Postulatul sau Teorema lui Euclid?

[Electron]

Ghilimele astea Uite cat timp  ne mananca asemenea amanunte dar este vina mea . Nu sunt suficient de atent.

Nu e nicio problema. Bine ca s-a lamurit chestiunea.

Dar cum am scris iti raspunsesem la 256 cu raspunsul :"nu",  adica "nu pot" adica consider ca demonstratia prezentata pica

Daca insisti sa raspunzi in acest fel, inseamna ca de data asta nu e vorba de o "exprimare care lasa de dorit" ci tu chiar nu intelegi despre ce e vorba.

Segmentele de dreapta buclucase "Ai+1`Q" si "Ai+1``Q", au un capat (Q) pe sfertul de cerc si celalalt capat pe dreapta d, strict la est de A. Deci, daca punctul Q nu coincide cu A, toate punctele acelor segmente sunt strict la est de dreapta OA si ca atare acele segmente nu au absolut nicio sansa sa intersecteze semidreapta [AO. Tu insa pretinzi in "demonstratia" ta (la punctul 2) ca notezi intersectiile respective cu O' si O'', ceea ce denota ca nici macar nu iti intelegi propria constructie geometrica. Acea intersectie este vida, repet, daca Q nu coincide cu A.

Daca insa pentru simplul motiv ca segmentele acela nu intersecteaza semidreapta [AO, tu consideri ca "demonstratia prezentata pica" (versiunea de la #255), inseamna ca tu nu intelegi faptul ca in logica "demonstratiei" tale, lipsa acelor intersectii este irelevanta, pentru ca nu segmentele acelea trebuie sa intersecteze semidreapta [AO  (ca sa ai punctele O' si O'') ci dreptele "Ai+1`Q" si "Ai+1``Q". Iar alegerea punctelor "Ai+1`" si "Ai+1``" la est de A pe d, pentru a asigura existenta intersectiei dintre dreptele "Ai+1`Q" si "Ai+1``Q" si semidreapta [AO este de-a dreptul triviala.

Dar in fine, e prerogativa ta sa-ti consideri "demonstatiile" picate, asa ca o voi ignora si eu ca fiind lipsita de interes, restul erorilor din ea fiind deci irelevante.

si ar ramane una de tipul specificat tot acolo in care raza se apropie de d1 si unghiul respectiv de zero si rezultatul este nul caci eu nu pot sa te impiedic sa spui ca duci o paralela dar  imediat ce ai duce-o sa o anulez cu un unghi mai mic decat acela realizat de tine si asta este deaemeni o certitudine caci nimic nu ma impiedeca.

Imi pare rau dar aici vorbesti niste nonsensuri mari de tot. Cel putin eu nu inteleg deloc la ce te referi cu "o anulez cu un unghi mai mic", ca atare "certitudinea" ta este complet nejustificata (nedemonstrata).

Dar doream sa trecem peste acestea , pana gasim un matematician spcialist in aplicarea rationamentelor la  imita si in geometrie daca o f posibil asa ceva .

Faci cum vrei. Eu sunt interesat de demonstratiile tale (daca le ai) si chiar nefiind un "matematician spcialist in aplicarea rationamentelor la  imita si in geometrie", sunt dispus sa-ti spun parerea mea despre ele, cu argumentele pe care le am eu.

si sa prezint cealalta demonstratie directa a postulatului ca teorema?

