Probleme analiza ,clasa a XII-a(fara calcul de integrale)

[laurentiu]

In special pt Gothik ,despre care am auzit ca are concurs sambata asta ,dar si pt alti useri ,propun spre rezolvare urmatoarele probleme ceva mai complicate,gen olimpiada .Mentionez din start ca eu stiu sa le rezolv ,dar sunt un bun exercitiu pt concursuri:
1.Fie continua:
a)Aratati ca exista ;
b)Aratati ca exista ;
c)Aratati ca exista .

2.Fie continua a.i. .Atunci pt orice n natural nenul exista.Aratati ca este adevarata proprietatea si daca intre si este semnul minus.

[b12mihai]

Foarte interesante problemele, dar nu am nici cea mai vaga idee cum s-ar putea face (macar da sugestie de rezolvare sau, in fine, teoria pe care o s-o folosesc te rog)...Cred ca pentru primul exercitiu, banuiesc ca trebuie folosita teorema de medie 

[laurentiu]

Pt prima problema punctul a) incearca teorema Rolle pt functia .Cred ca poti sa vezi clar ca functia aceasta indeplineste conditiile din teorema lui Rolle ,deci exista un punct .Prin calcul obtii punctul care ti se cere in concluzie .Aceeasi idee la b) si la c).
 Problema 2 e nitel mai complicata ,dar tot cu Rolle se face .Incearca sa gasesti o functie care sa indeplineasca conditiile din Rolle a.i. prin derivarea ei sa obtii relatia care ti se cere.

[laurentiu]

Si una inventata de mine (nu prea bine zis inventata ,cred ca ideea ei este de multisor in probleme ,dar cel putin eu n-am gasit-o pe nicaieri:
Fie f derivabila si .
a)Sa se arate ca ;
b)Pentru o functie notam si .Sa se arate ca .

PS:in general dupa cum am observat noua moda la concursurile interjudetene din ultimul timp este "imprumutul" probleme de pe forumuri de matematica ,iar problema aceasta am postat-o pe mateforum.ro ,deci nu ar fi imposibil ca aceasta problema sa pice la vreun concurs ,poate si la cel care participa Gothik.

[laurentiu]

Sau o problema cu teorema de medie daca te intereseaza :
Fie o functie continua, periodica de perioada 1 .Sa se arate ca .
Indicatie:se foloseste teorema de medie pe toate intervalele .

[b12mihai]

PS:in general dupa cum am observat noua moda la concursurile interjudetene din ultimul timp este "imprumutul" probleme de pe forumuri de matematica ,iar problema aceasta am postat-o pe mateforum.ro ,deci nu ar fi imposibil ca aceasta problema sa pice la vreun concurs ,poate si la cel care participa Gothik.

Interesant ce imi spui pe aici. Singura 'problema' e ca la concursul la care sunt "angrenat" e cu grila (sa pui raspuns direct, fara demonstratii - asa cum sunt la admitere la ASE/Politehnica si altele), deci nu stiu daca ar putea "imprumuta" problemele acestea. Foarte posibil ultima, cu limita sa o dea, particularizand-o si punandu-ma sa calculez concret ceva.

Oricum, trebuie sa pun mana pe creion si pe foaie si sa ma apuc de treaba 

[b12mihai]

Propun o problema ceva mai simpla, dar cu o rezolvare foarte interesanta si la care se foloseste rezultatul de la exercitiul mai jos citat:

1.Fie continua:
a)Aratati ca exista ;

Fie , o functie de doua ori derivabila. Daca f are proprietatea ca atunci sa se arate ca exista un punct astfel incat

[laurentiu]

Propun o problema ceva mai simpla, dar cu o rezolvare foarte interesanta si la care se foloseste rezultatul de la exercitiul mai jos citat:

1.Fie continua:
a)Aratati ca exista ;

Fie , o functie de doua ori derivabila. Daca f are proprietatea ca atunci sa se arate ca exista un punct astfel incat

Nici n-ai nevoie de rezultatul din problema mea .E teorema de medie o data si exista (teorema de medie e un fel de Lagrange pt integrale,si acum cum avem indeplinite conditiile din lagrange,c este in interior) .Apoi Rolle de 2 ori si avem 2 pct in care se anuleaza derivata ,apoi Rolle inca o data si asta e .

PS:nu stiu cum ai facut-o tu cu rezultatul din problema de la mine ,dar cu acel rezultat problema este destul de grea .E simpla facand-o asa.Poti sa postezi rezolvarea ta?

[b12mihai]

@laurentiu - asa-i. Asa am facut si eu demonstratia si am crezut ca se foloseste rezultatul de la acea problema cand ai f(a) = f(c) = f(b)...M-am uitat din nou peste demonstratie si nu e nevoie de rezultat.