O sa scriu doar formulele ,deoarece nu ma pricep prea bine sa fac triunghiuri(in cazul de fata dreptunghice),prin care sa dau si definitia acestor functii.
Incep:
I.Domeniile de definitie ale functiilor trigonometrice [tex]\sin,\cos,tg,ctg[/tex] si relatiile fundamentale
1)[tex]\sin:\mathbb{R}\rightarrow[0,1][/tex] este o functie trigonometrica fundamentala ,care are proprietatea de a fi periodica cu perioada principala [tex]T=2\pi[/tex].Altfel spus [tex]\sin(x+2k\pi)=\sin x,\forall x\in \mathbb{R},\forall k\in\mathbb{Z}[/tex];
2)[tex]\cos:\mathbb{R}\rightarrow[0,1][/tex] este o functie trigonometrica fundamentala ,care are proprietatea de a fi periodica cu perioada principala [tex]T=2\pi[/tex].Altfel spus [tex]\cos(x+2k\pi)=\cos x,\forall x\in \mathbb{R},\forall k\in\mathbb{Z}[/tex];
3)[tex]tg:\mathbb{R}-\{\frac{\pi}{2}+\mathbb{Z}\cdot\pi\}\rightarrow\mathbb{R}[/tex] este o functie trigonometrica fundamentala ,care are proprietatea de a fi periodica cu perioada principala [tex]T=\pi[/tex].Altfel spus [tex]tg(x+k\pi)=tg x,\forall x\in \mathbb{R}-\{\frac{\pi}{2}+\mathbb{Z}\cdot\pi\},\forall k\in\mathbb{Z}[/tex],unde [tex]\mathbb{Z}\cdot\pi=\{k\pi\|k\in\mathbb{Z}[/tex];
4)[tex]ctg:\mathbb{R}-\mathbb{Z}\cdot\pi\rightarrow\mathbb{R}[/tex] este o functie trigonometrica fundamentala ,care are proprietatea de a fi periodica cu perioada principala [tex]T=\pi[/tex].Altfel spus [tex]ctg(x+k\pi)=ctg x,\forall x\in \mathbb{R}-\mathbb{Z}\cdot\pi,\forall k\in\mathbb{Z}[/tex];
Relatii fundamentale:
i)[tex]\sin^2 x+\cos^2 x=1,\forall x\in\mathbb{R}[/tex];
ii)[tex]tg x\cdot ctg x=1,\forall x\in\mathbb{R}-\frac{\mathbb{Z}\cdot\pi}{2}[/tex];
iii)[tex]1+tg^2 x=\frac{1}{\cos^2 x},\forall x\in\mathbb{R}-\{\frac{\pi}{2}+\mathbb{Z}\cdot\pi\}[/tex];
iv)[tex]1+ctg^2 x=\frac{1}{\sin^2 x},\forall x\in\mathbb{R}-\mathbb{Z}\cdot\pi[/tex].
Teorema:Toate cele 4 functii trigonometrice sunt continue si indefinit derivabile pe domeniul lor de definitie.
II.Exprimarea patratelor functiilor trigonometrice fundamentale in functie de celelalte functii trigonometrice fundamentale
i)[tex]\sin^2 x=1-\cos^2 x=\frac{tg^2 x}{1+tg^2 x}=\frac{1}{1+ctg^2 x}[/tex];
ii)[tex]\cos^2 x=1-\sin^2 x=\frac{1}{1+tg^2 x}=\frac{ctg^2 x}{1+ctg^2 x}[/tex];
iii)[tex]tg^2 x=\frac{\sin^2 x}{1-\sin^2 x}=\frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1}{ctg x}[/tex];
iv)[tex]ctg^2 x=\frac{1-\sin^2 x}{\sin^2 x}=\frac{\cos^2 x}{1-\cos^2 x}=\frac{1}{tg x}[/tex].
Observatie:Evident cum nu pentru toate functiile trigonometrice [tex]\mathbb{R}[/tex] este domeniul de definitie ,identitatile de mai sus au loc doar in cazul in care [tex]x[/tex] face parte din domeniul de definitie al ambelor functii implicate in identitate.
