Ştiri:

Vă rugăm să citiţi Regulamentul de utilizare a forumului Scientia în secţiunea intitulată "Regulamentul de utilizare a forumului. CITEŞTE-L!".

Main Menu

Vectori.Notiuni generale. Operatii cu vectori.

Creat de Sigma2, Aprilie 18, 2010, 02:51:35 AM

« precedentul - următorul »

0 Membri şi 1 Vizitator vizualizează acest subiect.

Sigma2

1.Generalitati
_______________

Notiunea de vector a fost preluata diun fizica si desemneaza acele marimi ca-
racterizate prin directie, sens si modul(ex. viteza,acceleratia, forta etc).Pentru
inceput vom analiza vectorii in stransa legatura cu aceste marimi fizice, urmand ca pe parcurs acestia sa capete un caracter din ce in ce mai abstract.
Notatie.Vectorii se noteaza:
-------
a)2litere majuscule si sageata deasupra  Ex [tex]\vec{OA}[/tex],[tex]\vec{AB}[/tex]
b)o singura majuscula ex [tex]\vec{V}[/tex],[tex]\vec{U}[/tex]
c) litera mica ex [tex]\vec{a}[/tex], [tex]\vec{b}[/tex]
Sageata de deasupra indica ca acestia sunt vectori.
Vectorii se reprezinta in plan prin segmente orientate notate asemanator.
1)Directia vectorului(dreapta pe care acestia sunt situati, numita dreapta suport
Vectorul [tex]\vec{AB}[/tex] are ca suport dreapta AB fig 1-a
Vectoul [tex]\vec{a}[/tex] are ca suport dreapta a  fig 1-b
     
      [tex]\vec{AB}[/tex]                    [tex]\vec{a}[/tex]
  -/---------------->---         --/-------------->
    A                      B                           a
       fig 1-a                                  fig 1-b
Doi vectori au aceiasi directie daca sunt situati pe aceiasi dreapta suport, sau  pe drepte paralele.
2)Sensul vectorului:prima litera reprezinta originea , a doua litera(extremitatea vectorului) indica sensul acestuia  .In fig 2 vectorii [tex]\vec{OA}[/tex] si OB
au acelasi sens, iar  [tex]\vec{OC}[/tex] este de sens contrar fig2

-----<--------/------>----->--  fig2

         c        O          A        B

In situatia cand vectorii ausuporturi paralele  fig 3
     [tex]\vec{a}[/tex]                    .              [tex]\vec{c}[/tex]
  ---/---------->--                                   --/----------------->
    [tex]\vec{b}[/tex]             .                       [tex]\vec{d}[/tex]
  ---/-------------->--              .            ---/------------------>--
vectori de acelasi sens                                vectori de sens opus
Observatie  Vectorii [tex]\vec{AB}[/tex]=-[tex]\vec{BA}[/tex]

3)Modulul (notat l. l sau ll . ll) reprezinta valoarea numerica a vectorului.De exemplu daca viteza unui mobil este de 5 m/s atuncil  l[tex]\vec{v}[/tex]l=5
Modulul vectorului indica si lungimea segmentului orientat exl [tex]\vec{AB}[/tex]l=3u.m.
Modulul vectorului este un scalar.
Vectorul [tex]\vec{0}[/tex] este vectorul nul.  modulul sau este egalcu 0 El nu are precizata directia si sensul.
Vectorii [tex]\vec{AA}[/tex], [tex]\vec{BB}[/tex], etc au modulul o
Fie vectorul [tex]\vec{V}[/tex]  si vectorul [tex]\vec{v}[/tex] de aceiasi di-
rectie si sens cu V   si l[tex]\vec{v}[/tex]l=1  Atunci v este versorul lui V

b12mihai

Vad ca ai pus niste figuri, poti atasa niste poze/desene?
Fiecare are scopul lui in lumea asta nebuna.

