primul divizor

[orh]

Care este primul divizor diferit de 1 al numarului (100!+1), unde 100!=1*2*3*...*100?
Cateva indicatii, va rog

[Aiscrim]

Salut!

Cel mai mic divizor al lui [tex]100!+1[/tex] diferit de 1 va fi evident un numar prim (se demonstreaza usor prin reducerea la absurd(R.A.) si prin folosirea principiului extremal; iei [tex]x[/tex] cel mai mic divizor al lui [tex]100!+1[/tex]; prin R.A. presupun ca e numar compus [tex]\Rightarrow[/tex] exista numarul prim [tex]y[/tex] a.i. [tex]y|x[/tex]. Din asta rezulta ca [tex]y\le x[/tex] si [tex]y|100!+1[/tex], deci am gasit un divizor mai mic decat [tex]x[/tex], contradictie)

Evident, [tex]100!\ \vdots\ p\ [/tex], unde [tex]p[/tex] este orice numar prim, [tex]p\le 97[/tex], deci [tex]100!+1[/tex] nu este divizibil cu niciun numar prim mai mic decat 100.

Teorema lui Wilson afirma ca daca [tex]p[/tex] este un numar prim, [tex](p-1)!+1\equiv 0(\mathrm{mod\ } p)[/tex]

Bazandu-ne pe aceasta teorema si pe faptul ca [tex]101[/tex] este numar prim, [tex]100!+1\ \vdots\ 101[/tex].

Astfel, [tex]101[/tex] este cel mai mic numar cu proprietatea cautata.

[zec]

 @Aiscrim foarte buna demonstratia doar ca puteai evita putin partea de inceput, incepand cu partea finala a demonstratiei in care aratai ca 101 divide numarul.E foarte usor de vazut ca nici un numar pana la 100 nu divide deoarece dau restul 1 la impartire.De aici minimalitatea.