs pe orizontala x1=w(R+h)T, iar baza turnului x0=w(R+0)T. Astfel x1>x0 si grauntele cade in fata turnului cu x1-x0=whT. w=2pi/Tzi, unde Tzi=86400 secunde (e perioada de rotatie a Pamantului in jurul axei sale). T=6.4 secunde, h=200 metri. Punem valorile si obtinem x1-x0 aproximativ 10 centritri.

Grauntele cade spre vest. Astfel, daca ii dai drumul pe partea de est, se va lovi de perete. Daca ii dai drumul spre vest, va cadea in fata turnului.

delta x = constanta * h^(3/2)

E bine asta, Mihnea?

In concluzie

[Mihnea Maftei]

Calculele tale si explicatiile par foarte bune (am ajuns sa vorbesc asa cu un fizician ). Dar daca tot m-ai intrebat...

Insa grauntele cade spre est, nu spre vest.

[Mihnea Maftei]

Dar trebuie precizat ca ale tale calcule sunt pentru un turn aflat la Ecuator.

In clasa a 9-a, cand am facut problema asta, se dadea o latitudine mai mare (si probabil si un turn mai mic) si obtinusem cam 1,80 cm.

[Adi]

Asa este, cade spre est. Am adaugat si rezolvarea in functie de latitutinde pe site la comentarii. Ce era inainte trebuie inmultit cu cos de unghiul latitudinii. Super problema. Mergeti pe site, acolo este rezolvarea completa.

[graethel]

Mihnea, de ce nu actioneaza asupra grauntelui nici o forta centrifuga, asa cum mi-ai scris in comentariu?

[Adi]

Mihnea, de ce nu actioneaza asupra grauntelui nici o forta centrifuga, asa cum mi-ai scris in comentariu?

Depinde de sistemul de referinta. In sistemul de referinta fix la centrul Pamantului (cel folosit de noi in problema), actioneaza doar greutatea si este o viteza initiala. In sistemul de referinta fix la suprafata Pamantului, atunci ar actiona forta centrifuga fara nici o viteza initiala. Noi am rezolvat problema in primul sistem pentru ca ni se pare mai usor. Datoria fizicianului este sa isi aleaga sistemul de referinta cel mai usor. 

[graethel]

Ok, asa o lamurire asteptam si de la Miihnea.

Forta "centrifuga" oricum doar o notatie, nu e o forta reala. La fel ca si forta Coriolis. In problema asta, aplicand a doua lege a lui Newton, poti scrie ca:
       
m * a = F

unde am notat cu bold vectorii si:
m - masa bobului
a - acceleratia lui, in cazul de fata a = g + w^2 * r * e
F - greutatea

e este un vector unitar orientat de-a lungul perpendicularei dreptei ce trece prin bob pe axa de rotatie a pamantului, avans sens spre axa de rotatie. w modului vitezei unghiulare de rotatie a pamantului. g este acceleratia gravitatinala. r este distanta dintre axa de rotatie si bobul de grau.

m*w^2 * r * e este notat ca si forta "centrifuga". Practic din termenenul asta se trage si viteza initiala din rezolvarea avand centrul pamantului ca sistem de referinta.

Eu rezolv orice problema de mecanica clasica dupa algoritmul asta, adica scriu inainte de toate scriu legea a 2-a a lui Newton. Deci pentru mine ambele sisteme sunt la fel de simple sau de grele, pentru ca obtin aceeasi ecuatie.

[Adi]

Mersi de confirmare si de metoda. E interesanta si generala, intr-adevar.

[Mihnea Maftei]

Stiu ca forta centrifuga e o forta fictiva. Si depinde de sistemul de referinta. Daca vrem sa spunem ca un corp ce merge uniform pe un cerc e accelerat spre centru, ok, asa este. Daca nu vrem sa spunem ca e accelerat spre centru, spunem ca forta centrifuga actioneaza si il tine in echilibru.

Revenind la problema. Dupa ce bobul e eliberat, el pur si simplu e un obiect care care este accelerat doar spre centrul Pamantului (asta nu inseamna ca se misca exact spre centrul Pamantului) si are o anumita viteza initiala. Nu mai este legat deloc de Pamant, "nu are nici o informatie" despre cum se misca acesta (decat din cauza aerului, dar cred ca trebuie neglijata asta) (presupunem ca Pamantul e fix in sensul ca nu luam in considerare miscarea fata de soare sau alte miscari in afara de rotatia in jurul sau) si se intalneste cu suprafata Pamantului mai tarziu.
De asta nu vad nici o forta centrifuga.
Dar, sigur, poate ma insel pentru ca poate ma insel asupra notiunii de "forta centrifuga".

M-am mai gandit un pic si se pare ca bobul cade si putin (probabil insesizabil de putin, dar cade) spre sud(daca e in emisfera nordica). Nu m-am gandit in termeni de forta centrifuga, ci pur si simplu gandindu-ma la geometria miscarilor.

Nu inteleg cum din termenul w²*r*e provine acea viteza initiala si cum explica formula a = g + w²*r*e devierea spre stanga. Mi se pare ca ar explica doar devierea spre sud.

Vreau sa fiu bine inteles (pentru ca am observat ca oamenii se pot supara pe forum cand cineva ii contrazice...) ca asa am gandit eu si mi-ar placea sa imi explicati daca gresesc si sa inteleg pana la urma foarte bine fenomenul. Stiu ca trecerea de la un sistem de referinta la altul cand unul din ele este "rotitor" este ceva conceptual mai dificil si nu am avut educatie in asa ceva. Sigur, asta nu inseamna ca nu pot gandi si altfel (tot corect), fara sa folosesc acele concepte. Asadar, mi-ar placea sa imi explicati daca si de ce gresesc. Nu sunt ironic.

[Mihnea Maftei]

Am gasit o imagine pe Internet pe care am editat-o si o pun aici pentru a face discutia pe acest subiect mai clara. r_G = r_S (Pamantul e sfera; aproximativ sfera, in fine).