Prezinta ce doresti, ca nu am nicio putere sa te impiedic.


e-

[atanasu]

Deigur dar te rog sa analizezi ca asta este motivul pentru care poatez astea pe aici ; sa am cu cine ma consulta si am spus ca regret lipsa unui matematician profesionist pentru ca probabil ca tu esti fizician?
Postez textul pregatit si apoi voi analiza raspunsul tau la rezolvarea data de mine ca cine stie imi mai da vre-o idee si voi comenta daca am ce.
Asadar urmeaza demonstratia directa asupra careia te rog sa te concentrezi si uite desi deja am ce sa-ti raspund la observatiile tale anterioare legate de segmentele Ai+1`O si Ai+1``O aman asta pentru mai tarziu ca sa te concentrezi pe demonstratia care urmeaza: 

Asadar:
Fie in plan un punct O oarecare  si o dreapta d oarecare necontinand punctul.
De pe dreapta d oriunde s-ar afla punctele A si B diferite  se pot ridica  doua secante, doua drepte oarecare AO si BO, concurente in O si evident distincte. In toate triunghiurile OAB formate astfel suma unghiurilor alaturate dreptei d este mai mica decat 2 Pi (I-17).
Constructia putandu-se repeta oriunde pe tot planul adica punctul  O si dreapta d putand ocupa orice pozitie in plan cu singura conditie ca niciodata punctul O sa nu apartina dreptei d,  rezulta ca conditia din postulatul 5 cu privire la suma unghiurilor alaturate dreptei d si  facute de cele doua secante este peste tot satisfacuta atat timp cat planul este plan si dreapta dreapta,conform geometriei euclidiene si desigur teoremelor geometriei neutre  adica anterioare introducerii postulatului 5 in cadrul acesteia  adica dupa I-28.

[Electron]

deja am ce sa-ti raspund la observatiile tale anterioare legate de segmentele Ai+1`O si Ai+1``O aman asta pentru mai tarziu

Eu nu am facut nicio observatie legata de segmentele "Ai+1`O" si "Ai+1``O". Tu chiar nu intelegi deloc ceea ce scriu eu? Sau nu stii sa citesti? Sau ma confunzi cu altcineva? Cu cine?


e-

[atanasu]

O seamana foarte bine cu Q(nu se vede codita dejos)  si eu am copiat nu de pe desen ci de pe text.Am observat asta cand m-am uitat si la desen ca sa prgatesc textul meu de raspuns  dar ti-am spus sa lasam asta dupa comentariul tau la demonstratia anterioara care este foarte scurta si ori nu tzine ori tzine. Sa vedem.

[Electron]

Fie in plan un punct O oarecare  si o dreapta d oarecare necontinand punctul.
De pe dreapta d oriunde s-ar afla punctele A si B diferite  se pot ridica  doua secante, doua drepte oarecare AO si BO, concurente in O si evident distincte. In toate triunghiurile OAB formate astfel suma unghiurilor alaturate dreptei d este mai mica decat 2 Pi (I-17).

Ok.
EDIT: Acum am observat o eroare pe care e cazul sa o corectam: suma unghiurilor conform propozitiei I-17 nu este "mai mica decat 2 Pi" ci mai mica decat 2 unghiuri drepte (sau Pi radiani).

Constructia putandu-se repeta oriunde pe tot planul adica punctul  O si dreapta d putand ocupa orice pozitie in plan cu singura conditie ca niciodata punctul O sa nu apartina dreptei d, rezulta ca conditia din postulatul 5 cu privire la suma unghiurilor alaturate dreptei d si  facute de cele doua secante este peste tot satisfacuta atat timp cat planul este plan si dreapta dreapta,conform geometriei euclidiene si desigur teoremelor geometriei neutre  adica anterioare introducerii postulatului 5 in cadrul acesteia  adica dupa I-28.

Nu, nu rezulta deloc acest lucru. Propozitia I-17 te asigura ca, exact ca in costructia propusa de tine, cand exista un triungi, suma oricaror doua unghiuri ale sale e mai mica decat doua unghiuri drepte. Dar reciproca acestei afirmatii, anume ca atunci cand ai doua unghiuri alaturate unei drepte, cu suma mai mica de doua unghiuri drepte, atunci ai sigur si un triunghi (adica ar exista intersectia celor doua drepte "secante") nu rezulta de aici.

Pe scurt, in logica, regula este: "A -> B" (A implica B) nu implica "B -> A" (B implica A).

