Ştiri:

Vă rugăm să citiţi Regulamentul de utilizare a forumului Scientia în secţiunea intitulată "Regulamentul de utilizare a forumului. CITEŞTE-L!".

Main Menu

Matrice si determinanti

Creat de foton01, Decembrie 22, 2012, 05:32:58 PM

« precedentul - următorul »

0 Membri şi 1 Vizitator vizualizează acest subiect.

foton01

Salut!
Zilele acestea am dat peste mai multe probleme cu determinanti. Toate aveau ceva legat de [tex]det(A^{2}+AB+B^{2})[/tex] sau [tex]det(A^{2}-AB+B^{2})[/tex]. Este vreo metoda speciala cu care se rezolva tipul acesta de probleme? Au vreo scriere aparte acesti determinanti? Am sa va scriu cele doua problme pentru a exemplifica mai bine.
1.Fie [tex]A,B \in M_3(R)[/tex] singulare cu proprietatile [tex]AB=BA[/tex], [tex]det(A-B)=1[/tex]  [tex]det(A+B)=3.[/tex] Calculati [tex]det(A^{2}-AB+B^{2}[/tex]
2.Fie [tex]A,B[/tex] doua matrice patratice de ordin trei cu elemente intregi cu proprietatea ca:
[tex]AB=BA[/tex] si [tex]det(A^{2}-AB+B^{2})-det(A^{2}+AB+B^{2})+2=6det(AB).[/tex]
Sa se arate ca [tex]det(A-B)=0[/tex].

Imi puteti da niste idei la aceste probleme va rog ? :)

Mai am si o a 3-a problema care nu are legatura cu cele doua dar nu prea am idei nici aici :)
3.Demonstrati ca daca [tex]A,B[/tex] sunt matrici patrate ce comuta si care au elemente numere naturale, atunci [tex]det(A^{2}+B^{2})[/tex] NU poate lua valoarea 2012.

Imi cer scuze ca sunt atatea probleme dar inca nu am invatat pe deplin cum sa lucrez cu determinanti :)

Multumesc ! :D

zec

 Sunt grele si nu au o particularitate anume.Doar ca la rezolvare trebuie luat in considerare toate datele care le prezinta problemele.De exemplu la 1 matrici singulare inseamna ca au determinaint nul.La problema 2 au elemente numere intregi deci asta inseamna ca valorile determinantilor sunt numai numere intregi.Faptul ca sunt de ordin 3 si la 1 si la 2 e posibil sa iei in considerare matrice .
Unde ai gasit problemele?

foton01

Citat din: zec din Decembrie 23, 2012, 09:30:45 AM
Unde ai gasit problemele?
sunt dintr-o culegere mai veche pentru olimpiada :)

zec

Am o demonstratie pentru problema 1.Probabil ca dupa ce vei vedea rezolvarea iti vei da seama de dificultatea ei.Apropo asa ca fapt mi-a luat ceva timp de gandire.
Fie [tex]P(x)=|A+xB|[/tex] si avem conform ipotezei [tex]gradP\le 3;P(0)=0;P(1)=3;P(-1)=1[/tex] pe de alta parte coeficientul lui [tex]x^3[/tex] este detB=0 care se remarca usor in modul cum se calculeaza un determinant in general.
detA=detB=0 deoarece zice in ipoteza matrici singulare.
Astfel P(x) e un polinom de grad 2 scriind [tex]P(x)=ax^2+bx+c[/tex] afli imediat din conditiile date ca [tex]P(x)=2x^2+x[/tex].
Calculam acuma [tex]|A^2+B^2|=|A+iB||A-iB|=P(i)P(-i)=(-2+i)(-2-i)=5[/tex](aici folosim faptul ca A si B comuta)
Fie [tex]G(x)=|A^2+xAB+B^2|[/tex]
Asemanator cu ideea de la P(x) gradul lui G este maxim 2 intrucat coeficientul lui x3
este detAB=detAdetB=0
Avem G(0)=5; G(-2)=det(A-B)2=(det(A-B))2=1 si analog G(2)=9
Fie G(x)=ax2+bx+c obtinem c=5 imediat
si 4a-2b+5=1;4a+2b+5=9 de unde a=0 si b=2 astfel G(x)=2x+5 iara determinantul cautat este G(-1)=3 .Raspuns 3

zec

Problema 3.
Ideea demonstratiei se bazeaza pe urmatorul fapt:
Se stie ca [tex]det{A^2+B^2}\ge 0[/tex] daca A si B comuta demonstratia se bazeaza pe urmatorul fapt.  [tex]det{\overline A}=\overline {|A|} [/tex] unde [tex]A\in M_n(C)[/tex].
Nu dau demonstratia dar ca fapt nu e grea se bazeaza pe definitia generala a determinantului si proprietati ale conjugatei unui numar complex.
Astfel [tex]det{A^2+B^2}=det{A+iB}det{A-iB}=det{A+iB}\overline{|A+iB|}=det{|A+iB|}[/tex] unde la final intelegem modul de numar complex din determinant.
Deci [tex]det{A^2+B^2}=x^2+y^2[/tex] unde x,y sunt partea reala respectiv partea imaginara a lui det(A+iB) evident ca x si y sunt numere intregi.
Acuma nu ramane de aratat decat ca ecuatia [tex]x^2+y^2=2012[/tex] nu are solutii intregi.
Genul de ecuatie se bazeaza pe ideea de resturi patratice. [tex]x^2[/tex] poate fi de forma 4k sau 4k+1.Dar 2012 e de forma 4k asta inseamna ca nu putem avea decat 4k+4k=2012 deci x par si y par scriem x=2u y=2v si ecuatia devine [tex]u^2+v^2=503[/tex] dar 503 e de forma 4k+3 si nu poate fi suma de 2 numere de forma 4k sau 4k+1 deci ecuatia data nu are solutii.

foton01