O conjectura

[AlexandruLazar]

Alexandru,
sunt de acord cu ceea ce ai spus !
Ceea ce cred ca nu intelegi este incercarea prin rationamentul pe care l-am aratat si pe care l-ai analizat tu, sa-i arat lui zec ca demonstratia lui nu este completa.

Într-adevăr, asta nu înţeleg. Te referi cumva la asta?

Astfel conejctura devine [tex]\frac{2N}{ln2N}\ge\frac{3}{2}\frac{N}{lnN}[/tex] care este echivalenta cu [tex]N^4\ge 8N^3[/tex] ceea ce este adevarat.

Mie mi se pare că a doua relaţie chiar rezultă din prima. Recunosc că nu am nici răbdarea, nici îndemânarea (şi n-am avut niciodată plăcerea ) să calculez, dar mi se pare că ceea ce a făcut zec a fost să aducă la acelasi numitor, să introducă coeficienţii logaritmilor în logaritmi (pe baza proprietăţii [tex]a \cdot ln(x) = ln(x^a)[/tex] şi să obtină o inecuaţie numai în puteri ale lui N, care se reduce la a doua relaţie. Desigur, din a doua relaţie poţi ajunge la prima făcând drumul invers.

Dacă de-aici vine confuzia poate s-ar lumina doar dacă zec ne-ar arăta cum a ajuns de la prima relaţie la a doua? Aş posta eu calculul dar cum priceperea mea în domeniu se apropie vertiginos de zero mi-e teamă că mai mult aş încurca topicul decât l-aş ajuta...

[Etcetera]

@Etcetera, mai bine nu te grabi cu concluziile. Iati o pauza. Mai studiaza si analizeaza. Daca, matereialul de studiu cutare ti se pare neclar, atunci ramine sa mai studiezi. Eu spre exemplu, nu ma implic in domenii necunoscute.

Ai dreptate !
Si concluzia la care ai ajuns, ln(x) >=3ln(2) este corecta.
SCUZE SI CELORLALTI !

[zec]

meteor a inteles cel mai bine si a remarcat ca am dat o demonstratie partiala.
Chiar daca echivalenta [tex]\pi(N)\sim\frac{N}{lnN}[/tex] e utilizabila la numere mari totusi ea functioneaza si la numere mici.
Si avem [tex]0,92\frac{N}{lnN}<\pi(N)<1,11\frac{N}{lnN}[/tex] incadrari pe care le putem folosi si la numere mici.Aceste constante prea putin influenteaza rezultatul  dar am sa arat cum ar fi fost mai corect.
Avem de aratat:[tex]\pi(2N)\ge\frac{2}{3}\pi(N)[/tex] .Si avem [tex]\pi(2N)\ge0,92\frac{2N}{ln2N}[/tex] respectiv [tex]\pi(N)<1,11\frac{N}{lnN}[/tex] de unde amplificand cu 3/2 obtinem: [tex]\frac{3}{2}\pi(N)<1,11\frac{3}{2}\frac{N}{lnN}[/tex].
Astfel daca are loc [tex]0,92\frac{2N}{ln2N}\ge1,11\frac{3}{2}\frac{N}{lnN}[/tex] pentru majoritatea numerelor naturale e demonstrata conjectura.
Putem obtine o inecuatie ale carei solutii in numere naturale sa fie toate numere naturale mai putin cateva,care pot fi  primele numere chiar si pana la 100.Astfel pentru numerele care nu va avea loc inegalitatea se va face verificare la fiecare numar in parte.
La rezolvarea inecuatiei prima operatie a fost simplificarea cu N deoare e numar pozitiv dupa care amplificarea cu 2ln(2N)lnN (la fel ca impartirea amplifacrea e cu numere pozitive si o putem realiza).Si ajungem la urmatorul rezultat[tex]0,92\times4lnN\ge1,11\times3ln2N[/tex].
Initial era fara acele valori,dar ca sa fie mai usor am sa amplific cu 100 si fac inmultirile si obtin [tex]368lnN\ge333ln2N[/tex] de unde obtin [tex]lnN^{368}\ge ln2^{333}N^{333}[/tex] si de aici rezulta [tex]N^{368}\ge2^{333}N^{333}[/tex] simplificand rezulta [tex]N^{35}\ge2^{333}[/tex]  care pentru N>2¹⁰ e adevarata,iara pentru valori pana in 2¹⁰ e de verificat eventual cu ajutorul calculatorului.

[meteor]

meteor a inteles cel mai bine si a remarcat ca am dat o demonstratie partiala.
Chiar daca echivalenta [tex]\pi(N)\sim\frac{N}{lnN}[/tex] e utilizabila la numere mari totusi ea functioneaza si la numere mici.
Si avem [tex]0,92\frac{N}{lnN}<\pi(N)<1,11\frac{N}{lnN}[/tex] incadrari pe care le putem folosi si la numere mici.Aceste constante prea putin influenteaza rezultatul  dar am sa arat cum ar fi fost mai corect.
Avem de aratat:[tex]\pi(2N)\ge\frac{2}{3}\pi(N)[/tex] .Si avem [tex]\pi(2N)\ge0,92\frac{2N}{ln2N}[/tex] respectiv [tex]\pi(N)<1,11\frac{N}{lnN}[/tex] de unde amplificand cu 3/2 obtinem: [tex]\frac{3}{2}\pi(N)<1,11\frac{3}{2}\frac{N}{lnN}[/tex].
Astfel daca are loc [tex]0,92\frac{2N}{ln2N}\ge1,11\frac{3}{2}\frac{N}{lnN}[/tex] pentru majoritatea numerelor naturale e demonstrata conjectura.
Putem obtine o inecuatie ale carei solutii in numere naturale sa fie toate numere naturale mai putin cateva,care pot fi  primele numere chiar si pana la 100.Astfel pentru numerele care nu va avea loc inegalitatea se va face verificare la fiecare numar in parte.
La rezolvarea inecuatiei prima operatie a fost simplificarea cu N deoare e numar pozitiv dupa care amplificarea cu 2ln(2N)lnN (la fel ca impartirea amplifacrea e cu numere pozitive si o putem realiza).Si ajungem la urmatorul rezultat[tex]0,92\times4lnN\ge1,11\times3ln2N[/tex].
Initial era fara acele valori,dar ca sa fie mai usor am sa amplific cu 100 si fac inmultirile si obtin [tex]368lnN\ge333ln2N[/tex] de unde obtin [tex]lnN^{368}\ge ln2^{333}N^{333}[/tex] si de aici rezulta [tex]N^{368}\ge2^{333}N^{333}[/tex] simplificand rezulta [tex]N^{35}\ge2^{333}[/tex]  care pentru N>2¹⁰ e adevarata,iara pentru valori pana in 2¹⁰ e de verificat eventual cu ajutorul calculatorului.

Merci, acum mai clar. Si ce simplu era  .
Apropo, din demonstratia (din rezultatul anterior) anterioara, reese ca e adevarata demonstratia doar pentru N>=8 (prin simplificare cu N^3).
Si inca un chitibus mai am, in final cind ajungi la a (doua demonstratie), inegalitatea e valabila Inclusiv pentru 2^10, trebuia N>=2^10.