III.Formule ale unor sume si diferente de unghiuri
i)[tex]\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y[/tex];
ii)[tex]\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y[/tex];
iii)[tex]\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y[/tex];
iv)[tex]\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y[/tex];
v)[tex]tg(x+y)=\frac{tg x+tg y}{1-tg x\cdot tg y}[/tex];
vi)[tex]tg(x-y)=\frac{tg x-tg y}{1+tg x\cdot tg y}[/tex];
vii)[tex]ctg(x+y)=\frac{ctg x\cdot ctg y-1}{ctg x+ctg y}[/tex];
viii)[tex]ctg(x-y)=\frac{ctg x\cdot ctg y+1}{ctg x-ctg y}[/tex];
Consecinta:Formulele pentru dublul unui unghi:
i)[tex]\sin 2x=2\sin x\cos x[/tex];
ii)[tex]\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=2\cos^2 x-1=1-2\sin^2 x[/tex];
iii)[tex]tg 2x=\frac{2tg x}{1-tg^2 x}[/tex];
iv)[tex]ctg 2x=\frac{ctg^2 x-1}{2ctg x}[/tex].
IV.Formule pentru transformarea produsului in suma
i)[tex]\sin x\cos y=\frac{\sin(x+y)+\sin(x-y)}{2}[/tex];
ii)[tex]\cos x\cos y=\frac{\cos(x+y)+\cos(x-y)}{2}[/tex];
iii)[tex]\sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}[/tex];
iv)[tex]tg x tg y=\frac{tg x+tg y}{ctg x+ctg y}[/tex];
v)[tex]ctg x ctg y=\frac{ctg x+ctg y}{tg x+tg y}[/tex];
vi)[tex]ctg x tg y=\frac{ctg x+tg y}{tg x+ctg y}[/tex].
Observatie :in cazul functiilor tangenta si cotangenta [tex]x,y[/tex] apartin domeniului maxim de definitie care se afla la punctul I al acestei lectii.
V.Formule pentru transformarea sumelor in produse
i)[tex]\sin x+\sin y=2\sin(\frac{x+y}{2}\cos(\frac{x-y}{2})[/tex];
ii)[tex]\sin x-\sin y=2\sin(\frac{x-y}{2}\cos(\frac{x+y}{2})[/tex];
iii)[tex]\cos x+\cos y=2\cos(\frac{x+y}{2}\cos(\frac{x-y}{2})[/tex];
iv)[tex]\cos x-\cos y=-2\sin(\frac{x+y}{2}\sin(\frac{x-y}{2})[/tex];
v)[tex]tg x+tg y=\frac{\sin(x+y)}{\cos x\cos y}[/tex];
vi)[tex]tg x-tg y=\frac{\sin(x-y)}{\cos x\cos y}[/tex];
vii)[tex]ctg x+ctg y=\frac{\sin(x+y)}{\sin x\sin y}[/tex];
viii)[tex]ctg x-ctg y=\frac{\sin(x-y)}{\sin x\sin y}[/tex].
Observatie :in cazul functiilor tangenta si cotangenta [tex]x,y[/tex] apartin domeniului maxim de definitie ale acestor functii care se afla la punctul I al acestei lectii.
VI.Exprimarea rationala a functiilor trigonometrice cu ajutorul tangentei jumatatii unghiului;
Notatie:Pentru usurinta in redactare notez [tex]t=tg\frac{x}{2}[/tex],unde [tex]\frac{x}{2}[/tex]apartine domeniului maxim de definitie al functiei tangenta aflat la punctul 1 al acestei lectii.
Sunt adevarate urmatoarele relatii:
i)[tex]\sin x=\frac{2t}{1+t^2}[/tex];
ii)[tex]\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}[/tex];
iii)[tex]tg x=\frac{2t}{1-t^2}[/tex];
iv)[tex]ctg x=\frac{1-t^2}{2t}[/tex].
PS:sper ca este bine.
Este excelent! Va iesi un articol minunat cand va pune Gothik pe site, toate adunate la un loc. Lumea chiar cauta pe google dupa "functii trigonometrice" si noi suntem deja sus pe google la aceste cautari.
