Marea Teoremă a lui Fermat

[A.Mot-old]

Marea teoremă a lui Fermat:

Nu există numere întregi pozitive x, y, z și n, unde n> 2, pentru care xⁿ + yⁿ = zⁿ.

Demonstrație:

Se arată cu ușurință că x, y, z trebuie să fie laturile unui triunghi.
Presupunând că z> y> x sunt laturi ale triunghiului ABC cu unghiurile corespunzătoare A> B> C, atunci putem scrie xⁿ + yⁿ = zⁿ și x cosB + y cosC = z din care obținem în cele din urmă yⁿ − xⁿ = z^n-2(y²-x²).
Se arată cu ușurință că x^k + y^k> z^k unde 1≤k≤n − 1.

1) Din zⁿ = xⁿ + yⁿ și yⁿ − xⁿ = z^n-2(y² − x²) rezultă zⁿ− (y² − x²) z^{n − 2}−2xⁿ = 0 ceea ce înseamnă că ∑z_iz_k = - (y² − x²) și z₁ ⋅z₂ ⋯ z_n-1⋅zn = -2⋅ (-1) ⁿ⋅xⁿ.
2) Din zⁿ = xⁿ + yⁿ și yⁿ − xⁿ = z^{n − 2} (y² − x²) rezultă zⁿ + (y² − x²) z^{n − 2}−2yⁿ = 0 ceea ce înseamnă că ∑z_iz_k = (y² − x²) și z¹⋅z² ⋯ z^n-1⋅zⁿ = -2⋅ (-1)ⁿ⋅yⁿ.
3) Din 1) și 2) rezultă că x = y, fapt imposibil, deoarece prin ipoteza x <y.

Quod erat demonstrandum.

Există cineva care să găsească o greșeală în această demonstrație făcută cu elemente de matematică din vremea lui Fermat? Aștept răspunsuri! Mulțumesc foarte mult!

[atanasu]

O sa ma uit mai atent la demonstratie dar deocamdata iti  atrag atentia ca conform teoremei cu nr 20 din cartea I a lui Euclid laturile unui triunghi nu pot avea orice valoare ci trebuie sa respete conditia ca suma a doua din ele sa fie mai mare decat cea de a treia. Daca asta nu te incurca este OK si te rog sa spui ca sa nu ne chinuim inutil noi care am fi dispusi sa urmarim demonstratia ta .
Numai bine

[A.Mot-old]

O sa ma uit mai atent la demonstratie dar deocamdata iti  atrag atentia ca conform teoremei cu nr 20 din cartea I a lui Euclid laturile unui triunghi nu pot avea orice valoare ci trebuie sa respete conditia ca suma a doua din ele sa fie mai mare decat cea de a treia. Daca asta nu te incurca este OK si te rog sa spui ca sa nu ne chinuim inutil noi care am fi dispusi sa urmarim demonstratia ta .
Numai bine

Nu mă încurcă deloc...Aștept replici!

Toate cele bune!

[atanasu]

Sa presupunem ca demonstratia este corecta in cazul unor numere x,y,z care pot fi laturi ale unui triunghi dar anterior  ti-am spus ca nu orice trei numere intregi diferite (dar teorema Fermat nu cred ca impune sa fie neaparat diferite) pot fi laturi in triunghi. Ce faci cu cele ce nu pot fi laturi?

[A.Mot-old]

Sa presupunem ca demonstratia este corecta in cazul unor numere x,y,z care pot fi laturi ale unui triunghi dar anterior  ti-am spus ca nu orice trei numere intregi diferite (dar teorema Fermat nu cred ca impune sa fie neaparat diferite) pot fi laturi in triunghi. Ce faci cu cele ce nu pot fi laturi?

Se arată cu ușurință că x, y, z cu 0<x<y<z aparținând numerelor naturale trebuie să fie laturile unui triunghi.
Dacă x+y=z atunci ce rezultă din (x+y)ⁿ=zⁿ?Rezultă că o sumă de numere mai mari ca zero este nulă ceea ce este aberant....În concluzie rezultă că x+y>z , x+z>y și y+z>x care sunt de fapt relații între laturile 0<x<y<z ale unui triunghi oarecare.
Fermat s-a referit numai la numerele întregi pozitive adică diferite de zero....
Ce înțelegi tu prin numere întregi diferite???

[atanasu]

Ti se pare si te rog sa te mai gandesti. Daca nu intelegi ce spun, intreaba-ma si-ti voi arata.

[A.Mot-old]

Ti se pare si te rog sa te mai gandesti. Daca nu intelegi ce spun, intreaba-ma si-ti voi arata.

Nu înțeleg ce spui , așa că spune mai clar ceea ce vrei să argumentezi...
De ce nu răspunzi la întrebarea "Ce înțelegi tu prin numere întregi diferite???"?

[atanasu]

1) Numere intregi diferite sunt cele care nu sunt egale adica 2 =2 dar 2 diferit de 3.
2) OK; ce fel de numere sunt de exemplu  n+1 , n+2 si 2n +5 ?
Pe infatuatul ala lipsit de consistenta nu e cazul sa-l bagi in seama. Il amuza pe eletron si este suficient.

[atanasu]

Fiindca vad ca desi Pozitron nu s-a ostenit sa-mi raspunda dar politetea este o afacere personala asa ca.. si pentruca totusi prostiile Copilului minune au mai iesit din cadru si ai revenit si  tu sa feliciti valorile remarcabile ale forumului si sa te manifesti destul de doct pe aici te intreb in problemma aia cu teorema Fermat ce nu se poate discuta relativ ci strict exact : ai inteles ce ti-am raspuns?

