Ştiri:

Vă rugăm să citiţi Regulamentul de utilizare a forumului Scientia în secţiunea intitulată "Regulamentul de utilizare a forumului. CITEŞTE-L!".

Main Menu

Băiat sau fată? - un paradox de Martin Gardner

Creat de morpheus, Martie 18, 2011, 05:40:26 PM

« precedentul - următorul »

0 Membri şi 1 Vizitator vizualizează acest subiect.

morpheus

Cum răspundeţi la următoarele două întrebări:

1. Dl. Grigore are 2 copii. Cel mai mare este băiat. Care e probabilitatea ca ambii să fie băieţi?
2. Dl. Grigore are 2 copii. Cel puţin unul dintre ei e băiat. Care e probabilitatea ca ambii să fie băieţi?
Cu momentul în care ne naştem, timpul începe să ne ia viaţa înapoi. (Seneca)

Adi

#1
Citat din: morpheus din Martie 18, 2011, 05:40:26 PM
Cum răspundeţi la următoarele două întrebări:

Exista doua feluri de statistici. In statistica frecventista (cea clasica, in care informatia pe care o stim inainte de masuratoare nu ne foloseste la nimic), raspunsurile sunt:

Citat din: morpheus din Martie 18, 2011, 05:40:26 PM
1. Dl. Grigore are 2 copii. Cel mai mare este băiat. Care e probabilitatea ca ambii să fie băieţi?

50%.

Citat din: morpheus din Martie 18, 2011, 05:40:26 PM
2. Dl. Grigore are 2 copii. Cel puţin unul dintre ei e băiat. Care e probabilitatea ca ambii să fie băieţi?

50%

Deci raspunsuri banal de simple. Poate tu te gandesti la statistica bayesiana, unde se pune accentul pe informatia pe care o sti inainte de a face masuratoarea. Daca da, te rog sa confirmi.
Pagina personala: http://adrianbuzatu.ro

tavy

#2
Citat din: morpheus din Martie 18, 2011, 05:40:26 PM
Cum răspundeţi la următoarele două întrebări:

1. Dl. Grigore are 2 copii. Cel mai mare este băiat. Care e probabilitatea ca ambii să fie băieţi?
2. Dl. Grigore are 2 copii. Cel puţin unul dintre ei e băiat. Care e probabilitatea ca ambii să fie băieţi?
Puse așa întrebările nu sunt prea interesante. Dacă vrei ca unii să învețe ceva poate era bine dacă le puneai în modul următor:
1. Dl. Grigore are 2 copii. Care e probabilitatea ca ambii să fie băieţi?
2. Dl. Grigore are 2 copii. Cel mai mare este băiat. Care e probabilitatea ca ambii să fie băieţi?

Presupunând bineînțeles că probabilitatea ca un copil să fie băiat să fie egală cu cea ca un copil să fie fată.
Interesant este și cantitatea de informație adusă de ,,Cel mai mare este băiat" care este:
[tex]
\log_{2}\left(\frac{4}{2}\right)\ bit=1 bit
[/tex]

Mihnea Maftei

Citat din: morpheus din Martie 18, 2011, 05:40:26 PM
Cum răspundeţi la următoarele două întrebări:

1. Dl. Grigore are 2 copii. Cel mai mare este băiat. Care e probabilitatea ca ambii să fie băieţi?
2. Dl. Grigore are 2 copii. Cel puţin unul dintre ei e băiat. Care e probabilitatea ca ambii să fie băieţi?

Imi plac intrebarile astea doua, morpheus. Eu vad asa situatia:

La 2. (nu 1.), raspunsul este 1/3, adica 33,(3)%, pentru ca exista in total patru posibilitati la fel de probabile:
a) intai baiat, apoi fata,
b) intai baiat, apoi baiat,
c) intai fata, apoi baiat,
d) intai fata, apoi fata,
iar daca stim deja ca cel putin unul dintre copii este baiat, atunci ne aflam intr-una dintre trei situatii la fel de probabile: a), b) sau c).

