Circuit oscilant - un pic mai complicat pt mine

[Stilicho]

Aici ar fi niste explicatii mai detaliate.
http://en.wikipedia.org/wiki/LC_circuit

[Stilicho]

O să încerc eu o rezolvare, anume aflarea intensităţii din circuit [tex]i(t)[/tex] în funcţie de [tex]u_{c10}[/tex], [tex]L[/tex] şi [tex]C[/tex].

[tex]
\left\{ {\begin{array}
{u_{C1} (t) + u_{C2} (t) + u_L (t) = 0}\\
{u_{C1} (t) = \frac{1}{{C1}}\int\limits_{t_0 }^t {i(t)dt + u_{C1} (t_0 )} }\\
{u_{C2} (t) = \frac{1}{{C2}}\int\limits_{t_0 }^t {i(t)dt} }\\
{u_L (t) = L\frac{{di(t)}}{{dt}}}\\
\end{array}} \right.
[/tex]  unde   [tex]u_{C1} (t_0 )=u_{C10}[/tex]  teniunea condensatorului [tex]C1[/tex] la [tex]t_{0}[/tex]

Fac suma tensiunilor pe ochiul de reţea, adică înlocuiesc ecuaţiile 2,3 si 4 în prima:
[tex]
\underbrace {u_{C1} (t_0 ) + \frac{1}{{C1}}\int\limits_{t_0 }^t {i(t)dt} }_{u_{C1} (t)} + \underbrace {\frac{1}{{C2}}\int\limits_{t_0 }^t {i(t)dt} }_{u_{C2} (t)} + \underbrace {L\frac{{di(t)}}{{dt}}}_{u_L (t)} = 0
[/tex]

Trec in domeniul Laplace:
[tex]
\frac{1}{s}u_{C10}+\frac{1}{{s \cdot C1}}i(s)+\frac{1}{{s \cdot C2}}i(s)+s \cdot Li(s)=0
[/tex]

În continuare, pentru a-mi uşura calculele, o să folosesc capacitatea echivalentă: [tex]C=\frac{{C1 \cdot C2}}{{C1 + C2}}[/tex]

[tex]\frac{1}{s}u_{c10}+ \frac{1}{{s \cdot C}}i(s) + s \cdot Li(s)=0[/tex]

[tex]\left( {\frac{1}{{sC}} + sL} \right)i(s) = - u_{c10} \frac{1}{s}[/tex]

[tex]i(s) = - u_{c10} \cdot \frac{C}{{1 + s^2 LC}}[/tex]

ecuaţie care se mai poate scrie sub forma:

[tex]i(s) = - u_{c10} \sqrt {\frac{C}{L}} \cdot \frac{{\frac{1}{{\sqrt {LC} }}}}{{\frac{1}{{LC}} + s^2 }}[/tex]

se trece înapoi în domeniul timp:
[tex]i(t) = - u_{C10} \sqrt {\frac{C}{L}} \sin (\frac{1}{{\sqrt {LC} }} \cdot t)[/tex]

sau:

[tex]
i(t) = - u_{C10} \sqrt {\frac{{C1 \cdot C2}}{{L(C1 + C2)}}} \sin \left( {\frac{1}{{\sqrt {L\frac{{C1 \cdot C2}}{{C1 + C2}}} }} \cdot t} \right)
[/tex]

care, zic eu este formula intensităţii în funcţie de [tex]u_{c10}[/tex], [tex]L[/tex] şi [tex]C[/tex].

Am ataşat şi un PDF cu rezolvarea.

[Adi]

Frumos ... nu zic nu. Numai ca la nivel de liceu nu se rezolva ecuatii diferentiale, nici cu Laplace, nici oricum. La nivel de liceu, se face cu diagrama aia de faze. Cu aia trebuie rezolvat. Apoi la olimpici le arati si metoda cu numere complexe ...

[Mihnea Maftei]

Dar problema asta a fost rezolvata deja, pe acest forum.
De catre mine si de catre gothik12.

[Adi]

E bine sa fie demonstratia la doua nivele: liceu si facultate. Asa cei din liceu isi pot face idee cum poti rezolva problemele mult mai usor in facultate.

[Mihnea Maftei]

E bine sa fie demonstratia la doua nivele: liceu si facultate. Asa cei din liceu isi pot face idee cum poti rezolva problemele mult mai usor in facultate.