Nu stiu daca in Romania se folosesc, dar in UK sunt foarte folosite si functiile [tex] \sec x=\frac{1}{cosx} [/tex] si [tex] cosec x=\frac{1}{sinx} [/tex].
In foarte multe probleme de trigonometrie se folosesc relatii in functie de sec si cosec, cum ar fi:
[tex]1+\tan^2 x= \sec^2 x
1+\cot^2x=cosec^2 x[/tex]
Acestea doua apar in aproape fiecare subiect de examen...
Eu tg si ctg nu le-am pus cu \tg,\ctg ca nu ar fi aparut cum trebuie .Am mers pe ideea sa pastrez traditia romaneasca in legatura cu aceste notatii ,chiar daca nu se vede frumos ca sin si cos nu va oberva nimeni diferenta ,adica nu sunt probleme de interpretare ctgx vor sti toti ca inseamna cotangenta de x.
Te referi la motivul pentru care am editat mesajul sau la ce?
In legatura cu tg si ctg, mi-am dat seama ca nu sunt puse cu \tg si \ctg doar cand am vazut codul LaTex pentru ele. Asa nici nu se observa, ai dreptate. Eu mi-am editat mesajul pentru ca apareau niste semne de intrebare in mijlocul formulei.
Dar eu in postul meu ma refeream la alte functii, "sec" si "cosec". Asa cum [tex] cotx=\frac{1}{tanx} [/tex], asa [tex] secx=\frac{1}{cosx} [/tex] si [tex] cosecx=\frac{1}{sinx} [/tex]. Dar ma rog, poate in Romania nu sunt asa de folosite.
PS: tan=tg si cot=ctg (sa nu existe confuzii)
Intr-adevar, secanta si cosecanta nu sunt prea folosite. Dar cand scriem in latex pe site vom scrie tan in loc de tg si cotan in loc de ctg. Este regretabil ca romanii folosesc notatii proprii, dar cand romanii vor scrie lucrari de licenta, masterat, doctorat sau articole de stiinta vor folosi notatia internationala, care este cea din Latex. Plus ca arata mai frumos cum este in Latex, cu formulele scrise drept, nu inclinate, ca atunci cand apare cand nu scrii \tan ci scrii tg. Pe viitor cred ca ar fi bine ca si pe forum sa scriem tot astfel. Pe site sigur vom scrie astfel.
Adi, nu stiu de ce, dar eu cand pun \cos sau \tan imi apar niste semne de intrebare intre paranteze drepte. Ceva in genul: [tex] \sinx=\frac{2}{3} [/tex]. Stii cumva de ce se intampla asta?
Formule trigonometrice
I.Domeniile de definitie ale functiilor trigonometrice [tex]\sin,\cos,\tan,\cot[/tex] si relatiile fundamentale 1)[tex]\sin:\mathbb{R}\rightarrow[0,1][/tex] este o functie trigonometrica fundamentala ,care are proprietatea de a fi periodica cu perioada principala [tex]T=2\pi[/tex].Altfel spus [tex]\sin(x+2k\pi)=\sin x,\forall x\in \mathbb{R},\forall k\in\mathbb{Z}[/tex];
2)[tex]\cos:\mathbb{R}\rightarrow[0,1][/tex] este o functie trigonometrica fundamentala ,care are proprietatea de a fi periodica cu perioada principala [tex]T=2\pi[/tex].Altfel spus [tex]\cos(x+2k\pi)=\cos x,\forall x\in \mathbb{R},\forall k\in\mathbb{Z}[/tex];
3)[tex]\tan:\mathbb{R}-\{\frac{\pi}{2}+\mathbb{Z}\cdot\pi\}\rightarrow\mathbb{R}[/tex] este o functie trigonometrica fundamentala ,care are proprietatea de a fi periodica cu perioada principala [tex]T=\pi[/tex].Altfel spus [tex]\tan(x+k\pi)=\tan x,\forall x\in \mathbb{R}-\{\frac{\pi}{2}+\mathbb{Z}\cdot\pi\},\forall k\in\mathbb{Z}[/tex],unde [tex]\mathbb{Z}\cdot\pi=\{k\pi\|k\in\mathbb{Z}[/tex];
4)[tex]\cot:\mathbb{R}-\mathbb{Z}\cdot\pi\rightarrow\mathbb{R}[/tex] este o functie trigonometrica fundamentala ,care are proprietatea de a fi periodica cu perioada principala [tex]T=\pi[/tex].Altfel spus [tex]\cot(x+k\pi)=\cot x,\forall x\in \mathbb{R}-\mathbb{Z}\cdot\pi,\forall k\in\mathbb{Z}[/tex];
Relatii fundamentale:
i)[tex]\sin^2 x+\cos^2 x=1,\forall x\in\mathbb{R}[/tex];
ii)[tex]\tan x\cdot \cot x=1,\forall x\in\mathbb{R}-\frac{\mathbb{Z}\cdot\pi}{2}[/tex];
iii)[tex]1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x},\forall x\in\mathbb{R}-\{\frac{\pi}{2}+\mathbb{Z}\cdot\pi\}[/tex];
iv)[tex]1+\cot^2 x=\frac{1}{\sin^2 x},\forall x\in\mathbb{R}-\mathbb{Z}\cdot\pi[/tex].