La 1., raspunsul este 1/2, adica 50%, pentru ca doar sexul celui de-al doilea copil conteaza si poate fi ori fata ori baiat in aceeasi masura. Sau, gandind altfel, ne aflam intr-una dintre situatiile a) si b).

morpheus

Pai intr-adevar, cred ca doar intrebarea 2 are potentialul de a naste discutii. Am putea sa gandim si astfel:

Presupunand ca, in randul familiilor cu doi copii, sunt distribuite in mod egal evenimentele de tipul "primul nascut e baiat","primul nascut e fata","al doilea nascut e baiat", "al doilea nascut e fata", ar trebui ca, din n familii cu 2 copii, sa avem:

25%=n/4 - familii cu baiat+fata, cu baiatul mai mare
25%=n/4 - familii cu fata+baiat, cu fata mai mare
25%=n/4 - familii cu 2 baieti
25%=n/4 - familii cu 2 fete.

Cum stim ca cel putin unul dintre copii este baiat, raman 3n/4=75% din cazuri, ca baza de calcul a probabilitatii. Si, dupa cum se vede, in 50% din cazurile totale, dar doar o treime (25% din 75%) din cele de luat in calcul conform ipotezei prezentate in problema, ambii copii vor fi baieti.
Cu momentul în care ne naştem, timpul începe să ne ia viaţa înapoi. (Seneca)

morpheus

Citat din: Adi din Martie 18, 2011, 06:49:25 PM
Poate tu te gandesti la statistica bayesiana, unde se pune accentul pe informatia pe care o sti inainte de a face masuratoarea. Daca da, te rog sa confirmi.

Nu pot sa confirm, pentru ca nu inteleg diferenta dintre cele doua tipuri de statistica. Sper ca postul meu anterior te va lamuri despre cum vad eu problema. Daca poti adapta problema 2 la ambele tipuri de statistica mentionate, poate ne dai exemplu aici, caci chiar as vrea sa imi lamuresc ideile despre cele 2 concepte...
Cu momentul în care ne naştem, timpul începe să ne ia viaţa înapoi. (Seneca)

Adi

#6
Statistica asa cum se studiaza in scoala si apoi in facultate si cum este folosita si in viata de zi cu zi de oameni este frecventista.

http://en.wikipedia.org/wiki/Frequency_probability

Statistica frecventista esueaza in unele cazuri, tot asa cum fizica clasica esueaza in unele cazuri. Atunci trebuie folosita corect o alta statistica, cea bayesiana. Asa cum fizica relativista merge in toate cazurile, tot asa si statistica bayesiana merge in toate cazurile. Numai ca in cele mai multe cazuri simple statistica frecventista e suficient de precisa si ea este mult mai simplu de folosit decat statistica bayesiana.

Pe scurt despre ce e vorba. In fizica frecventista, probabilitatea ca un eveniment sa se intample nu depinde de informatia pe care o avem inainte de a face experimentul. In fizica bayesiana, depinde. In fizica frecventista, prin definitie nu invatam niciodata nimic. In fizica bayesiana, prin definitie, mereu invatam ceva nou. Si cand luam urmatoarele decizii le luam pe baza a ce invatam. Surpriza! Exact asta facem si in viata de zi cu zi. De exemplu: nu tratam fiecare fata ne intra in viata absolut la fel, si odata o cucerim, alta data ne respinge si facem tot asa mereu pana cand la final tragem linie si zicem ca pe 30% din fete le-am cucerit. Nu, la fiecare fata folosim o strategie diferita, si este diferita tocmai pe baza a ce am invatat din experienta incercarii de a cuceri fetele precedente. Viata este asadar chiar bayesiana. Si e chiar pacat ca oamenii gandesc atunci frecventist la nivel constient. Subconstientul insa sigur invata bayesian. Ei bine, fizica bayesiana incearca sa cuantifice si sa puna numere la probabiliti de evenimente atunci cand stii informatii despre ele dinainte.
Pagina personala: http://adrianbuzatu.ro

Adi

Citat din: Adi din Martie 18, 2011, 06:49:25 PM
Citat din: morpheus din Martie 18, 2011, 05:40:26 PM
2. Dl. Grigore are 2 copii. Cel puţin unul dintre ei e băiat. Care e probabilitatea ca ambii să fie băieţi?

50%

Imi recunosc greseala. Acum ca Mihnea a detaliat si argumentat, imi dau seama ca are drepate. Daca cu A definit baiat si cu B fata si daca primul copil are primul in enumerare, atunci avem cazurile AA, AB, BA. Cazul BB e eliminat, caci ar fi cazul a doua fete si cel putin unul din copii e baiat. Atunci probabilitea sa fie ambii baieti este 1/3, adica doar unul din cazurile AA, AB si BA este cazul AA.
Pagina personala: http://adrianbuzatu.ro

florin_try

#8
Voi rezolva punctul 2 ca e mai simplu:

Cred sa se impun a preciza 2 asumptii, care mie imi par rezonabile:

1) probabilitatea ca un copil sa se nasca fata sau baiat este de 50%.
2) probabilitatea ca un copil sa se nasca fata sau baiat este de 50%, indiferent la a cita nastere e mama respectiva. Cu alte cuvinte selectia sexului copilului in nasteri succesive sunt evenimente independente.