Sigma2

figuri geometrice-vectori 2

Sigma2

Segmente echivalente (echipolente) Am aratat anterior ca vectorii sunt repre-
-----------------------------------
zentati prin segmente orientate.
Doua sau mai multe segmente se numesc echivalente (echipolente), daca au aceiasi directie, acelasi sens si aceiasi lungime.Se noteaza [tex]\vec{AB}[/tex]
~[tex]\vec{A`B`}[/tex]
Vectori legati.Originea lor este un punct fix di plan(spatiu).Fiee cercul de cen-
-------------
tru O si raza r, si m un punct mobil de pe cerc (fig4).Vectorul  [tex]\vec{OM}[/tex] =[tex]\vec{r}[/tex] cu originea in centrul cerculuisi extremitatea in M es
te un vector legat. Vectorul [tex]\vec{r}[/tex] se mai numeste si raza vectoare. Lungimea segmentului orientat OM este egala cu raza cercului.
Vectori liberi  vectorii liberi au originea in orice punct din plan(spatiu) si se pot
-------------
paralel cu ei insisi.ex Forta  de tractiune F care actioneaza asupra unui corp,isi schimba permanent puncul de aplicatie.


Unghiul a 2 vectori  este unghiul determinat de dreptele suport a celor 2 vec-
_------------------
a) cazul in care vectorii au originea comuna (fig 5a) Vectorii [tex]\vec{OA}[/tex]si [tex]\vec{OB}[/tex] determina unghiul [tex]\alpha[/tex]
b)vectorii nu au aceiasi origine  (fig5b)Prin originea primului vector se costruieste un vector echivalent cu cel de-al doilea.[tex]\vec{MN}[/tex]~[tex]\vec{QP}[/tex].
c) vectorii sun coliniari(ex vectorii  [tex]\vec{OA}[/tex]si [tex]\vec{OB}[/tex]. din fig 2)Acesti vectori sunt reprezentati prin segmente orientate avand aceiasi dreapta suport. In general intre 2 vectori coliniari  exista relatia
  [tex]\vec{V1}[/tex]=k[tex]\vec{V2}[/tex]  k numar real
Observatie
----------
Oricare 2 vectori necoliniari determina o baza in plan (Orice vector din acel plan se poate exprima in functie de acei vectori.)
Oricare trei vectori necoplanari din spatiu formeaza o baza in acel spatiu.
----------------------

Sigma2

Descompunerea unui vector dupa  doua directii
----------------------------------------------
Fie vectorul  [tex]\vec{OA}[/tex] si semidreptele OM, si ON.Ne propunem sa descompunem acest vector dupa directiile celor 2 semidrepte. Pentru aceasta
se duc prin varful vectorului [tex]\vec{OA}[/tex], paralele la cele 2 semidrepte. Aceste paralele  intersecteaza pe OM in A` si pe ON in A``
Vectorul [tex]\vec{OA}[/tex] s-a descompus in vectorii [tex]\vec{OA`}[/tex]
si [tex]\vec{OA``}[/tex]  fig 6a atasament.
Daca  cele doua directii reprezinta axele Ox si Oy ale reperului cartezian Oxy(fig. 6b atasament) aplicand aceiasai metoda obtinem descompunera lui OA
in [tex]\vec{OA`}[/tex] si [tex]\vec{OA``}[/tex]
lOA`l=x, lOA``l=y  unde x,y sunt abscisa  respectiv ordonata punctului A

Sigma2

Cap.II.Operatii cu vectori
______________________
1.Adunarea vectorilor    se face dupa
---------------------
-regula paralelogramului.Se construieste un paralelogram avand ca laturi vectorii termen.Diagonala mare a paralelogramului este chiar vectorul suma (rezultant)(fig7a atasament)
Putem scrie

[tex]\vec{AB}[/tex]+[tex]\vec{AC}[/tex]=[tex]\vec{AD}[/tex]

