Ştiri:

Vă rugăm să citiţi Regulamentul de utilizare a forumului Scientia în secţiunea intitulată "Regulamentul de utilizare a forumului. CITEŞTE-L!".

Main Menu

Frânghia

Creat de Alexandru Rautu, Iunie 10, 2008, 12:52:37 AM

« precedentul - următorul »

0 Membri şi 4 Vizitatori vizualizează acest subiect.

Alexandru Rautu

 Să considerăm o masă de un 1 m înălţime, iar pe acesta fiind aşezată o frânghie cu-o densitate
lineară constantă. În mijlocul mesei există o deschizătură, o gaură prin care frânghia poate pătrunde.
Un impuls "mic" face ca frânghia (iniţial aflându-se în totalitate pe masă) să fie trasă prin găura, 
crescându-i viteza (vezi figura de mai jos) şi ajungând  într-un final în totalitate la nivelul podelei.



Să se calculeze în cât timp ajunge frânghia pe podea ?

Enjoy ;)


Adi

Se neglijeaza frecarea franghiei cu masa si se presupune ca franghai este in linie dreapta pe masa, nu?
Pagina personala: http://adrianbuzatu.ro

Alexandru Rautu

Da, se neglijeaza frecarea, am uitat sa precizez asta!

Franghia este asezata pe masa.. nu trebuie neaparat sa fie asezata in linie dreapta!

Alexandru Rautu

#3
 Cine rezolva corect problema asta are o bere de la mine  ;D   (sau multi trandafiri daca e o eventuala "ea"  ;) )

P.S. Asa-mi stimulam colegii pe vremea liceului...  :D

Alexandru Rautu

Erratum:   Se neglijează frecarea, iar lugimea frânghiei este de un 1 m. Se cere după cât timp frânghia ajunge în totalitate pe podea?

Adi

Da, ai dreptate, nu conteaza forma snurului pe masa, lucru mecanic se face doar la bucata care e pe verticala si ea este in linie dreapta. Asta pentru ca neglijam frecarea.
Pagina personala: http://adrianbuzatu.ro

Abel Cavaşi

Esenţa rezolvării constă în neglijarea menţiunii făcute în problemă privind ,,densitatea liniară constantă", deoarece atât acceleraţia, cât şi timpul de cădere nu depind de masă. Aşadar, putem considera că frânghia este întinsă vertical, având capătul inferior la o înălţime de 1 metru şi capătul superior la înălţimea de 2 metri. Cum pe noi ne interesează timpul în care ajunge la pământ capătul superior, rezultă că vom avea legea de mişcare a acestui capăt dată de expresia



unde s=2 m este spaţiul parcurs, g=9,8 m/s2 este acceleraţia gravitaţională, iar t este timpul de cădere. Din această ecuaţie rezultă



Alexandru Rautu

Citat din: Abel Cavaşi din Iunie 10, 2008, 08:17:40 AM
Esenţa rezolvării constă în neglijarea menţiunii făcute în problemă privind ,,densitatea liniară constantă", deoarece atât acceleraţia, cât şi timpul de cădere nu depind de masă. Aşadar, putem considera că frânghia este întinsă vertical, având capătul inferior la o înălţime de 1 metru şi capătul superior la înălţimea de 2 metri. Cum pe noi ne interesează timpul în care ajunge la pământ capătul superior, rezultă că vom avea legea de mişcare a acestui capăt dată de expresia



unde s=2 m este spaţiul parcurs, g=9,8 m/s2 este acceleraţia gravitaţională, iar t este timpul de cădere. Din această ecuaţie rezultă




... ai judecat bine unele aspecte, dar ai neglijat ceva destul de important :P

P.S.  "Berea" ramane inca la mine...  ;D

Electron

Chiar daca frecarea e complet neglijabila, aceasta nu e o problema de cadere libera.

Fie t0 momentul in care primul capat trece prin orificiu (momentul impulsului)

Sa presupunem ca la un moment t1, avem o fractiune f < 1/2 din frangie trecuta prin orificiu. In acest caz, masa care e in "cadere" e mai mica decat "masa care e pe masa" (accelerata dar nu in cadere libera) si deci, chiar daca de bucata f trage forta sa de greutate, care ar accelera-o cu acceleratia gravitationala (g), de bucata 1-f trage o forta mai mica decat daca ar fi in cadere libera, deci e accelerata cu o acceleratie mai mica decat cea gravitationala, sa zicem a1. Asta face ca toata sfoara sa fie accelerata cu aceasta acceleatie a1 < g, cele doua bucati de sfoara fiind legate intre ele. ;)

Fie t2 momentul in care avem f=1/2. In tot intervalul  (t0,t2) viteza sforii (a centrului sau de masa, situat la f = 1/2) creste cu o acceleratie mai mica decat cea gravitationala. Notam cu v2 viteza sa la t2.

La un moment de timp t3 in care avem o fractiune f > 1/2 din frangie trecuta prin orificiu, deja partea care "cade" are o masa mai mare decat cea de pe masa (centrul de greutate al sforii e deja "in aer" ;D), si deci forta care trage de sfoara de pe masa e mai mare deca propria sa forta gravitationala, ceea ce ar putea accelera-o mai repede decat g. Dar, fiind legata de cea in cadere, acceleratia sitemului (adica a sforii) e limitata la g. (Putem deci considera ca toata sfoara e "in cadere libera").

Fie momentul t4, cand f = 1. In intervalul (t2,t4) viteza sforii a crescut de la v2 cu acceleratia constanta g. Notam aceasta viteza cu v4.

Dupa t4, suntem siguri ca timpul ramas pana la caderea "completa" este cel necesar bucatii celei mai de sus sa ajunga la sol, ceea ce va lua timpul dat de caderea de la 1 m inaltime, insa cu o viteza initiala v4.