Teorema:Toate cele 4 functii trigonometrice sunt continue si indefinit derivabile pe domeniul lor de definitie.
II.Exprimarea patratelor functiilor trigonometrice fundamentale in functie de celelalte functii trigonometrice fundamentale i)[tex]\sin^2 x=1-\cos^2 x=\frac{tg^2 x}{1+tg^2 x}=\frac{1}{1+ctg^2 x}[/tex];
ii)[tex]\cos^2 x=1-\sin^2 x=\frac{1}{1+tg^2 x}=\frac{ctg^2 x}{1+ctg^2 x}[/tex];
iii)[tex]\tan^2 x=\frac{\sin^2 x}{1-\sin^2 x}=\frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cot x}[/tex];
iv)[tex]\cot^2 x=\frac{1-\sin^2 x}{\sin^2 x}=\frac{\cos^2 x}{1-\cos^2 x}=\frac{1}{\tan x}[/tex].
Observatie:Evident cum nu pentru toate functiile trigonometrice [tex]\mathbb{R}[/tex] este domeniul de definitie ,identitatile de mai sus au loc doar in cazul in care [tex]x[/tex] face parte din domeniul de definitie al ambelor functii implicate in identitate.
III.Formule ale unor sume si diferente de unghiuri i)[tex]\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y[/tex];
ii)[tex]\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y[/tex];
iii)[tex]\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y[/tex];
iv)[tex]\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y[/tex];
v)[tex]\tan(x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\cdot \tan y}[/tex];
vi)[tex]\tan(x-y)=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x\cdot \tan y}[/tex];
vii)[tex]\cot(x+y)=\frac{\cot x\cdot \cot y-1}{\cot x+\cot y}[/tex];
viii)[tex]\cot(x-y)=\frac{\cot x\cdot \cot y+1}{\cot x-\cot y}[/tex];
Consecinta:Formulele pentru dublul unui unghi:
i)[tex]\sin 2x=2\sin x\cos x[/tex];
ii)[tex]\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=2\cos^2 x-1=1-2\sin^2 x[/tex];
iii)[tex]\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}[/tex];
iv)[tex]\cot 2x=\frac{\cot^2 x-1}{2\cot x}[/tex].
IV.Formule pentru transformarea produsului in suma i)[tex]\sin x\cos y=\frac{\sin(x+y)+\sin(x-y)}{2}[/tex];
ii)[tex]\cos x\cos y=\frac{\cos(x+y)+\cos(x-y)}{2}[/tex];
iii)[tex]\sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}[/tex];
iv)[tex]\tan x \tan y=\frac{\tan x+\tan y}{\cot x+\cot y}[/tex];
v)[tex]\cot x \cot y=\frac{\cot x+\cot y}{\tan x+\tan y}[/tex];
vi)[tex]\cot x \tan y=\frac{\cot x+\tan y}{\tan x+\cot y}[/tex].
Observatie :in cazul functiilor tangenta si cotangenta [tex]x,y[/tex] apartin domeniului maxim de definitie care se afla la punctul I al acestei lectii.