-regula triunghiului. Se costruieste un triunghi avandoua laturi determinate de
vectorii termen si cea de-a treia latura fiind chiar vvectorul suma (rezultant).
fig 7b atasament
   [tex]\vec{AB}[/tex]+[tex]\vec{BC}[/tex]=[tex]\vec{AD}[/tex]
In situatia in care segmentele orientate  nu sunt concurente, se construiesc segmente echivalente  a.i. sa putem aplica una din metodele de mai sus  fig 7c
Daca avem o suma de mai multi de 2 vectori se aduna primii 2 vectori, iar reultantul se aduna  cu urmatorul vector si asa mai departe.
Modulul vectorului suma este dat de formula

l[tex]\vec{S^2}[/tex]l=l[tex]\vec{V1^2}[/tex]l+l[tex]\vec{V2^2}[/tex]l+2l[tex]\vec{V1}[/tex]l*l[tex]\vec{V2}[/tex]l*cos(<V1,V2)

unde (<V1,V2)= unghiul determinat de cei 2 vectori
Scaderea a 2 vectori  A scade 2 vectori inseamna a aduna la vectoru l descazut opusul scazatorului.
Scaderea se face dupa regula triunghiului (fig 8 atasament)
  [tex]\vec{AC}[/tex]-[tex]\vec{AB}[/tex]=[tex]\vec{BC}[/tex]
Vectorul diferenta este orientat de la scazator la descazut.
Vectorii fiind reprezentati prin segmente orientate, putem determina modulul
vectorului diferenta aplicand teorema cosinusului in acel triunghi.

l[tex]\vec{D^2}[/tex]=l[tex]\vec{V1^2}[/tex]l+l[tex]\vec{V2^2}[/tex]-2l[tex]\vec{V1}[/tex]l*l[tex]\vec{V2}[/tex]lcos(V1,V2)
Observatie  Vectorul suma reprezinta diagonala mare a paralelogramului construit pe cei doi vectori, si vectorul diferenta reprezinta diagonala mica a aceluiasi paralelogram.
Proprietati
-----------
Adunarea vectorilor este:
-asociativa
-comutativa
- admite element neutru  [tex]\vec{0}[/tex]
-0rice vector admite un opus a.i. suma lor sa fie nula

Sigma2

2,Inmultirea unui vector cu un scalar
------------------------------------
Din inmultirea unui vector (v) cu un scalar(k) , se obtine tot un vector(V), avand aceiasi directie cu vectorul deinmultit si modulul egal cu produsu dintre modulul vectorului dat si scalar.(fig 1 Atasament vectori 3).

[tex]\vec{V}[/tex]=k*[tex]\vec{v}[/tex]
Daca k >0, atunci cei 2 vectori au acelasi sens, daca k<0, cei2 vectori au aceiasi directie dar sunt de sens opus.
Exemplu Forta este produsul dintre vectorul acceleratie  si scalarul m (masa corpului)   [tex]\vec{F}[/tex]=m[tex]\vec{a}[/tex]
Daca [tex]\vec{u}[/tex] este versorul vectorului [tex]\vec{V}[/tex], atunci
[tex]\vec{V}[/tex]=l[tex]\vec{V}[/tex]l*[tex]\vec{u}[/tex]
Inmultirea unui vector cu un scalar este o operatie externa. Daca notam cu R multimea nr reale (multimea scalarilor) si cu [tex]\vec{V}[/tex], multimea vectorilor atunci  f:Rx[tex]\vec{V}[/tex]-->[tex]\vec{V}[/tex]   f -0peratia de inmultire

Inmultirea este asociativa:-a*(b)[tex]\vec{v}[/tex]=(a*b)*[tex]\vec{v}[/tex]
unde a,b sunt nr reale, v=vector
-inmultirea este distributiva fata de adunarea numerelor reale
(a+b)*[tex]\vec{v}[/tex]=a*[tex]\vec{v}[/tex]+b*[tex]\vec{v}[/tex]
inmultirea cu un nr real este distributiva fata de adunarea vectorilor
a*([tex]\vec{v}[/tex]+[tex]\vec{u}[/tex])=a*[tex]\vec{v}[/tex]+a*[tex]\vec{u}[/tex]
-1*[tex]\vec{v}[/tex]=[tex]\vec{v}[/tex]  adica 1 este element neutru.
3)produsul scalar a 2 vectori
-----------------------------
Produsul scalar al vectorilor v1siv2 este un scalar egal cu produsul modulelor
celor 2 vectori deinmultit cu cosinusul unghiului determinat de cei 2 vectori.
[tex]\vec{v1}[/tex]*[tex]\vec{v2}[/tex]=l[tex]\vec{v1}[/tex]l*l[tex]\vec{v2}[/tex]l*c0s(<[tex]\vec{v1}[/tex],[tex]\vec{v2}[/tex])

