problema Olimpiada

[Flavius]

Sa se determine sistemele de n numere reale,n>=2 care au proprietatea ca oricare dintre ele este suma inverselor celorlalte.

Poate cineva sa-mi spuna cum pot incepe acesta problema/cateva indicatii/pasi de urmat?

[zec]

in primul rand scrie relatiile precum un sistem.
[tex]x_1=1/x_2+1/x_3+....+1/x_n[/tex]
[tex]x_2=1/x_1+1/x_3+...+1/x_n[/tex]
..................................................
[tex]x_n=1/x_1+1/x_2+......1/x_{n-1}[/tex]
Aceste sisteme sunt grele incearca sa il rezolvi pentru caz particular n=3.

[abcd]

Plecând de la ce a menționat zec în mesajul anterior, dacă faci suma tuturor relațiilor obții :

[tex]\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n-1}=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}[/tex]

Iar așa cum a exprimat anterior zec relațiile poți observa că trecând din dreapta în stânga termenul [tex]\frac{1}{x_k}[/tex] ajungi să exprimi în stânga exact termenul [tex]x_k[/tex], [tex]k\leq n[/tex]
Spre exemplu, [tex]x_n=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n-1}-\frac{1}{x_n}[/tex]

[sicmar]

Folosesc notațiile introduse ce către zec.

Cazul n=2 este banal, soluția imediată fiind x₂=1/x₁, cu x₁ arbitrar /=0. În continuare considerăm cazul n>2.

Dacă n>2 și x₁=x₂= .. x_n atunci imediat avem x₁=(n-1)/x₁. Acestă ecuație conduce la soluțiile sistemului:
x₁=x₂=...=x_n=s*rad(n-1), cu s din mulțimea {-1,1}.

Voi arăta, prin două metode, că dacă n>2 atunci x₁=x₂= .. x_n. Ambele metode, prin intermediul unor variabile auxiliare din mulțimea numerelor întregi, ajung la inecuații tip "clește" și care în mulțimea numerelor întregi conduc la ecuații simple.

Deocamdată, pentru comoditate, introducem variabila auxiliară t definită astfel:
(1) t=1/x₁+1/x₂....+1/x_n.

Cu această notație avem
(2) x_i+1/x_i=t pentru i=1...n.

Metoda 1.

Din (2) deducem: x_i+1/x_i=x_j+1/x_j, pentru i,j=1...n
și imediat x_i=x₁ sau x_i=1/x₁ pentru i=2...n.

(Idea esențială în cadrul acestei metode) Introduc variabila auxiliară, număr întreg,  k definită ca numărul de indici i pentru care x_i=x₁.

Evident, 1<=k<=n. Numărul de indici i pentru care x_i=1/x₁ este n-k.
Cu acestea, din (1) avem t=k/x₁+(n-k)x₁.
și în continuare, din (2), avem ecuația în x₁:
x₁+1/x₁=k/x₁+(n-k)x₁
adică (n-k-1)x₁²+k-1=0

Dacă k=1 atunci n=2, cazul banal.
Dacă k>=2, întrucât k-1>0, trebuie ca n-k-1<0, adică k>n-1. Avem deci "cleștele" n>=k>n-1. Întrucât k este întreg avem doar posibilitatea k=n, adică x_i=x₁ pentru toți i=1...n.


Metoda 2.

Din x_i+1/x_i=t avem x_i²- t*x_i +1=0.

(Idea esențială în în cadrul acestei metode) Introducem variabilele suplimentare s_i, cu valori din mulțimea {-1, 1} ("semnele"), în exprimarea soluțiilor acestor ecuații.
x_i=(t+s_i*rad(t²-4))/2.
Evident, |t|>=2.

Avem imediat: 1/x_i=(t-s_i*rad(t²-4))/2
Introducând aceste valori în(1) avem:
(3) t = 1/x₁+1/x₂+...+2/x_n=(nt-(s₁+s₂+...s_n)*rad(t²-4))/2

Pentru |t|=2 avem t²-4=0 și de aici t=nt/2 deci n=2, fiind astfel în cazul banal.

În continuare considerăm |t|>2

Din (3) deducem:

s₁+s₂+...+s_n=(n-2)t/rad(t²-4)

Pentru n>2 și |t|>2 avem (n-2)|t|>(n-2)*rad(t²-4) deci
|s₁+s₂+...+s_n|>n-2.

În general avem |s₁+s₂+...+s_n|<=|s₁|+|s₂|+...|s_n|, cu egalitate doar dacă toate s_i au același semn. Ținând seama de faptul că, aici, s_i=1 sau s_i=-1 avem
|s₁+s₂+...+s_n|<=n, cu egalitate doar dacă s₁=s₂=...=s_n.

Am obținut "cleștele" n>=|s₁+s₂+...+s_n|>n-2.

Folosind faptul că s_i=1 sau s_i=-1 se vede ușor că |s₁+s₂+...+s_n| este un număr natural și are aceeași paritate cu n deci nu poate fi egal cu n-1.

Avem deci |s₁+s₂+...+s_n| =n și s₁= s₂=...  =s_n.

Acum, revenind la ecuațiile prin care s-au introdus variabilele s_i, constatăm că x₁=x₂=...=x_n.

Note
1. Întrucât site-ul nu suportă LaTeX, am folosit notația rad(x) pentru radicalul de ordinul 2 din x.
2. Metoda 2, mult mai laborioasă decât cealaltă, am scris-o doar pentru că ideea exploatării sumei s₁+s₂+...+s_n, ca mai sus, am mai folosit-o și în rezolvarea altor probleme și ea poate fi utilă.