V.Formule pentru transformarea sumelor in produse i)[tex]\sin x+\sin y=2\sin(\frac{x+y}{2}\cos(\frac{x-y}{2})[/tex];
ii)[tex]\sin x-\sin y=2\sin(\frac{x-y}{2}\cos(\frac{x+y}{2})[/tex];
iii)[tex]\cos x+\cos y=2\cos(\frac{x+y}{2}\cos(\frac{x-y}{2})[/tex];
iv)[tex]\cos x-\cos y=-2\sin(\frac{x+y}{2}\sin(\frac{x-y}{2})[/tex];
v)[tex]\tan x+\tan y=\frac{\sin(x+y)}{\cos x\cos y}[/tex];
vi)[tex]\tan x-\tan y=\frac{\sin(x-y)}{\cos x\cos y}[/tex];
vii)[tex]\cot x+\cot y=\frac{\sin(x+y)}{\sin x\sin y}[/tex];
viii)[tex]\cot x-\cot y=\frac{\sin(x-y)}{\sin x\sin y}[/tex].
Observatie :in cazul functiilor tangenta si cotangenta [tex]x,y[/tex] apartin domeniului maxim de definitie ale acestor functii care se afla la punctul I al acestei lectii.
VI.Exprimarea rationala a functiilor trigonometrice cu ajutorul tangentei jumatatii unghiului;
Notatie:Pentru usurinta in redactare notez [tex]t=tg\frac{x}{2}[/tex],unde [tex]\frac{x}{2}[/tex]apartine domeniului maxim de definitie al functiei tangenta aflat la punctul 1 al acestei lectii.
Sunt adevarate urmatoarele relatii:
i)[tex]\sin x=\frac{2t}{1+t^2}[/tex];
ii)[tex]\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}[/tex];
iii)[tex]\tan x=\frac{2t}{1-t^2}[/tex];
iv)[tex]\cot x=\frac{1-t^2}{2t}[/tex].
Citat din: Bianca Sala din Martie 06, 2010, 10:01:52 PM
Adi, nu stiu de ce, dar eu cand pun \cos sau \tan imi apar niste semne de intrebare intre paranteze drepte. Ceva in genul: [tex] \sinx=\frac{2}{3} [/tex]. Stii cumva de ce se intampla asta?
Latexu nu citeste ca functie pe sinx ,ca sa apara bine trebuie sa scrii \sin x adica [tex]\sin x [/tex]
Citat din: laurentiu din Martie 06, 2010, 10:16:18 PM
Citat din: Bianca Sala din Martie 06, 2010, 10:01:52 PM
Adi, nu stiu de ce, dar eu cand pun \cos sau \tan imi apar niste semne de intrebare intre paranteze drepte. Ceva in genul: [tex] \sinx=\frac{2}{3} [/tex]. Stii cumva de ce se intampla asta?
Latexu nu citeste ca functie pe sinx ,ca sa apara bine trebuie sa scrii \sin x adica [tex]\sin x [/tex]
DA, asa este, trebuie spatiu intre sin si x. Altfel latex nu cauta comanda sinx si nu o gaseste.
Ah, vad ca ai postat si cu notatiile de tan si cot. Mersi mult!
@Adi - ca sa fiu sincer eu, unul, as publica articolul in versiunea cu tg si ctg...Nu de alta dar elevilor daca le schimbi notatia nu o sa se prinda ca tan = tangenta si cotan = ctg ... Multi cititori ar fi derutati...