Mai explicit, daca avem doua propozitii A si B, si notam cu D (directa) propozitia "A -> B" si cu R (reciproca) "B -> A", atunci avem "D -/-> R" (directa nu implica reciproca).

Tocmai de aceea, pentru a asigura ca adevarata acea reciproca, e nevoie si de postulatul 5 al lui Euclid, in geometria Euclidiana.


e-

[atanasu]

Pai eu iau doua puncte A si B pe d si le unesc cu O care nu este coliniar cu ele. Nimic nu ma impiedeca ca prin doua puncte sa duc o dreapta in geometria neutrala si cred ca in niciuna existenta. Si de altfel eu nici nu am spus ce spui tu  referidu-te la o reciproca  ca as fi  spus ci doar ce am spus .
PS. Si tot schepsisul acetei demonstratii este ca ea epuizeaza cu aceasta constructie foarte simpla toate posibilitatile la care ne putem gandi si asta fara rest ramanand ca in mod efectiv situatia din postulat se regaseste in permanenta.
PPS Are o legatura cu definitia pe care o dau eu dreptei dar nu este implicata neaparat aceasta.

[Electron]

Pai eu iau doua puncte A si B pe d si le unesc cu O care nu este coliniar cu ele.

Ok. Cu alte cuvinte prin constructie ai un triunghi (AOB). In acel triunghi stim ca oricare doua drepte suport ale laturilor se intersecteaza una cu alta. Deci prin constructie asiguri faptul ca cele doua "secante" (AO si BO) se intersecteaza (pentru ca au punctul comun O). Asta este una dintre propozitii, sa-i zicem "P(A)" : Dreptele AO si BO se intersecteaza. Deci prin constructie ai asigurat ca P(A) este adevarata.

Nimic nu ma impiedeca ca prin doua puncte sa duc o dreapta in geometria neutrala

Ok. Ce relevanta are asta in "demonstratia" ta?

Si de altfel eu nici nu am spus ce spui tu  referidu-te la o reciproca  ca as fi  spus

Se pare ca nu doar ce spun eu nu intelegi, ci nici macar ceea ce spui tu. Vezi mai jos.

PS. Si tot schepsisul acetei demonstratii este ca ea epuizeaza cu aceasta constructie foarte simpla toate posibilitatile la care ne putem gandi si asta fara rest ramanand ca in mod efectiv situatia din postulat se regaseste in permanenta.

Oricat ai "epuiza" toate cazurile cu propozitia directa (o sa o explicitez imediat), ea tot nu implica reciproca (care e in acest caz exact postulatul 5 in formularea lui Euclid).

Deci sa analizam "demonstratia" (sau "ce ai spus") :

Fie in plan un punct O oarecare  si o dreapta d oarecare necontinand punctul.
De pe dreapta d oriunde s-ar afla punctele A si B diferite  se pot ridica  doua secante, doua drepte oarecare AO si BO, concurente in O si evident distincte.

Bun, aici avem in formularea initiala propozitia P(A): dreptele AO si BO sunt concurente (in O), prin constructie.

In toate triunghiurile OAB formate astfel suma unghiurilor alaturate dreptei d este mai mica decat 2 Pi (I-17).

Ok, aici apare a doua propozitie, sa o notam cu "P(B)" : suma unghiurilor interioare alaturate celei de-a treia dreapta (AB = d) este mai mica decat 2 unghiuri drepte.

Practic, propozitia I-17 asigura implicatia: "P(A) -> P(B)". Adica, in orice triunghi - si avem triunghi pentru ca P(A) e adevarata si A diferit de B prin constructie - rezulta ca suma oricaror doua unghiuri alaturate e mai mica de 2 unghiuri drepte, de unde rezulta ca P(B) e adevarata, pentru ca ea se refera la doua unghiuri din triunghiul AOB.

Aceasta este propozitia (implicatia) pe care am numit-o directa : "P(A) -> P(B)".