Fie p0 probabilitatea ca la nastere sa se selecteze sexul masculin. Evident  pmale = p0 = 0.5 .
Probabilitatea de selectie a sexului feminin este : pfemale = 1-p0 = 0.5 =  pmale (cred ca e evident).
pmale = pfemale = 0.5 indica caci nu exista un bias in genele parintilor catre a da nastere preponderent la unu din sexe. Eu zic ca e rezonabil ca in medie  sa presupunem asta, deoarece pe glob sunt cam jumate barbati jumate femei.

Intrucit evenimentele constind din 2 nasteri succesive sunt independente  (asumptia 2 mai sus) probabilitatea ca la prima nastere sa se obtina "baiat" si la a doua nastere sa se obtina tot baiat este:

pmale, male = p0(prima nastere) * p0(a doua nastere) = 0.5*0.5 = 0.25 (sau 25%)

Similar, ca sa aiba 2 fetite in doua nasteri consecutive probabiitatea e:
 pfemale, female = (1-p0) *(1- p0) = 0.5*0.5 = 0.25 (sau 25%)

Similar, ca sa aiba primul copil baiat si al doilea fetita este:
 pmale, female = (p0 *(1- p0) = 0.5*0.5 = 0.25 (sau 25%)

Similar, ca sa aiba primul copil fetita si al doilea baiat este:
 p female, male = (1-p0) *p0 = 0.5*0.5 = 0.25 (sau 25%)

--------
Probabilitatea ca din 2 copii sa ai cel putin un baiat este data de probabilitatea urmatorului eveniment compus:
e={
1) primul copil sa fie baiat si al doilea sa fie fetita, sau
2) al doilea copil sa fie baiat si  primul fetita , sau
3) primul copil sa fie baiat si al doilea sa fie baiat
}

Eu zic ca este evident ca intre cele 3 evenimente separate prin sau nu exista overlap care sa scada din probabilitati conform: p(a sau b) = p(a) + p(b) - p(a si b).
Asadar, in termen de probabilitati, evenimentul compus de mai sus poate fi pus ca:

pcel putin un baiat =  pmale, female + pfemale, male +  pmale, male =
                          (p0)(1-p0)              +(1-p0)*p0         + p0*p0 =
                            0.5*0.5                + 0.5*0.5            + 0.5*0.5 =
                           0.75 (75%).

Admitind ca nu exista nici un bias genetic al parintilor catrre unul din sexe, sansa ca din 2 copii cel putin unu sa fie baiat e de 75%.  
Similar, sansa ca din 2 copii cel putin unul sa fie fetita e tot de 75% (se poate argumenta imediat ca asa e pe baza simetriei problemei).

----

Revin la prima intrebare:
Citat
1. Dl. Grigore are 2 copii. Cel mai mare este băiat. Care e probabilitatea ca ambii să fie băieţi?

Intrebarea e tricky.  Iata de ce: Daca problema era "Dl. Grigore are 2 copii. Care e probabilitatea ca ambii să fie băieţi?" fara a se da nici o alta precizare despre cum e primul copil, raspunsul era simplu: 25%, dupa cum am aratat mai sus.

Insa in problema originala avem o extra informatie: "Cel mai mare este băiat.". Tinind cont si de aceasta informatie, tot ce trebuie sa stim pentru a rezolva problema e NUMAI sexul celui de al doilea copil, care, asa cum am aratat mai sus, este determinat cu o probabilitate de pmale=p0=50%

Asadar, daca nu e vorba de un trick linvistic, cred ca la problema 1,
" Dl. Grigore are 2 copii. Cel mai mare este băiat. Care e probabilitatea ca ambii să fie băieţi?"
dupa ce eliminam ce e reductibil, raspunsul obtinut e:
p= 50%.

INSA: Avem voie sa eliminam ce pare reductibil sau trebuie musai sa luam ad literam " Care e probabilitatea ca ambii să fie băieţi?". Nu stiu. Va intreb pe voi.