Un singur lucru a omis @laurentiu (asta la un studiu superficial) la definitia tangentei, respectiv a cotangentei ar fi trebuit precizat ca [tex] \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} [/tex] si [tex] \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\tan x} [/tex], iar codomeniul pentru sin si cos e [-1,1], nu [0,1]. Am sa corectez erorile (cel mai probabil din neatentie facute) si am sa mai fac completari daca e necesar.
da ai dreptate gothik ,am uitat sa mai scriu formulele tangentei si cotangentei chiar daca pe tot articolu incercam sa-mi demonstrez in minte unele chestii legate de tangenta si apelam de multe ori la formula sin/cos ,chiar te rog mult sa modifici eroarea mea de scriere ,a fost din neatentie ca la o problema azi imi ramasese in gand un modul de sin x definit pe o R cu valori in [0,1] si de acolo am zis ca primitiva e crescatoare etc.Probabil de-asta am scris gresit
Mai erau de scris formulele de la unghiul triplu si linearizarea puterilor acestor functii da' era o gramada de scris .Sper sa apuc sa le scriu maine .Daca nu ai pus astea pe site ,nu le pune pana maine sa vin si cu acele formule .Sper ca pana cel tarziu maine seara sa le scriu aici .
Citat din: gothik12 din Martie 06, 2010, 11:21:12 PM
@Adi - ca sa fiu sincer eu, unul, as publica articolul in versiunea cu tg si ctg...Nu de alta dar elevilor daca le schimbi notatia nu o sa se prinda ca tan = tangenta si cotan = ctg ... Multi cititori ar fi derutati...
Atunci vom scrie cu bold, mare, sus ca in textele de mai jos notatia cunoscuta lor de "tg" se va nota cu "tan" si notatia de ctg se va nota cu "cot" si ca astea sunt notatiile internationale pe care le vor folosi si ei mai tarziu, mai ales cand vor scrie lucrarile de licenta, master, doctorat sau articole stiintifice in Latex, asa cum e norma, si cum scriem si noi pe site. Prin urmare, notatiile acestea ii pregatesc pentru viata. Daca spunem asta in articol, vor intelege, iar care nu, e treaba lor.
Citat din: laurentiu din Martie 06, 2010, 11:35:09 PM
da ai dreptate gothik ,am uitat sa mai scriu formulele tangentei si cotangentei chiar daca pe tot articolu incercam sa-mi demonstrez in minte unele chestii legate de tangenta si apelam de multe ori la formula sin/cos ,chiar te rog mult sa modifici eroarea mea de scriere ,a fost din neatentie ca la o problema azi imi ramasese in gand un modul de sin x definit pe o R cu valori in [0,1] si de acolo am zis ca primitiva e crescatoare etc.Probabil de-asta am scris gresit
Nu-i problema. Doar le-am semnalat :) . Eu nu am "puterea" de a corecta posturile de pe forum, ca nu am drept de administrator/moderator, asa ca sa le modifice administratorii de pe aici ;D daca pot si au timp.
Citat din: laurentiu din Martie 06, 2010, 11:38:54 PM
Mai erau de scris formulele de la unghiul triplu si linearizarea puterilor acestor functii da' era o gramada de scris .Sper sa apuc sa le scriu maine .Daca nu ai pus astea pe site ,nu le pune pana maine sa vin si cu acele formule .Sper ca pana cel tarziu maine seara sa le scriu aici .
Sa imi zici cand ai terminat tot de scris, toate formulele, definitiile etc. Ca sa le pun pe toate intr-un singur articol (sau, ma rog, sa le organizez intr-o serie care sa aibe cat de cat o logica, daca iese articolul prea mare) si ca sa am si eu un scop cand aranjez in pagina. Oricum te felicit pentru rabdarea avuta de a scrie!
Lamuriti-ma si pe mine va rog, de ce se alege cercul cu raza 1 atunci cand se vorbeste de functiile trigonometrice iar acest 1 ce reprezinta?- adica are unitate de masura?
Citat din: Cromatic din Februarie 08, 2011, 10:06:12 AM
Lamuriti-ma si pe mine va rog, de ce se alege cercul cu raza 1 atunci cand se vorbeste de functiile trigonometrice iar acest 1 ce reprezinta?- adica are unitate de masura?
Pentru ca sin, cos, tangenta si cotangenta se definesc, in geometria elementara de clasa a saptea-a opta astfel:
Fie un triunghi dreptunghic ABC, cu m(A) = 90 grade. Atunci:
sin x = cateta opusa lui x/ipotenuza
cos x = cateta alaturata lui x/ipotenuza
tg x = cateta opusa lui x/cateta alaturata lui x = sin x / cos x
ctg x = 1/tg x = cos x/sin x = cateta alaturata lui x/cateta opusa lui x.