am notat (<v1,v2) unghiul dintre cei 2 vectori

4) Produsul vect0rial a 2 vectori[tex]\vec{V1}[/tex],[tex]\vec{V2}[/tex]
este tot un vector V perpendicular pe planul determinat de V1 siv2 si avand sensul dat de regula burghiului (care roteste pe [tex]\vec{v1}[/tex] a.i sa
se suprapuna pe [tex]\vec{V2}[/tex]
Ecuatia vectoriala este
[tex]\vec{V}[/tex]=[tex]\vec{V1}[/tex]*[tex]\vec{V2}[/tex]
modulul vectorului V este dat de relatia
lVl=lV1l*lV2lcos[tex]\alpha[/tex]   [tex]\alpha[/tex]= < dintre cei 2 vectori
In fizica Momentul fortei (M)se calculeaza ca produsul vectorial dintre bratul fortei si forta.
[tex]\vec{F}[/tex]=[tex]\vec{r}[/tex]x[tex]\vec{F}[/tex]
Observatie Produsul vectorial nu este comutativ . Schimband ordinea factorilor
se modifica sensul vectorului produs.

Sigma2

Ca aplicatii practice a celor spuse maisus propun spre rezolvare urmatoarele probleme:

Problema1.Pe consola din fig 2 este asezat un corp cu masa de 100 Kg.Determinati fortele ce actioneaza asupra celor 2 bare , stiind ca unghiul
dintre acestea este de 60*.

Problema2. Aratati ca intr-un triunghi oarecare ABC, suma segmentelor orientate AB, BC, CA, este nula

Problema 3. Sa se arate ca triunghiul ABCeste dreptunghic (m(<A)=90*), daca
si numai daca

I[tex]\vec{AB}[/tex]+[tex]\vec{AC}[/tex]I=I[tex]\vec{AB}[/tex]-[tex]\vec{AC}[/tex]I
Problema4  Fie pentagonul ABCDE.Scrieti intoate modururile posibile
-[tex]\vec{AC}[/tex] ca suma a 2 vectori
-[tex]\vec{AD}[/tex] ca diferenta a 2 vectori.

Problema 5 Intr-un triunghi oarecare M este mijlocul laturii  BC si G centrul sau de greutate.Daca I[tex]\vec{AG}[/tex]I=5u determinati lungimea segmentului
orientat [tex]\vec{AM}[/tex].

Problema 6.Fie cercul C(O,r) si M un punct exterior acestuia.MT este tangenta la cerc  (T[tex]\in[/tex]C(O,r).Exprimati in functie de  r produsul scalar al vectorilor [tex]\vec{MT}[/tex]*[tex]\vec{MO}[/tex], [tex]\vec{MT}[/tex]*[tex]\vec{OT}[/tex], [tex]\vec{MO}[/tex]*[tex]\vec{OT}[/tex]

