Ştiri:

Vă rugăm să citiţi Regulamentul de utilizare a forumului Scientia în secţiunea intitulată "Regulamentul de utilizare a forumului. CITEŞTE-L!".

Main Menu

Combinari-cls.X

Creat de biancairis, Mai 10, 2010, 08:55:34 AM

« precedentul - următorul »

0 Membri şi 1 Vizitator vizualizează acest subiect.

biancairis

Va rog frumos ajutati-ma cu o idee sa calculez aceasta suma.Am incercat sa fac cum ne-a aratat in exemplele de la clasa(scriam suma apoi o rescriam dar de la coada la cap si le adunam iar apoi iesea repede) dar nu imi iese.Multumesc frumos

Sigma2

La paranteza 2 nu cumva  ai 2*(combinari de 2 luate cate 1 +combinari de 2
luate cate 2)  ?

Daca da vezi ca fiecare paranteza este [tex]\2^{n}[/tex]-Cn luate cate 0

biancairis

am scanat exercitiul din carte poate se vede mai bine

Sigma2

Pornesti de la identitatea

[tex]\binom{n}{0}[/tex]+[tex]\binom{n}{1}[/tex]+...+[tex]\binom{n}{n}[/tex]=[tex]\2^{n}[/tex]   (I), care se obtine din binomul lui newton , egaland ambii termeni cu 1

pt
n=2   [tex]\binom{2}{0}[/tex]+[tex]\binom{2}{1}[/tex]+[tex]\binom{2}{2}[/tex]=[tex]\2^{2}[/tex] =>([tex]\binom{2}{1}[/tex]+[tex]\binom{2}{2}[/tex])=[tex]\2^{2}[/tex]-1
Vom inmulti ambii membrii cu 2 pt  a obtine prima paranteza
2*(...)=2*[tex]\2^2[/tex]-2

n=3  analog  3*(...)=3*[tex]\2^{3}[/tex]-3
........................................................
n          n*(...)=n*[tex]\2^{n}[/tex]-n
Acum vom aduna toate aceste n paranteze si pe1*[tex]\binom{1}{1}[/tex]
pentru a reconstitui suma initiala
Se obtine[tex]\binom{1}{1}[/tex]+2*(...)+3*(...)+...+n*(...)=[tex]\binom{1}{1}[/tex]+2*[tex]\2^{2}[/tex]-2+3*[tex]\2^{3}[/tex]-3+...+n*[tex]\2^{n}[/tex]-n=1+(2*[tex]\2^{2}[/tex]+[tex]\2^{3}[/tex]+...+[tex]\2^{n}[/tex]-
(2+3+...+n)
ca sa rezolvi prima paranteza notezi0 notezi cu S
S=2*[tex]\2^{2}[/tex]+3*[tex]\2^{3}[/tex]+...+n[tex]\2^{n}[/tex]
Inmultesti egalitatea de mai sus cu 2 si obtii
2S=2*[tex]\2^{3}[/tex]+3*[tex]\2^{4}[/tex]+...+n*[tex]\2^{n+1}[/tex]
Efectuezi scaderea 2S-S asezand termenii unul sub altul ca sa te prinzi cum vin
Vei obtine S=-2*2^2-2^3-2^4-...-2^n+2^(n+1)=
=-2^2-2^2-2^3-2^4-...--2^n+2^(n+1)  De la al 2-lea termen pana la penultimul ai o progresie geometrica de ratie 2. , a carei suma este
-2^2*(2^(n-1)-1)/(2-1)=-2^(n+1)+4
in final  s=(n+1)*2^(n+1)
Inlocuiwesti aceasta valoare in relatia din dreapta .In paranteza a 2 adui si scazi 1 si obtii suma lui Gauss.
de aici sper ca te descurci

b12mihai

Vreau sa precizez ca notatia [tex] \binom{n}{k} [/tex] este tot una cu [tex]C_n^k [/tex]. Asa scriem noi in latex combinarile, @biancacris, si sper ca explicatiile lui Sigma2 sa te ajute, mie mi se par destul de clare  ;D .
Fiecare are scopul lui in lumea asta nebuna.

biancairis

multumesc mult de tot ! Am rezolvat si am inteles pana acolo la S'=2*2^2+3*2^3+...+n*2^n nu inteleg daca inmultim si scadem pe S' nu iese cu minus..

Sigma2

Da Gothik, ai dreptate, utilizez notatia notatia [tex]\binom{n}{k}[/tex], doar
cand postez.Vad ca tu utilizezi notatia traditionala .Cum faci?


Biancacris


[tex]\binom{1}{1}[/tex]+(2*[tex]\2^{2}[/tex]+3*[tex]\2^{3}[/tex]+...+n*[tex]\2^{n}[/tex])-(2+3+...+n)=   (I)

Notam prima paranteza cu  S

S=2*[tex]\2^{2}[/tex]+3*[tex]\2^{3}+...+n*\2^{n}[/tex]   relatia2
Inmultim aceasta relatie cu 2 si obtinem 2*S si scadem S

2S-S=2*[tex]\2^{3}[/tex]+3*[tex]\2^{4}[/tex]+...+(n-1)*[tex]\2^{n}[/tex]+
n*[tex]\2^{(n+1)[/tex]-2*[tex]\2^{2}[/tex]-3*[tex]\2^{3}[/tex]-4*[tex]\2^{4}[/tex]-...-n*[tex]\2^{n}[/tex]
Deci  S=-2*[tex]\2^{2}[/tex]-[tex]\2^{3}[/tex]-[tex]\2^{4}[/tex]-...-[tex]\
2^{n}[/tex]+n*[tex]\2^{n+1}[/tex]  <=>
S=[tex]\2^{2}[/tex]-([tex]\2^{2}[/tex]+[tex]\2^{3}[/tex]+[tex]\2^{4}[/tex]+...+[tex]\2^{n}[/tex])+n*[tex]\2^{n+1}[/tex]
Paranteza reprezinta o progresie geometrica deratie 2, cu primul termen [tex]\2^{2}[/tex], si care are (n-1) termeni.Aplicand formula de calcul  a sunei unei PG gasim ca (...)=[tex]\2^{n+1}[/tex]-4
Deci S=-4-[tex]\2^{n+1}[/tex]+4+n*[tex]\2^{n+1}[/tex]=(n-1)*[tex]\2^{n+1}[/tex]
A 2-a paranteza se observa usor  ca e n*(n+1)/2-1(sumele lui Gauss)
Revenim in relatia (I). ,inlocuim si obtinem
  1+(n-1)*[tex]\2^{n+1}[/tex]-(n*(n+1)/2-1)=
2+(n-1)*[tex]\2^{n+1}[/tex]-n*(n+1)/2
QED

             

b12mihai

CitatDa Gothik, ai dreptate, utilizez notatia notatia \binom{n}{k}, doar
cand postez.Vad ca tu utilizezi notatia traditionala .Cum faci?

Uite, Sigma2, codul pe care eu il folosesc: C_n^k sau C^k_n . Rezultatul e acelasi: [tex]C_n^k[/tex] . La fel si pentru aranjamente. Pui A in loc de C.
Fiecare are scopul lui in lumea asta nebuna.