De asemenea, se poate demonstra usor geometric, dar se poate si arata prin desen, ca mijlocul ipotenuzei triunghiului dreptunghic il constituie centrul cercului circumscris.
Bun. Acum imaginandu-ne cercul trigonometric si axele Ox, Oy (adica reperul cartezian xOy). Cerc = parcurgere de 360 de grade nu? Daca tragem un vector de pozitie al unui punct de pe cerc din centrul O obtinem un unghi. Du si tu o paralela la Oy din acel punct care intersecteaza Ox. Nu cumva ai obtinut un triunghi dreptunghic, cu ipotenuza = raza cercului trigonometric?
Apai ca sa ai EXACT valoarea sinusului acelui unghi, adica lungimea paralelei duse la Oy, trebuie ca raza cercului trigonometric sa fie 1. E o conventie pentru usurinta unor calcule/demonstratii...Plus...gandeste-te altfel...Iti este comod sa masori si raza si lungimea paralelei si sa mai faci si un raport? Sau doar una din ele, stiind sigur valoarea celalalta si nefiind nevoit sa faci nici un raport?
Asta ar fi o explicatie...nu stiu daca e cea mai corecta/cea oficiala.
Citat din: gothik12 din Februarie 08, 2011, 10:26:51 AM
...
De asemenea, se poate demonstra usor geometric, dar se poate si arata prin desen, ca mijlocul ipotenuzei triunghiului dreptunghic il constituie centrul cercului circumscris de unde rezulta ca sin2t sau cateta opusa unghiului + cos2t sau cateta alaturata unghiului=1 cu alte cuvinte teorema lui Pitagora sub forma trigonometrica sau teorema fundamentala a trigonometriei.
E o conventie pentru usurinta unor calcule/demonstratii...Plus...gandeste-te altfel...Iti este comod sa masori si raza si lungimea paralelei si sa mai faci si un raport? Sau doar una din ele, stiind sigur valoarea celalalta si nefiind nevoit sa faci nici un raport?
Asta ar fi o explicatie...nu stiu daca e cea mai corecta/cea oficiala.
Normal, stiam ca functiile trigonometrice se exprima ca rapoarte de laturi ale unui triunghi dreptunghic insa le-am luat ca atare ca pe niste axiome daca vreti si voiam sa inteleg de ce se alege cercul cu raza 1(ma ajuta sa inteleg cum se face interpretarea marimilor variabile in timp in speta, curentul alternativ).
In concluzie, nu stiam ca este o conventie, credeam ca se poate demonstra.Ceea ce este evident, intr-un triunghi dreptunghic raportul dintre oricare cateta si ipotenuza nu poate sa fie mai mare ca 1 dar daca vorbim de tg. ei bine aici m-am cam incurcat pentru ca daca vorbim de un tr. drept. cu laturile 3,4,5 exista raportul 4/3 pentru tg. care este evident mai mare decat 1 dar poate nu este bun rationamentul meu...
Cromatic, ideea este ca acele relatii sunt valabile oricare ar fi raza cercului, nu doar pentru raza 1. Tocmai in asta sta magia "radianilor" si marimilor trigonometrice. Tine doar de unghiuri, nu de distante. Si atunci, daca tot sunt valabile pentru orice lungime, atunci lucram cu lungimea cea mai usoara, anume 1.
Intr-un cerc de raza R, pe abscisa ai lungimea R ori cos alfa si pe coordonata ai lungimea R ori sin alfa. Dar noi vrem sa vedem vizua, pe figura geometrica, segmentul care are exact lungimea sing alfa si un altul care are exact lungimea cos alfa. Surpriza, daca alegem cercul cu R=1, atunci segmentele din acel triunghi au exact lungimea cos alfa pe orizontala si sin alfa pe verticala!
E un pic mai clar acum?
Citat din: Cromatic din Februarie 08, 2011, 01:18:34 PM
Normal, stiam ca functiile trigonometrice se exprima ca rapoarte de laturi ale unui triunghi dreptunghic insa le-am luat ca atare ca pe niste axiome daca vreti
Nu sant axiome ci definitii. Bineinteles, bazate pe proprietatea ca raportul laturilor unui triunghi depinde numai de unghiuri si nu de marimea triunghiului, ceea ce este o teorema (demonstrata pe baza axiomelor).