Intervalul (t0,t2) este cel mai "complicat" deoarece avem de-a face cu o acceleratie variabila, lucru care se poate analiza cu o integrala draguta. Pentru celelalte intervaluri, unde acceleratia e constanta (g) putem folosi ecuatiile de miscare direct.

Inainte de a trece la calcule cantitative, astept sa vad daca cineva are vreo obiectie la acest rationament calitativ.

e-
Don't believe everything you think.

Abel Cavaşi

Citat din: Alexandru Rautu din Iunie 10, 2008, 10:43:51 AM... ai judecat bine unele aspecte, dar ai neglijat ceva destul de important
Într-adevăr, am neglijat o mulţime de chestii, precum frecarea cu masa şi cu aerul, faptul că frânghia se opune puţin deformărilor, etc. Sunt curios cât de important este lucrul pe care l-am neglijat.

Alexandru Rautu

Citat din: Electron din Iunie 10, 2008, 11:05:52 AM
Chiar daca frecarea e complet neglijabila, aceasta nu e o problema de cadere libera.

Fie t0 momentul in care primul capat trece prin orificiu (momentul impulsului)

Sa presupunem ca la un moment t1, avem o fractiune f < 1/2 din frangie trecuta prin orificiu. In acest caz, masa care e in "cadere" e mai mica decat "masa care e pe masa" (accelerata dar nu in cadere libera) si deci, chiar daca de bucata f trage forta sa de greutate, care ar accelera-o cu acceleratia gravitationala (g), de bucata 1-f trage o forta mai mica decat daca ar fi in cadere libera, deci e accelerata cu o acceleratie mai mica decat cea gravitationala, sa zicem a1. Asta face ca toata sfoara sa fie accelerata cu aceasta acceleatie a1 < g, cele doua bucati de sfoara fiind legate intre ele. ;)

Fie t2 momentul in care avem f=1/2. In tot intervalul  (t0,t2) viteza sforii (a centrului sau de masa, situat la f = 1/2) creste cu o acceleratie mai mica decat cea gravitationala. Notam cu v2 viteza sa la t2.

La un moment de timp t3 in care avem o fractiune f > 1/2 din frangie trecuta prin orificiu, deja partea care "cade" are o masa mai mare decat cea de pe masa (centrul de greutate al sforii e deja "in aer" ;D), si deci forta care trage de sfoara de pe masa e mai mare deca propria sa forta gravitationala, ceea ce ar putea accelera-o mai repede decat g. Dar, fiind legata de cea in cadere, acceleratia sitemului (adica a sforii) e limitata la g. (Putem deci considera ca toata sfoara e "in cadere libera").

Fie momentul t4, cand f = 1. In intervalul (t2,t4) viteza sforii a crescut de la v2 cu acceleratia constanta g. Notam aceasta viteza cu v4.

Dupa t4, suntem siguri ca timpul ramas pana la caderea "completa" este cel necesar bucatii celei mai de sus sa ajunga la sol, ceea ce va lua timpul dat de caderea de la 1 m inaltime, insa cu o viteza initiala v4.

Intervalul (t0,t2) este cel mai "complicat" deoarece avem de-a face cu o acceleratie variabila, lucru care se poate analiza cu o integrala draguta. Pentru celelalte intervaluri, unde acceleratia e constanta (g) putem folosi ecuatiile de miscare direct.

Inainte de a trece la calcule cantitative, astept sa vad daca cineva are vreo obiectie la acest rationament calitativ.

e-



Hmm... interesanta abordare ;)  ... lasand doar unu interval (t0,t2) in care aceleratia e variabila (cred ca e o aproximatie buna) ... hmmm.. astept insa sa vad cum rezolvi aceea "integrala draguta"  ;)

Alexandru Rautu

Citat din: Abel Cavaşi din Iunie 10, 2008, 01:18:56 PM
Citat din: Alexandru Rautu din Iunie 10, 2008, 10:43:51 AM... ai judecat bine unele aspecte, dar ai neglijat ceva destul de important
Într-adevăr, am neglijat o mulţime de chestii, precum frecarea cu masa şi cu aerul, faptul că frânghia se opune puţin deformărilor, etc. Sunt curios cât de important este lucrul pe care l-am neglijat.

Abel, chiar daca avem o ,,densitate liniară constantă", masa variaza in timp..  ;)

Abel Cavaşi

Bun, dar acceleraţia gravitaţională şi timpul de cădere nu depind de masă, oricât ar fi aceasta şi oricât de variabilă ar fi această masă, nu?

Alexandru Rautu

Citat din: Abel Cavaşi din Iunie 10, 2008, 02:46:28 PM
Bun, dar acceleraţia gravitaţională şi timpul de cădere nu depind de masă, oricât ar fi aceasta şi oricât de variabilă ar fi această masă, nu?

In problema nu am dat masa funiei, dar am dat lungimea ei.. normal ca timpul de cadere nu va depinde explicit de masa!

Electron

Alexandru, in rezolvarea ta, timpul total de cadere nu depinde de forma pe care o are initial sfoara de pe masa?

Mi-am dat seama ca, in rationamentul meu calitativ, pentru intervalul (t0,t2), partea care este accelerata "pe masa" depinde de cum e plasata sfoara fata de orificiu: daca e plasata "radial" (adica sa avem sfoara intinsa si cu un capat la distanta maxima de gaura, distanta egala cu lungimea sforii), atunci trebuie accelerata toata sfoara pe masura ce cade, dar daca e "colac/spirala" in jurul orificiului, atunci e accelerata practic doar partea care a trecut deja prin orificiu.

Ce spune textul original despre asta ?

e-
Don't believe everything you think.