OK (desi, de obicei, chiar la facultate, nimeni nu ar avea motive sa o rezolve altfel decat mine sau decat gothik12, pentru ca rezolvarea asta e simpla).

[Mihnea Maftei]

O să încerc eu o rezolvare, anume aflarea intensităţii din circuit [tex]i(t)[/tex] în funcţie de [tex]u_{c10}[/tex], [tex]L[/tex] şi [tex]C[/tex].
.......................................................................................
Am ataşat şi un PDF cu rezolvarea.

Ai gresit. Dupa cum ai facut desenul, Uinductor = - L di/dt     (si nu + L di/dt).
(Daca ai folosit sagetile atasate tensiunilor (pe desen) pentru a specifica (ca de obicei) ca varful sagetii e borna pozitiva si coada sagetii e borna negativa a tensiunii, atunci trebuia Uinductor = - L di/dt, in loc de + L di/dt.)
Oricum, metoda ta , daca e corecta, e frumoasa, desi inutil de complicata, dar admirabila.

[b12mihai]

@Mihnea, multumesc pentru precizari.

@Stilicho - multumesc pentru aceasta noua metoda de a rezolva (si pentru rabdare). Salvez pdf-ul si il pastrez si cand voi invata si cu integrale calumea (am inteles ca ar fi operatia inversa a derivatei) voi studia aceasta rezolvare. Insa e bine de tinut minte metoda de rezolvare si rezultatul la care ai ajuns, pentru a o lua eu de la 0 si pentru a combate ce imi da mie cu ce iti da tie.

[Adi]

Da, alte probleme rezolvate model pot fi astea care introduc integralele fara sa stii ce sunt alea integrale si abia la sfarsit sa ti se spuna: felicitari, ai facut prima ta integrala!

[Stilicho]

Dar problema asta a fost rezolvata deja, pe acest forum.
De catre mine si de catre gothik12.

Aşa ... Şi ?

OK (desi, de obicei, chiar la facultate, nimeni nu ar avea motive sa o rezolve altfel decat mine sau decat gothik12, pentru ca rezolvarea asta e simpla).

Mă gândesc că dacă aş prezenta aşa o rezolvare acolo unde mi-am făcut eu studiile, mă zburau ăia de acolo ... pe geam. 
La facultate se presupune ca nu ai învăţat degeaba calcul diferenţial sau operaţional.
Am vrut să prezint altă variantă de rezolvare, chiar dacă nu coincide cu metodele de liceu.

Oricum, metoda ta , daca e corecta, e frumoasa, desi inutil de complicata, dar admirabila.

Să presupunem că avem un circuit mult mai complicat decât un banal LC (ca cel din problema noastră), iar la intrarea lui se aplică o tensiune u(t). u(t) poate fi - în afară de tensiune constantă sau sinusoidală - impuls Dirac, traptă unitară, semnal rampă, parabolă, tren de impulsuri, etc. Metoda mea, inutil de complicată devine unica viabilă, cu care poţi face nişte calcule cantitative precise. Desigur mai sunt şi metodele numerice folosind Matlab & Simulink.
Problema prezentată de gothik12 este doar un caz simplu care, prin niste artificii de calcul, poate fi rezolvată folosind instrumentul matematic învăţat în liceu.

Ai gresit. Dupa cum ai facut desenul, Uinductor = - L di/dt     (si nu + L di/dt).

Oi fi greşit ... Dar atunci înseamnă că au greşit profesorii de la Catedra de Automatizări din UPT. Şi nu-s unu sau doi.
Pentru problema asta a trebuit să caut şi să citesc din vechile cursuri, laboratoare şi crede-mă, în toate aplicaţiile de tipul RLC sau aiurea s-a folosit acelaşi model. Este doar o chestiune de notaţie, rezultatul final va avea semnul corect.
Sensul real al tensiunii de pe bobină depinde de încărcarea condesatorului, dar eu în diagramă nu am precizat asta.
În orice caz ecuaţia tensiunilor este scrisă bine.
[tex]
u_L = L\frac{{di}}{{dt}} = L\frac{{d\left( { - u_{C10} \sqrt {\frac{C}{L}} \cdot \sin \left( {\frac{1}{{\sqrt {LC} }} \cdot t} \right)} \right)}}{{dt}} = - u_{C10} \cdot \cos \left( {\frac{1}{{\sqrt {LC} }} \cdot t} \right)
[/tex]
[tex]u_L[/tex] are semnul -. Eşti mulţumit ? 