Constructia putandu-se repeta oriunde pe tot planul adica punctul  O si dreapta d putand ocupa orice pozitie in plan cu singura conditie ca niciodata punctul O sa nu apartina dreptei d,

Cu asta spui ca propozitia directa e adevarata "peste tot in plan", ceea ce nu contesta nimeni, pentru ca implicatia respectiva P(A) -> P(B) a fost demonstrata (in I-17) independent de situarea concreta a elementelor implicate in vreo parte particulara a planului.

  rezulta ca conditia din postulatul 5 cu privire la suma unghiurilor alaturate dreptei d si  facute de cele doua secante este peste tot satisfacuta atat timp cat planul este plan si dreapta dreapta,conform geometriei euclidiene si desigur teoremelor geometriei neutre  adica anterioare introducerii postulatului 5 in cadrul acesteia  adica dupa I-28.

Ei bine, aici e vorba de fapt de reciproca si anume "P(B) -> P(A)" care, date fiind propozitiile "P(A)" si "P(B)" explicitate mai sus, reprezinta afirmatia ca daca suma unghiurilor alaturate interne e mai mica decat 2 unghiuri drepte (ceea ce sustine P(B) ), atunci rezulta ca cele doua drepte (AO si BO) se intersecteaza (ceea ce sustine P(A) ). Repet ca reciproca e tocmai continutul postulatului 5 in formularea lui Euclid.

Deci, tu "zici" (gresit) ca, deoarece implicatia directa P(A) -> P(B) este adevarata (demonstrata in I-17), atunci ar rezulta ca reciproca P(B) -> P(A) ar fi adevarata, ceea ce e complet fals, pentru ca implicatia "directa implica reciproca" este falsa, lucru bine stiut in logica elementara.

Acum e mai clar "ce zici" si de ce e gresit ceea ce zici?


e-

[atanasu]

Nu apelez la nici-o reciproca adica nu o deduc logic. O constat caci  spun doar atat: orice punct O as lua si asta inseamna ca pot acoperi tot planul pentruca nu lucrez cu limita de timp si rationamentul este unic si repetabil pastrand dreapta d aceiasi toate perechile de drepte AO so BO sunt concurente si suma unghiurilor dintre dreapta si cele doua drepte concurente este mereu mai mica de 2Pi. Deci cercetand aceasta figura daca doar dreapta d ar exista as conchide ca intradevar nu pot duce alte  doua drepte din A si B care sa nu se intalneasca caci toate au fost deja duse si nu mai este posibil sa duc nici una care sa nu fie printre cele deja duse. Si daca repet rationamentul pentru orice dreapta sau toate dreptele din planul in care lucram se va intampla acelasi lucru.  Adica se constata prin constructie ca in afara de drepte paralele duse prin A si B(conform I-28) toate celelalte sunt concurente in partea in care unghiurile discutate au o suma mai mica decat 2Pi. Eu stiu ca se intalnesc in baza constructiei si doar deduc ca au conform I-17 suma unghiurilor respective mai mica decat 2Pi dar  nu invoc in nici-un fel reciproca lui I-17. Ea va rezulta imediat ce voi accepta postulatul ca teorema existenta  dar de  fapt intru in geometria euclidiana dupa enuntul postulatului acesta  fiind o constatare care nu poate fi altfel. Daca insa teorema I-17 nu exista degeaba faceam constructia respectiva ca nu as putut trage concluziile pe care le-am tras puteam doar alaturi de Euclid sa postulez si eu. Nu stiu de ce nu intelegi acest rationament geometric inductiv. Poate fiind prea supus logicii formale a implicatiei...
Oricum sunt sigur ca nu o sa accepti ce spun eu dar nici nu o sa ma poti convinge ca am gresit. Eu inteleg cum privesti tu problema si nu sunt de acord caci nu mi-am propus sa demonstrez reciproca teoremei I-17 ci postulatul lui Euclid.
Este intradevar uimitor de simplu ce am facut. Seamana cu oul lui Columb chiar daca dupa Farcas B. ar putea fi si din diamant, globul pamatesc fiind desigur o supradimensoinare entuziasta.

