Probleme de matematica

[Adi]

Excelent, Constantin.a!

[ICS]

Sa se rezolve in mutimea numerelor intregi ecuatia x(x+1)+y(y+1)=z(z+1) unde x,y,z sunt numere diferite de zero si prime intre ele.

Ai nevoie de ea, sau stii solutia si vrei sa vezi daca o stim noi?

Am incercat sa o rezolv de exemplu ca pe o ecuatie de gradul 2 in z si sa pun conditia ca discriminantul sa fie un patrat perfect si in acest fel am ajuns la rezolvarea unei ecuatii de form a²+b²=c²+1 si aceasta ecuatie nu stiu sa o rezolv in multimea numerelor intregi.Are cineva vreo idee?

[Adi]

Aha. Din pacate eu nu am nici o idee, in afara de aceea de a pune la intamplare numere si a vedea care merge, doar doar de s-ar gasi o solutie.

[ICS]

Aha. Din pacate eu nu am nici o idee, in afara de aceea de a pune la intamplare numere si a vedea care merge, doar doar de s-ar gasi o solutie.

Eu as vrea o solutie generala in functie de unul sau doi parametri...

[Sigma2]

Mai intai vom observa ca 2 numere consecutive sunt prime intre ele

x=-1       y=1       z=-2
' '           y=2       z=-3
''            y=3       z=-4
.....................................
''             y=k      z=-(k+1)   k=nr natural, nenul
Solutiile ecuatiei vor fi tripletele   de forma(-1,k, -(k+1)) si (-1-(k+1),k).In finalul exercitiului se va de monstra unicitatea solutiei.

x=-2       y=-1        z=1
x=-3       y=-1        z=2
x=-4       y=-1        z=3
------------------------
x=-k       y=-1         z=k-1
Deci si tripletele  (-k,-1,k-1) si(-k,k-1,-1)  sunt solutii pt ecuatia data.(se va demonstra unicitatea solutiei si in acest caz).

x=1      y=-1   z=-2
x=2        ''      z=-3
.................................
x=k        y=-1  z=-(k+1)
S-a obtinut o noua solutie
(k.-1,-(k+1)) si (k,-(k+1),,-1)   unicitatea
asemanator se obtine si tripletul  (-1,-(k+1),k}


Unicitatea solutiei (la pct 1)  aven(-1,k, -(k+1))
se fac inlocuirile in relatia data
0+k*(k+1)=-(k+1)*(-k)
Presupunem pri absurd ca exista z=/=-(k+1) care sa satisfaca relatia data
Fie z=p. p=nr intreg
Relatia devine
0+k*(k+1)=p*(p+1)  => calcule=.>k+p=-1  =>p=-1-k  adica z=-1-k.Contradictie cu presupunerea  (z=/=-(k+1))
Deoarece x,y, z acopera intreaga multime  Z, s-a demonstrat unicitatea solutiei, => problema a fost rezolvata.

[ICS]

Mai intai vom observa ca 2 numere consecutive sunt prime intre ele

x=-1       y=1       z=-2
' '           y=2       z=-3
''            y=3       z=-4
.....................................
''             y=k      z=-(k+1)   k=nr natural, nenul
Solutiile ecuatiei vor fi tripletele   de forma(-1,k, -(k+1)) si (-1-(k+1),k).In finalul exercitiului se va de monstra unicitatea solutiei.

x=-2       y=-1        z=1
x=-3       y=-1        z=2
x=-4       y=-1        z=3
------------------------
x=-k       y=-1         z=k-1
Deci si tripletele  (-k,-1,k-1) si(-k,k-1,-1)  sunt solutii pt ecuatia data.(se va demonstra unicitatea solutiei si in acest caz).

x=1      y=-1   z=-2
x=2        ''      z=-3
.................................
x=k        y=-1  z=-(k+1)
S-a obtinut o noua solutie
(k.-1,-(k+1)) si (k,-(k+1),,-1)   unicitatea
asemanator se obtine si tripletul  (-1,-(k+1),k}


Unicitatea solutiei (la pct 1)  aven(-1,k, -(k+1))
se fac inlocuirile in relatia data
0+k*(k+1)=-(k+1)*(-k)
Presupunem pri absurd ca exista z=/=-(k+1) care sa satisfaca relatia data
Fie z=p. p=nr intreg
Relatia devine
0+k*(k+1)=p*(p+1)  => calcule=.>k+p=-1  =>p=-1-k  adica z=-1-k.Contradictie cu presupunerea  (z=/=-(k+1))
Deoarece x,y, z acopera intreaga multime  Z, s-a demonstrat unicitatea solutiei, => problema a fost rezolvata.

Observ ca prin rationamentul de mai sus rezulta ca orice solutie presupune ca obligatoriu ori x=-1,ori y=-1,ori z=-1.Eu cred ca solutiile prezentate mai sus nu sunt decat o mica parte din solutii deoarece -1 este o valoare care apare constant....prin metoda mea rezulta si ca x=-7,y=5 si z=8 este o solutie a ecuatiei,mai greu este sa gasesc o solutie care sa dea cele trei necunoscute in functie de doi parametri m si n care sa aiba valori astfel incat m²-n²+1 sa fie un patrat perfect.

[Sigma2]

da, ai dreptate si tripletul tau este solutie pt ecuatie, deci trebuie .gasita o metoda mai generala.nu inteleg totusi cum plecand de la ecuatia de grd 2 in z,
ai ajuns la [tex]\{m}^2[/tex]-[tex]\{n^2[/tex]+1= pp?(determinantul meu e oarecum diferit)

[ICS]

da, ai dreptate si tripletul tau este solutie pt ecuatie, deci trebuie .gasita o metoda mai generala.nu inteleg totusi cum plecand de la ecuatia de grd 2 in z,
ai ajuns la [tex]\{m}^2[/tex]-[tex]\{n^2[/tex]+1= pp?(determinantul meu e oarecum diferit)

Ecuatia initiala este de fapt o ecuatie in z si anume z²+z-x(x+1)-y(y+1)=0 al carei discriminant este 4y²+4y+4x²+4x+1=m² si rezolvand aceasta ecuatie de gradul doi in y rezulta ca discriminantul m²-4x²-4x=n² si in final rezolvand aceasta ecuatie de gradul doi in x rezulta discriminantul m²-n²+1 care trebuie sa fie un patrat perfect.Deci ar rezulta o ecuatie de forma m²-n²+1=p² sau scrisa altfel n²+p²=m²+1 si daca gasim multimea numerelor intregi nenule si prime intre ele m,n,p atunci am rezolvat ecuatia x(x+1)+y(y+1)=z(z+1) astfel incat x,y,z sa fie numere nenule si prime intre ele.

[Lumina]

Nu se rezolva cu discriminant (delta....), ci mult mai finut