Sfarsitul primei parti

Sigma2


Sigma2


Sigma2

VECTORI IN PLAN SI SPATIU EXPRIMATI ANALITIC partea II
__________________________________________________

Fie planul "P" inzestrat cu sistemul de axe ortogonal OXY  si punctele A si B
din acest plan.Pozitia acestor puncte poate fi caracterizata prin vectorii de
pozitie [tex]\vec{OA}[/tex] si [tex]\vec{OB}[/tex].Reamintim ca vectorul de pozitie al unui punct este vectorul cu originea in originea reperului , si extremitatea in punctul respectiv).
Proiectand punctul A pe axele OX  si OY vom obtine punctele A` si A``.
Analog pt B.Proiectia lui B pe OX esteB` si proiectia pe OY este B``.(fig 1 atasament).
Notam lungimea segmentelor:OA`=xa, OA``=ya, OB`=xb, OB``=yb.
Deci cuplurile (xa,ya),(xb,yb) reprezinta coordonatele carteziene ale punctelor
A si B.
Pentru calculul modulului vectorului [tex]\vec{OA}[/tex]=[tex]\vec{V}[/tex]
vom aplica Teorema lui Pitagora in triunghiul OAA`.
I[tex]\vec{OA}[/tex]I^2=I[tex]\vec{OA`}[/tex]I^2+I[tex]\vec{AA`}[/tex]I^2 =>
I[tex]\vec{OA}[/tex]I=[tex]\sqrt{xa^2+ya^2}[/tex]
de aici rezulta formula modulului  vectorului [tex]\vec{V}[/tex] de coordonate (X,Y).
I[tex]\vec{V}[/tex]I=[tex]\sqrt{X^2+Y^2}[/tex]  (I)
Unghiul dintre vectorul [tex]\vec{OA}[/tex] si axa OX, notat cu [tex]\alpha[/tex] se calculeaza tot din triunghiul dreptunghic OAA`.
tg[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{y}{x}[/tex]  (II)
Notand cu [tex]\vec{i}[/tex] si [tex]\vec{j}[/tex] versorii axelor OX si OY vom
exprima vectorul [tex]\vec{OA}[/tex]=[tex]\vec{V}[/tex] in functie de vectorii unitari [tex]\vec{i}[/tex] si [tex]\vec{j}[/tex]
[tex]\vec{V}[/tex]=x[tex]\vec{i}[/tex]+y[tex]\vec{j}[/tex]   (III)
Aceasta relatie este expresia analitica a vectorului [tex]\vec{V}[/tex]
In continuare vom exprima analitic acelasi vector [tex]\vec{AB}[/tex]=[tex]\vec{V}[/tex] in spatiul tridimensional.
Pentru aceasta vom considera sistemul de referinta OXYZ si versorii  [tex]\vec{i}[/tex],[tex]\vec{j}[/tex], si [tex]\vec{k}[/tex] ( fig 2 atasament)
Se va proiecta punctul A in planul (OXZ).Notam Pr(oxz)A=A1   AA1_l_(OXZ)
Se va proiecta punctul A1 pe axele OX si OZ.Notam
PR[OX]A1=A1`  si PR[OZ]A1=A1``
Fie PR[OY}A=A``
Notam I[tex]\vec{OA1}I=x, I[tex]\vec{OA``}[/tex]I=y siI[tex]\vec{oA1``}[/tex]I=z
Tripletul(x,y,z) reprezinta coordonatele carteziene ale vectorului [tex]\vec{OA}[/tex]=[tex]\vec{V}[/tex]
Vom scrie formula analitica a vectorului  V

[tex]\vec{V}[/tex]=x[tex]\vec{i}[/tex]+y[tex]\vec{j}[/tex]+z[tex]\vec{k}[/tex]   (IV)
Lungimea segmentului orientat OA este egala cu I[tex]\vec{V}[/tex]I,care se determina aplicand succesiv teorema lui Pitagora in triunghiurile dreptunghice
OA1A1` si OA1A

l[tex]\vec{V}[/tex]=[tex]\sqrt{x^2+y^2+z^2}[/tex]   formula (V)
1) vectorii  [tex]\vec{i,j,k}[/tex]  sunt ortogonali
2) vectorii [tex]\vec{i}[/tex], [tex]\vec{j}[/tex], determina o baza in plan,
numitabaza canonica.Aceasta se mai noteaza e1=(1,0)si e2=(0,1)
analog vectorii i,j, k, determina o baza inspatiu tridimensional (baza canonica)
i=e1=(1,0.0), j=e2=(0,1,0) k=e3=(0,0,1)

Sigma2


Sigma2


Sigma2


Sigma2

Figura 2 Atasament