suma

[foton01]

Buna seara!
Am urmatoarea problema:
Sa se demonstreze ca suma de la k=1 la n din (1/k^3) este mai mica ca 11/9. Imi puteti da o idee va rog ?
Multumesc! 

[HarapAlb]

Incearca sa-i stabilesti o limita superioara care sa fie mai mica decat 11/9.

[meteor]

Incearca sa aplici integrala.

[Etcetera]

Buna seara!
Am urmatoarea problema:
Sa se demonstreze ca suma de la k=1 la n din (1/k^3) este mai mica ca 11/9. Imi puteti da o idee va rog ?
Multumesc!  

Pentru ca n poate fi oricat de mare intrucat nu are o limita, ai putea sa exprimi problema ta fiind functia zeta pentru s=3 :

[tex]\zeta _{(3)}=\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^{3}}=1+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{3^{3}}+...[/tex]
si care are o valoare aproximativa :
http://mathworld.wolfram.com/AperysConstant.html

Compar-o cu 11/9.

[foton01]

Multumesc mult pentru opiniile voastre!
As mai avea sa va intreb ceva. Cum demonstrez ca 3 la puterea (n+(1/(3 la n))) este mai MARE decat
1+(3 la n)?? n este numar natural mai mare decat 1 Multumesc

[Etcetera]

Mai intai vreau sa stiu daca am inteles bine.
Este vorba despre:

[tex]{3}^{n+\frac{1}{3^{n}}}>1+3^{n}[/tex]

[zec]

 Problema initiala nu e deloc usoara mai ales ca valoarea de convergenta e foarte apropiata de 11/9.Metodele existente sunt mai mult clasice si nu prea merge cu inductie sau alte tipuri de inegalitati in modul direct.Solutiile sunt complicate si destul de complexe.Problema depaseste nivelul obisnuit.

[meteor]

Multumesc mult pentru opiniile voastre!
As mai avea sa va intreb ceva. Cum demonstrez ca 3 la puterea (n+(1/(3 la n))) este mai MARE decat
1+(3 la n)?? n este numar natural mai mare decat 1 Multumesc

S-ar poate asa:
3^x>x+1; x=1/3^n.
1. Daca demonstrezi ca pe intervalul (1/3; inf) functiile de la inegalitate nu se intersecteaza..atunci..
2. Calculezi integrala de la (0; 1/3) la prima si la a doua functie.
Apoi compari integralele, care e mai mare acea si restecta inegalitatea..

@zec, pe mine am sa incerc sa arat cum cu integrala s-ar putea rezolva prima intrebare.

[zec]

 O idee de a demosntra acea inegalitate este urmatoarea:
Aratam ca [tex]1+\frac{1}{2^3}+....+\frac{1}{n^3}<\frac{11n-1}{9n}[/tex]
.Am verificat si iese prin inductie.
Verificarea o sar si incep cu procedeul de inductie.
Notez cu P(n) aceea inegalitate .Presupunem P(n) adevarata si arat ca implica P(n+1) adevarat.
[tex]1+\frac{1}{2^3}+....+\frac{1}{n^3}+\frac{1}{(n+1)^3}<\frac{11n-1}{9n}+\frac{1}{(n+1)^3}[/tex]
aratam ca [tex]\frac{11n-1}{9n}+\frac{1}{(n+1)^3}<\frac{11(n+1)-1}{9(n+1)}[/tex] si inductia e demonstrata.
Aducem la acelasi numitor si obtinem:
[tex](n+1)^3(11n-1)+9n<(n+1)^2n(11n+10)[/tex].Dupa ce faci reducerile obtii [tex](n+1)^2>9n[/tex]relatie adevarata ptr. n>6.Deci nu ramane decat sa faci verificare ptr n=7.In mod normal verificarea ar trebui sa aiba loc.
A doua problema.
Ai asa imparti inegalitatea cu [tex]3^n[/tex] si obtii [tex]3^{\frac{1}{3^n}}>1+\frac{1}{3^n}[/tex] ridici la puterea [tex]3^n[/tex] si obtii [tex](1+\frac{1}{3^n})^{3^n}<3[/tex] .Partea din stanga e cunoscuta ca limita catre e si ca este majorata de catre 3.E vorba de sirul celebru  [tex](n+\frac{1}{n})^n\to e[/tex]

[foton01]

Multumesc mult pentru raspunsuri!  Voi cum reusiti sa scrieti cu cod (sa scrieti 2 la a 3-a ca pe foaie) ? Niciodata nu am inteles de unde se poate scrie 

[zec]

Multumesc mult pentru raspunsuri!  Voi cum reusiti sa scrieti cu cod (sa scrieti 2 la a 3-a ca pe foaie) ? Niciodata nu am inteles de unde se poate scrie 

Unde apare [tex]\pi[/tex] la optiunile de editare se deschide laTex.Parca era un post pe forum cu un mic tutorial.Nu este foarte greu pentru chestii simple.Am sa explic cele de baza si cele mai uzuale :
Deci textul in latex se introduce intre tex care semnifica de unde incepe si /tex care determina unde se termina .Ambele tex si /tex in paranteze patrate.Click pe Pi sus si apar direct.Acuma nu ramane decat sa editezi.
Daca scri a^n incadrat de latex va aparea [tex]a^n[/tex]
Daca scri a_n va arata [tex]a_n[/tex],adica cu indice.
Daca cumva la putere ai mai mult de un caracter de editat atunci deschizi acolada si inchizi acolada.El va edita puterea cu tot ce apare intre acolade.
De exemplu a^{n+1} va aparea [tex]a^{n+1}[/tex].Acolada e folosita pentru delimitare in latex.
Fractiile se scriu sub forma \frac{numarator}{numitor} deci ce am scris va arata asa
[tex]\frac{numarator}{numitor}[/tex]
Pentru litere grecesti scri \pi sau \alpha si vor arata ca in limba greaca [tex]\pi,\alpha[/tex]
Daca pui litera mare la inceput vor aparea litere mari grecesti adica [tex]\Pi,\Omega[/tex]
Pentru alte caractere poti sa mai cauti tutoariale despre latex pe net.
Nu uita inainte de a posta ai optiunea de verificare,verifici intai cum va arata si dupa aia postezi.Uneori ai grija sa lasi spatiu intre anumite caractere caci altfel da eroare.
De exemplu voi scrie \alpha x ca sa apara [tex]\alpha x[/tex]
Radicalul e \sqrt{x} cel clasic sau \sqrt[n]{x} cel de ordin n [tex]\sqrt x \sqrt[n]x[/tex]
Pentru un singur caracter sub radical nu e nevoie de acolade de exemplu pot scrie
Radical de ordin 3 din 2 in 2 moduri \sqrt[3]2 sau \sqrt[3]{2} dau acelasi rezultat [tex]\sqrt[3]2[/tex].Doar cu astea poti scrie aproape orice problema.E adevarat mai existe destule functii dar pentru mai multe detalii cauta ceva tutoriale.Eu personal folosesc mathtype si editeaza el automat .Doar ca eu sterg delimitarile de start si de sfarsit caci nu am nevoie de ele.

[foton01]

Multumesc mult 

[Sieglind]

Aici gasesti "tutorialul": http://www.scientia.ro/forum/index.php/topic,1617.0.html

Iar aici ai o serie de simboluri: http://omega.albany.edu:8008/Symbols.html