Problema propusa

[zec]

 Sa se construiasca printr-un punct interior unui cerc, 2 coarde perpendiculare astfel incat suma lor sa fie :a) maxima b)minima.


Sincer m-am gandit ceva la problema asta si nu am gasit o solutie .Am cautat si prin metoda analitica dar parca mai rau se complica relatia .
Am propus aceasta problema nu in ideea sa gasesc o solutie de la cineva ,dar poate o idee care sa duca spre rezolvare.Ca sugestie ar trebui realizata o constructie in care sa regasim acele coarde si putem evalua situatia de minim sau maxim.O alta sugestie ceva mai avansata ar fi sa folosim transformari geometrice.In fine poate se gaseste cineva cu o idee.

[meteor]

Nu pricem  ce asa de greu, sau eu ceva poate nu am inteles.
Maxim= 4R (punctul e in origine)
Minim=2sqt(2)R (in asa caz punctul este pe linia cercului)

[Stark]

Salut Zec,

inteleg ca punctul este fix si se cere orientarea coardelor in asa fel incat suma lor sa fie minima sau maxima.

Notez cu d distanta de la centrul cercului la punctul dat si cu R raza cercului. Notez cu [tex] \theta[/tex]
unghiul facut de coarda cu dreapta care uneste punctul data cu centrul cercului. Atunci distanta de la centrul cercului la coarda este [tex] d\,\sin(\theta)[/tex]  iar pentru cealata coarda este  [tex] d\,\cos(\theta)[/tex], deoarece coardele sunt perpendiculare si unghiurile dintre ele si dreapta ce uneste centrul cercului cu punctul respectiv sunt complementare.

Daca distanta de la centru la coarda este cunoscuta atunci stiu lungimea ei si deci semi suma coardelor este

[tex]
s=\sqrt{R^2- d^2\,\sin(\theta)^2}+ \sqrt{R^2- d^2\,\cos(\theta)^2}
[/tex]

Acum se poate usor evalua unde sunt punctele de extrem.
De exemplu folosind inegalitatea dintre media aritmetica si media patratica

[tex]
\frac{x+y}{2}\leq \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}
[/tex]

gasesc ca semisuma coardelor este

[tex]
s\leq 2\, \sqrt{\frac{2\,R^2-d^2}{2}}= const
[/tex]

cu egalitate pentru [tex] \theta =\frac{\pi}{4}[/tex] , adica coardele au lungimi egale si dreapta ce uneste centrul cercului cu punctul dat este bisectoarea unghiului facut de coarde.

Similar se gaseste usor si minimul ptr [tex]\theta=0,\,\frac{\pi}{2}[/tex], adica atunci cand una din coarde este diametru.

[zec]

 E foarte bine Stark.Multumesc.
Si da punctul este fix..reiese din enunt
@meteor nu ai facut bine.
Observatie dupa ce ai calculat s se poate face evaluare si in modul urmator.
s minim sau maxim implica [tex]s^2[/tex] minim sau maxim.
Ridicand la patrat expresia, scriind cos in functie de sin si notand [tex]sin^2(\theta)=x[/tex] Problema revine la un maxim si minim al unui produs mai exact
[tex](R^2-d^2x)(R^2-d^2+d^2x)[/tex] ce ne duce in functie de grad 2 cu maxim atins in varf si minime in capete x luand valori extreme in 0 si 1 cazurile [tex]\theta\in0;\pi/2[/tex]

[Stark]

Un corolar al problemei tale ar fi ca poti spune care sunt conditiile de minim si maxim ptr
aria patrulaterului format de cele doua coarde ortogonale. Aria este semiprodusul diagonalelor, i.e. semi produsul coardelor.

Un alt aspect, ma gandeam daca problema ta ar putea sa admita o generalizare in cazul elipsei.
Poate ca pentru investigatie ar fi bine sa consideram cateva cazuri particulare in care punctul dat este fie centrul elipsei,
fie se afla intr-unul din focare sau se afla pe circumferinta. In cazul in care s-ar afla intr-unul din focare solutia ar fi usoara deoarece poti folosi
ecuatia elipsei in coordonate polare cu originea sistemului de coordonate intr-unul din focare:

[tex]
r(\theta) = \frac{p}{1-\epsilon\,\cos(\theta)}
[/tex]