Tensiunile dintr-un cablu (lanţ) agăţat în două puncte.

[Stilicho]

Se dă un cablu (poate fi şi un lanţ) care este agăţat de capete. Capetele se află la înălţimi egale. Se dau: masa si lungimea cablului, înălţimile la care sunt suspendate capetele. Aş vrea să aflu tensiunea din punctul de la milocul cablului , sau tensiunile de apăsare dintre două zale (în cazul lanţului).

[Alexandru Rautu]

O rezolvare nu foarte riguroasa... (vezi pdf-ul)   

[HarapAlb]

La acelasi rezultat ajunsesem si eu, insa este un caz particular (cand cablul "se aseaza" dupa un arc de cerc, dar se poate "aseza" oare dupa un arc de cerc ?).
Ce se intampla in cazul general? Ar trebui formulata cumva ca o problema de minim cu constrangeri (depinzand de cum este atasat cablul de stalpi)...

[Alexandru Rautu]

 Pai.. portiunea aia mica de masa poate fi considerata un arc de cerc cu raza cat inaltimea...dar bine... dupa cum am zis... nici mie nu-mi prea place solutia asta...

[HarapAlb]

Poate ca eu n-am rezolvat corespunzator: am presupus de la inceput ca tot cablul este un arc de cerc. Am agatat niste greutati echidistante si apoi am trecut la limita (nr. de greutati tinde infinit, distanta dintre ele tinde la zero).
Tu te-ai concentrat numai asupra portiunii de jos, si ai obtinut acelasi rezultat... S-ar putea sa nu depinda de forma pe care o ia cablul ?

[Adi]

Din cate stiu eu, forma dupa care se aseaza nu e cea a unui cerc, ci a unui cosinus hiperbolic.

[HarapAlb]

Forma exacta depinde si de cum este legat de stalpi, adica liber, in jos, orizontal ...

[Electron]

Forma exacta depinde si de cum este legat de stalpi, adica liber, in jos, orizontal ...

Eu cred ca asta ar fi adevarat daca am considera cazul unui cablu care nu e perfect flexibil, ceea ce e putin probabil, dat fiind ca de multe ori se considera un "lantisor" tocmai pentru a elimina "rigiditatea" cablului.

Mai mult, din configuratia propusa, eu vad ca lipseste un parametru, si anume distanta dintre capetele lantului (care trebuie sa fie mai mica decat L ), parametru care chiar influenteaza curba respectiva (mai precis "raza" partii inferioare).

e-

[Adi]

Da, asa zic si eu. Odata ce dai lungimea cablului si distanta intre stalpi si presupui ca stalpii sunt destul de inalti, stiu ca ia forma de cosinus hiperbolic. Nu stiu daca in functie de masa ia diferite forme, dar stiu ca toate ar fi cosinus hiperbolic.

[Alexandru Rautu]

Eu zic... ca nu se merita sa se afle ecuatia curbei...   (dar cred ca ma insel..)

[HarapAlb]

Forma exacta depinde si de cum este legat de stalpi, adica liber, in jos, orizontal ...

Eu cred ca asta ar fi adevarat daca am considera cazul unui cablu care nu e perfect flexibil, ceea ce e putin probabil, dat fiind ca de multe ori se considera un "lantisor" tocmai pentru a elimina "rigiditatea" cablului.

De acord, asta ar fi un caz particular de conditii de frontiera (adica de a lega cablul).

Mai mult, din configuratia propusa, eu vad ca lipseste un parametru, si anume distanta dintre capetele lantului (care trebuie sa fie mai mica decat L ), parametru care chiar influenteaza curba respectiva (mai precis "raza" partii inferioare).

Nu lipseste, pentru ca rationamentul facut de Alexandru (ca si cel facut de mine) presupune ca, cablul se aseaza dupa un arc de cerc. In cazul asta raza R este legata de lungimea cablului si de distanta dintre stalpi.

Calculele lui Alexandru sunt valabile in orice situatie, cu conditia sa se precizeze R. Raza R la care aproximatia folosita de Alexandru eset valida urmeaza sa se determine cumva, R nefiind egala cu H, asa cum apare in desen.
Exemplu: stalpi lipiti unul de altul -> tensiune zero in extremitatea inferioara a cablului (ceea ce ar fi echivalent cu R=0 in formulele lui Alexandru).

Alexandru, cine este H ?

[Alexandru Rautu]

Eu zic... ca nu se merita sa se afle ecuatia curbei...   (dar cred ca ma insel..)

Oooooh... ce greseala am facut! Unghiul arcului de cerc nu e , ci ! Am corectat greseala...

[Electron]

Mai mult, din configuratia propusa, eu vad ca lipseste un parametru, si anume distanta dintre capetele lantului (care trebuie sa fie mai mica decat L ), parametru care chiar influenteaza curba respectiva (mai precis "raza" partii inferioare).

Nu lipseste, pentru ca rationamentul facut de Alexandru (ca si cel facut de mine) presupune ca, cablul se aseaza dupa un arc de cerc. In cazul asta raza R este legata de lungimea cablului si de distanta dintre stalpi.

Calculele lui Alexandru sunt valabile in orice situatie, cu conditia sa se precizeze R. Raza R la care aproximatia folosita de Alexandru eset valida urmeaza sa se determine cumva, R nefiind egala cu H, asa cum apare in desen.
Exemplu: stalpi lipiti unul de altul -> tensiune zero in extremitatea inferioara a cablului (ceea ce ar fi echivalent cu R=0 in formulele lui Alexandru).

Pentru a sti raza corecta, e nevoie de ecuatia curbei, si eu sunt convins ca nu este cerc nici macar atunci cand distanta dintre punctele de suspensie este dublul "burtii" cablului fata de orizontala unde e suspendat. Eu prevad ca forma curbei (si automat raza curburii din punctul median) depinde de L (lungime cablului) si ... D, parametrul care eu spun ca lipseste.

e-

[Adi]

"The graph of the function cosh x is the catenary, the curve formed by a uniform flexible chain hanging freely under gravity." (Graficul functiei coshx este un catenar(?), curba formata de un lant uniform flexibil care atarna liber sub influenta gravitatiei). Restul pe Wikipedia.

[HarapAlb]

Pentru a sti raza corecta, e nevoie de ecuatia curbei, si eu sunt convins ca nu este cerc nici macar atunci cand distanta dintre punctele de suspensie este dublul "burtii" cablului fata de orizontala unde e suspendat. Eu prevad ca forma curbei (si automat raza curburii din punctul median) depinde de L (lungime cablului) si ... D, parametrul care eu spun ca lipseste.

De acord. Acelasi lucru spuneam si eu mai sus.

Curba formata de un lant uniform flexibil care atarna liber sub influenta gravitatiei, este data de functia y(x)=a*cosh(x/a).

Bun. Parametrul a va fi dat de lungimea cablului.