@Stilicho - multumesc pentru aceasta noua metoda de a rezolva (si pentru rabdare). Salvez pdf-ul si il pastrez si cand voi invata si cu integrale calumea (am inteles ca ar fi operatia inversa a derivatei) voi studia aceasta rezolvare. Insa e bine de tinut minte metoda de rezolvare si rezultatul la care ai ajuns, pentru a o lua eu de la 0 si pentru a combate ce imi da mie cu ce iti da tie.

Nu bag mâna-n foc că'i bine 100% ce am făcut. Mai uitaţi-vă peste rezolvare, poate găsiţi ceva în neregulă, sau veniţi cu completări.

[Adi]

Da, metoda asta este tare ca rezolva orice problema, cu oricat de multe elemente de circuit, cand nu mai este convenabil sa o rezolvi cu o simpla diagrama ca la liceu. Este important ca ai pus aici si aceasta metoda, liceenii pot afla ce pot descoperi mai tarziu.

[Stilicho]

Insa e bine de tinut minte metoda de rezolvare si rezultatul la care ai ajuns, pentru a o lua eu de la 0 si pentru a combate ce imi da mie cu ce iti da tie.

Rezultatele sunt identice. Nu trebuie să combaţi nimica.

Dar stim ca i=Imax sin(wt)  (este sinus, nu cosinus, pentru ca , la t=0, i=0, deoarece inductorul nu poate "tolera" o crestere brusca de curent),

Nu se precizează în enunţul problemei dacă curentul variază sinusoidal, asta trebuie demonstrat. La fel şi relaţia [tex]\omega = \frac{1}{{\sqrt {LC} }}[/tex]

Gothik, faci progrese. Uite, iti propun o afacere, ca de la voluntar la voluntar. Daca eu rezolv problema model, cum o trimitem sa ajuntga la mii de elevi si sa faca publicitate virala la Stiinta Azi?

Tinerii isi dau pe mess de toate ... De aia trebuie pus logoul Stiinta Azi in document, ca sa se propage odata cu documentul ...
O alta varianta ar fi animatie Flash, ea nu se poate fura de pe site si ar trebui sa vina la noi pe site ca o citeasca.

Dau eu o solutie:
- se editează documentul folosind OpenOffice. (să folosim soluţii open-source)
- se inserează în document un logo mare "Stiinta Azi" 
- se exportă în format PDF.
- PDF-ul se protejează prin parolă, evetual se lasă numai dreptul de view si print.
Şi parola din PDF poate fi scoasă, dar nu cred să-şi bată cineva capul cu asta.

[Mihnea Maftei]

Ai gresit. Dupa cum ai facut desenul, Uinductor = - L di/dt     (si nu + L di/dt).

Oi fi greşit ... Dar atunci înseamnă că au greşit profesorii de la Catedra de Automatizări din UPT. Şi nu-s unu sau doi.
Pentru problema asta a trebuit să caut şi să citesc din vechile cursuri, laboratoare şi crede-mă, în toate aplicaţiile de tipul RLC sau aiurea s-a folosit acelaşi model. Este doar o chestiune de notaţie, rezultatul final va avea semnul corect.
Sensul real al tensiunii de pe bobină depinde de încărcarea condesatorului, dar eu în diagramă nu am precizat asta.
În orice caz ecuaţia tensiunilor este scrisă bine.
[tex]
u_L = L\frac{{di}}{{dt}} = L\frac{{d\left( { - u_{C10} \sqrt {\frac{C}{L}} \cdot \sin \left( {\frac{1}{{\sqrt {LC} }} \cdot t} \right)} \right)}}{{dt}} = - u_{C10} \cdot \cos \left( {\frac{1}{{\sqrt {LC} }} \cdot t} \right)
[/tex]
[tex]u_L[/tex] are semnul -. Eşti mulţumit ? 

Dupa cum ai facut desenul, chiar trebuia Uinductor = - L di/dt, daca sagetile semnifica ceea ce semnifica in mod normal.

Dar stim ca i=Imax sin(wt)  (este sinus, nu cosinus, pentru ca , la t=0, i=0, deoarece inductorul nu poate "tolera" o crestere brusca de curent),

Nu se precizează în enunţul problemei dacă curentul variază sinusoidal, asta trebuie demonstrat. La fel şi relaţia [tex]\omega = \frac{1}{{\sqrt {LC} }}[/tex]

Ai dreptate. Am presupus doar ca variaza dupa legea aia. Poate nu e asa.