PS Demonstratia mea este in stil Arhimede si nu in logica aristotelica bivalenta. Este daca vrei o inductie  in geometrie dar fara sa lucram pe sirul numerelor naturale ca in algebra cum de fapt se lucreaza orice inductie completa care este de fapt reluarea  inductiei complete de nedemonstrat( fiind postulata) a regulei sirului natural al numerelor adica consecinta a  numararii acestora, fiind nedemonstrabil ca "daca (n) atunci (n+1) =(n)+ 1". Dar chestia asta nu stiu daca o vei intelege. Poate Abel...

[atanasu]

Si nu pot sa ma stapanesc desi nu vreau sa le amestec si doar deocamdata fata de propozitia ta de la 270: "Segmentele de dreapta buclucase "Ai+1`Q" si "Ai+1``Q", au un capat (Q) pe sfertul de cerc si celalalt capat pe dreapta d, strict la est de A. Deci, daca punctul Q nu coincide cu A, toate punctele acelor segmente sunt strict la est de dreapta OA si ca atare acele segmente nu au absolut nicio sansa sa intersecteze semidreapta [AO." spun ca este nu eronata ci total carcotasa caci se bazeaza pe faptul ca nu am mai trecut de la segment la semidreapta(asa este absolut corect si nu la dreapta cum spui matale)   . Dar ce este important este spusa ta cum ca : " alegerea punctelor "Ai+1`" si "Ai+1``" la est de A pe d, pentru a asigura existenta intersectiei dintre dreptele "Ai+1`Q" si "Ai+1``Q" si semidreapta [AO este de-a dreptul triviala". Adica de ce este triviala? . Si daca este asa atunci poate ca nu-mi mai consider "demonstatia" picata, desi nu prea mai sper asta din motivele scrise deja.
O sa revin si la chestia cu unghiul "mai mic" care  vad ca nu a fost clara pentru tine.

[Electron]

nu mi-am propus sa demonstrez reciproca teoremei I-17 ci postulatul lui Euclid.

Si care ar fi dupa tine diferenta dintre reciproca teoremei I-17 si postulatul 5 in formularea lui Euclid?

PS: Voi reveni saptamana viitoare cu mai multe comentarii la restul erorilor postate de tine.


e-

[atanasu]

Daca ma intrebi care este diferenta intre reciproca teoremei I-17 si postulatul lui Euclid poate imi comunici textul reciprocei pe care eu nu l-am gasit nicaieri.

[Electron]

Daca ma intrebi care este diferenta intre reciproca teoremei I-17 si postulatul lui Euclid poate imi comunici textul reciprocei pe care eu nu l-am gasit nicaieri.

Am precizat deja ca reciproca propozitiei I-17 este tocmai postulatul 5 in formularea lui Euclid. Daca tu pretinzi ca nu e asa, vino cu reciproca despre care tu zici ca e diferita sa arati precis diferentele despre care vorbesti.


e-

[atanasu]

Sigur ca da pentruca chiar daca nu am gasit-o nicaieri pot sa incerc sa o deduc:
Asadar: Teoreme I-17 are ca ipoteza ca "in orice triunghi" si ca concluzie "suma  a oricaror doua unghiuri este mai mica decat 2Pi" atunci dupa mine reciproca este:
"Orice pligon convex care are suma oicaror doua unghiuri mai mica decat doi Pi este un triunghi "
Si daca pretinzi ca " reciproca propozitiei I-17 este tocmai postulatul 5 in formularea lui Euclid" cred ca tie iti ramane sa arati ce-mi ceri mie, adica diferente sau nu intre postulat si reciproca data de mine, desigur daca o accepti .