----
Repet, la o probleme formulata ca:
Dl. Grigore are 2 copii. Care e probabilitatea ca ambii să fie băieţi?"
raspunsul e p=25%.

Adi

Citat din: florin_ din Martie 20, 2011, 03:22:03 AM
Cred sa se impun a preciza 2 asumptii, care mie imi par rezonabile:

1) probabilitatea ca un copil sa se nasca fata sau baiat este de 50%.
2) probabilitatea ca un copil sa se nasca fata sau baiat este de 50%, indiferent la a cita nastere e mama respectiva. Cu alte cuvinte selectia sexului copilului in nasteri succesive sunt evenimente independente.

Foarte buna precizarea ta. Si noi am facut aceste presupuneri, dar nu le-am precizat. Cu precizarea ta e si mai riguros. Si tu ai obtinut acelasi rezultat ca Mihnea.
Pagina personala: http://adrianbuzatu.ro

florin_try

Citat din: Adi din Martie 20, 2011, 04:06:48 AM
.. Si tu ai obtinut acelasi rezultat ca Mihnea.

Dar sunt un pic confuz, de exemplu Mihnea a spus ca i-a dat la 2) 33%:
Citat
La 2. (nu 1.), raspunsul este 1/3, adica 33,(3)%, pentru ca exista in total patru posibilitati la fel de probabile:

Iar la 1 da 50% daca reformulezi intrebarea si tii cont de extra-informatia ca cel mai mare copil e baiat. Cred insa ca 50% e corect pe baza informatiei date.

tavy

Citat din: florin_ din Martie 20, 2011, 04:27:33 AM
Dar sunt un pic confuz, de exemplu Mihnea a spus ca i-a dat la 2) 33%:

Întrebarea 2 era:
Citat din: morpheus din Martie 18, 2011, 05:40:26 PM
2. Dl. Grigore are 2 copii. Cel puţin unul dintre ei e băiat. Care e probabilitatea ca ambii să fie băieţi?

Tu ai calculat probabilitatea ca cel puțin unul din copii să fie băiat. Problema era însă alta, ți se spune că cel puțin unul este băiat și ți se cere probabilitatea ca ambii să fie băieți.

Propoziția ,,Cel puţin unul dintre ei e băiat" îți aduce o informație de:
[tex]\log_2\left(\frac{4}{3}\right)\ bit=0,415 bit[/tex]

florin_try


Acum m-am lamurit!!! Thanks tavy pentru precizare.

Iarasi nu am fost atent la enuntul problemei, si sa am rezolvat cu totul altceva....

Oricum, cel putin primul punct imi suna un pic si a smecherie lingvistica, in sensul ca iti da mai multa info decit e necesar iar intrebarea de fapt se reformuleaza.


tavy

Citat din: florin_ din Martie 20, 2011, 09:15:41 AM
Oricum, cel putin primul punct imi suna un pic si a smecherie lingvistica, in sensul ca iti da mai multa info decit e necesar iar intrebarea de fapt se reformuleaza.
Cum adică îți dă mai multă informație decât e necesar, după mine îți dă informație de 1bit, la fel cum în al doilea caz îți dă 0,415bit.

Citat din: morpheus din Martie 18, 2011, 05:40:26 PM
1. Dl. Grigore are 2 copii. Cel mai mare este băiat. Care e probabilitatea ca ambii să fie băieţi?
Propoziția ,,Cel mai mare este băiat." îți reduce incertitudinea la jumătate, asta este chiar definiția bitului (cantitatea de informație necesară reducerii la jumătate a incertitudinii).

Adi

Citat din: tavy din Martie 20, 2011, 09:56:34 AM
Cum adică îți dă mai multă informație decât e necesar?

Pai la problema 1 e mai multa informatie decat e necesar. Era suficient sa spuna ca unul din copii este baiat. Nu era nevoie sa adauga informatia inutila ca odrasla cea mea era baiat. Raspunul la problema e acelasi si daca odrasla mai mica era baiat. Asadar informatia a fost de fapt "unul din copiii este baiat si acela este primul copil". Era suficient "unul din copii este baiat".

In alta ordine de idei, ce formula a informatiei folosesti? Din cate stiu, nu exista o teorie a informatiei decat in telecomunicatii (Shannon) si aceea nu are echivalent in problem cu copii.
Pagina personala: http://adrianbuzatu.ro