[A.Mot-old]

1) Numere intregi diferite sunt cele care nu sunt egale adica 2 =2 dar 2 diferit de 3.
2) OK; ce fel de numere sunt de exemplu  n+1 , n+2 si 2n +5 ?
Pe infatuatul ala lipsit de consistenta nu e cazul sa-l bagi in seama. Il amuza pe eletron si este suficient.

1) 2<3... si ce-i cu asta?Eu am specificat că este evident că soluțiile M.T.F trebuie sa fie astfel ca 0<x<y<z și am demonstrat că obligatoriu x+y>z , x+z>y , y+z>x , ceea ce înseamnă că x , y , z sunt laturile unui triunghi.
2) Dacă n este număr natural atunci numerele specificate de tine sunt numere naturale.... și ce-i cu asta?Dacă te referi  la M.T.F așa cum a enunțat-o Fermat , atunci aceste numere nu pot verifica ecuația x^m+y^m=z^m pentru niciun număr natural m deoarece numerele tale nu verifica condițiile de a fi laturile unui tringhi.
Despre care infatuat vorbești?

[atanasu]

Pai la 1) este raspunsul la ce ma intrebi si felul in care in loc sa multumesti ca ti-am raspuns, spui "ce-i u asta?" te indica ca  fiind si tu unul din cei infatuati desi asta este o boala generala a siturilor de acest soi.  PS Insa in intextul meu ma referaeam la C.V.
2) La 2) este evident ca multimea infinita a numerelor intregi care nu pot fi laturi ale unui triunghi, in situatia in care tu pretinzi ca ai demonstrat ca laturile unui triunghi numere intregi satisfac MTF nu sunt acoperite de demonstratia ta si atunci cu ele  cum ramane?

[A.Mot-old]

Pai la 1) este raspunsul la ce ma intrebi si felul in care in loc sa multumesti ca ti-am raspuns, spui "ce-i u asta?" te indica ca  fiind si tu unul din cei infatuati desi asta este o boala generala a siturilor de acest soi.  PS Insa in intextul meu ma referaeam la C.V.
2) La 2) este evident ca multimea infinita a numerelor intregi care nu pot fi laturi ale unui triunghi, in situatia in care tu pretinzi ca ai demonstrat ca laturile unui triunghi numere intregi satisfac MTF nu sunt acoperite de demonstratia ta si atunci cu ele  cum ramane?

1) Toți avem din când în când stări de infatuare.Tu nu ai fost infatuat niciodată?Încântarea de sine nu este un defect așa de mare....
2) În cazul general când x , y , z sunt numere întregi demonstrația trebuie făcută altfel și eu nu am cercetat decât ceea ce a afirmat avocatul și matematicianul Fermat ...
Dacă ne referim la mulțimea numerelor întregi , atunci este evident că demonstrația mea este valabilă doar pentru ecuația |x|ⁿ+|y|ⁿ=|z|ⁿ unde |x|<|y|<|z| unde |N| este modulul numărului N....

[atanasu]

Ei da! Acum te-ai repliat frumos si in acest caz este clar ca pretinzi doar ca ai ezolvat conjectura doar pentru o clasa de numere intregi respetiv cele ce pot fi laturi ale unui triunghi si deci satiscat inegalitatea data si de euclid si pe care am prezentat-o anteior.
De altfel in decursul celor peste 300 ani de la lansarea ei s-u ai gasit clase de numere naturale care sa o satisfaca si despre asta gasesti destule in https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_Last_Theorem.
Dar personal eu nu am gasit undeva pomenita clasa pe care pretinzi abia acum(intial considerai ca ai rezolvat cu QED intreaga problema a acestei celebre conjecturi)  ca ai descoperit-o si anume numere naturale care pot satisface conditia euclidiana de a putea fi laturi ale unui triunghi.
Daca demonstratia pe care o prezinti la inceput dar nu in detaliu, este corecta atunci ai totusi o realizare, adica descoperirea unei clase importante de numere naturale care satisfac conjectura lui Fermat.
Asadar fii mai explicit cu demonstratia ta unde introduci si cosinusul unghiurilor B si C ale unui triunghi si detaliaz-o ca sa o pot urmari mai usor si eu dar ote si altii.
Sanatate si numai bine.

[A.Mot-old]

Ei da! Acum te-ai repliat frumos si in acest caz este clar ca pretinzi doar ca ai ezolvat conjectura doar pentru o clasa de numere intregi respetiv cele ce pot fi laturi ale unui triunghi si deci satiscat inegalitatea data si de euclid si pe care am prezentat-o anteior.
De altfel in decursul celor peste 300 ani de la lansarea ei s-u ai gasit clase de numere naturale care sa o satisfaca si despre asta gasesti destule in https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_Last_Theorem.
Dar personal eu nu am gasit undeva pomenita clasa pe care pretinzi abia acum(intial considerai ca ai rezolvat cu QED intreaga problema a acestei celebre conjecturi)  ca ai descoperit-o si anume numere naturale care pot satisface conditia euclidiana de a putea fi laturi ale unui triunghi.
Daca demonstratia pe care o prezinti la inceput dar nu in detaliu, este corecta atunci ai totusi o realizare, adica descoperirea unei clase importante de numere naturale care satisfac conjectura lui Fermat.
Asadar fii mai explicit cu demonstratia ta unde introduci si cosinusul unghiurilor B si C ale unui triunghi si detaliaz-o ca sa o pot urmari mai usor si eu dar ote si altii.
Sanatate si numai bine.

Detalii:

1) x^n-1:z^n-1•x+y^n-1:z^n-1•y=z=xcosB+ycosC
2) (x^n-1:z^n-1-cosB)•x+(y^n-1:z^n-1-cosC)•y=0
3) cosB=(z²+x²-y²):(2zx) , cosC=(z²+y²-x²):(2zy)
4) yⁿ − xⁿ = z^n-2(y²-x²)