[atanasu]

De ce crezi ca numai eu trebuie sa raspund la niste intrebari. Am scris care este reciproca si eu nu vad identitate cu postulatul. daca nu esti de acord spune de ce si o sa vad si eu . Dar tu eviti uneori raspunauri care nu te avantajeaza? Ce sa fac am apucat sa vad ce ai scris si ai sters imediat.Nu stiu daca vei recunoaste acest aspect...

[Electron]

Asadar: Teoreme I-17 are ca ipoteza ca "in orice triunghi" si ca concluzie "suma  a oricaror doua unghiuri este mai mica decat 2Pi"

Nu chiar. Sa luam textul propozitiei I-17 care apare pe site-ul perseus:

In any triangle two angles taken together in any manner are less than two right angles.

Ceea ce in romaneste ar fi cam asa:
In orice triunghi, doua unghiuri oarecare au suma mai mica decat doua unghiuri drepte.

Cum un unghi drept are Pi/2 radiani, doua unghiuri drepte au Pi radiani (si nu "2Pi" cum zici tu).

atunci dupa mine reciproca este:
"Orice pligon convex care are suma oicaror doua unghiuri mai mica decat doi Pi este un triunghi "

Aceasta varianta (cu care nu sunt de acord) introduce notiunea de "poligon convex" care este complet irelevanta in propozitia I-17 si ca atare nu are ce cauta in reciproca sa.

Intr-adevar, ipoteza propozitiei I-17 face referire la "orice triunghi", dar vazand care e concluzia, anume ceva legat de suma a doua unghiuri oarecare (care in triunghiuri sunt musai alaturate), rezulta ca ceea ce e important in ipoteza, adica ce "folosim" de la dragul de triunghi nu este faptul ca e un "poligon convex", ci faptul ca, dreptele suport ale laturilor care fac cu a treia latura cele doua unghiuri din suma se intersecteaza in semiplanul in care se afla unghiurile respective, cum se intampla in orice triunghi. Deci mai explicit, aidca explicitand cele doua parti ale implicatiei (directe) din I-17 ar suna cam asa:

In orice triunghi, deoarece oricare doua drepte suport ale laturilor triunghiului se intersecteaza in semiplanul care contine unghiurile interne (prima propozitie din implicatie), suma unghiurilor interne pe care le fac cele doua laturi cu a treia este mai mica decat doua unghiuri drepte (a doua propozitie din implicatie).

De remarcat faptul ca, daca nu vorbim de triunghiuri, adica daca nu stim ca cele doua drepte se intersecteaza in semiplanul cu unghiurile interne (dreptele din prima propozitie), atunci nu mai putem ajunge la concluzia ca suma unghiurilor interne (cea din a doua propozitie) este mai mica decat doua unghiuri drepte. Contraexemple putem gasi extrem de usor (de exemplu cazul din pentagon, unde suma unghiurilor interne alaturate e mai mare decat doua unghiuri drepte, cele doua drepte implicate neintersectandu-se in semiplanul in care se afla cele doua unghiuri).

Folosind "triunghiul" in I-17, lucrurile se formuleaza mult mai scurt si concis, dar citind mai atent continutul ei, in special concluzia la care ajunge, se vede ce anume din "triunghi" e relevant si ce nu.

Ei bine, date fiind cele doua propozitii explicitate din I-17, eu consider ca reciproca sa este in mod evident postulatul 5 in formularea lui Euclid.

Nu stiu daca are rost sa mai insist cu asta, deoarece se pare ca oricum argumentul meu cu "directa nu implica reciproca" (argument din logica elementara) nu te convinge, tu considerand ca pentru acel argument ar fi necesar ca tu sa declari (sa fii de acord) in mod explicit ca vrei sa folosesti relatia de directa si reciproca intre propoztiile implicate.

Argumentatia ta din #277 este incorecta independent de folosirea notiunilor de "directa" si "reciproca", si o voi comenta in postarea mea urmatoare.


e-