Citat din: Cromatic din Februarie 08, 2011, 01:18:34 PM
In concluzie, nu stiam ca este o conventie, credeam ca se poate demonstra.Ceea ce este evident, intr-un triunghi dreptunghic raportul dintre oricare cateta si ipotenuza nu poate sa fie mai mare ca 1 dar daca vorbim de tg. ei bine aici m-am cam incurcat pentru ca daca vorbim de un tr. drept. cu laturile 3,4,5 exista raportul 4/3 pentru tg. care este evident mai mare decat 1 dar poate nu este bun rationamentul meu...
Sigur, tangenta are valori in intervalul -infinit la +infinit. Nu e nimic gresit.
Continuand postarea mea, fiindca ai amintit de tangenta si contangenta, acum ca stii sa desenezi un segment cu lungimea strict egala cu cos alfa ori cu sin alfa, poti sa desenezi (pe acelasi desen) un segment cu lungimea strict tangenta de alfa si un altul cu lungimea string cotangenta de alfa? Daca iintelegi asta, apoi vei vedea si cum acel segment ia usor valoarea de la zero la infinit pe masura ce misti unghiul de la zero la 90 de grade.
gothik12, Adi, mircea_p- multumesc baieti pentru raspunsuri, da, acum mi-am clarificat aceasta problema, asta e, unii sunt nevoiti sa aprofundeze cunostinte si la varste mai mari...
Cromatic, ma bucur sa aud ca ti-ai clarificat. Dar m-as bucura si mai mult daca chiar ai face desenul si mi-ai arata pe el segmentul de lungimea tangenta de alfa. Eu stiu sa fac, dar nu sunt convins ca stii sa faci. Si daca nu stii sa faci, chiar pierzi ce e mai frumos si nici nu ai inteles complet. Daca ne arati ca ai incercat si nu ai reusit, te ajutam noi si te vei bucura ca ai acceptat aceasta provocare.
Se prelungeste raza cercului pana cand intersecteaza dreapta paralela cu axa Oy(aceasta are punctul de tangenta cu cercul la intersectia cu axa Ox in punctul 1(2pi rad. sau 360 gr.). Daca vorbim de primul cadran atunci segmentul care are ca lungime exact valoarea tangentei unghiului se afla situat pe aceasta dreapta si este delimitat in partea de jos de catre punctul de intersectie al axei Ox cu dreapta in punctul 1 iar sus punctul de intersectie dintre prelungirea razei si dreapta tangenta la cerc.
Sigur, se poate face analogia si cu tangenta la cerc dusa pe raza atunci cand ea face un anumit unghi cu axa Ox dar este acelasi lucru pentru ca cele doua triunghiuri care se formeaza intr-un caz si celalalt sunt congruente(aici chiar se poate observa din prima ca la 45gr. tangenta are valoarea razei adica 1) dar e mai usor cu paralela la axa Oy pentru ca doar prelungesti raza iar punctul de intersectie cu tangenta delimiteaza segmentul mult asteptat...
Excelent! Chiar apreciez ca ai scris aici. Si intr-adevar confirm ca ai inteles. Si segmentul de lungime cotangenta de alfa?
Cotangenta este paralela la axa Ox iar prin analogie se poate descrie segmentul exact cum am spus si mai sus.
P.S.
Cum sa nu scriu aici, la urma urmei eu am nevoie de voi si nu invers iar interesul meu este sa invat nu sa-mi fur caciula singur, eu nu mai am de dat lucrari de control, teze sau examene ci pur si simplu acum aprofundez notiunile pe care se bazeaza invatarea altora dar care se bazeaza pe acestea.
Felicitari pentru mentalitate, Cromatic!
Ai fi mirat sa vezi cati vin aici doar sa le rezolvam mura in gura, adica sa isi fura singuri caciula. Tu faci bine caci chiar vrei sa inveti si arati asta. Ai ajuns unde trebuie, aici chiar vei fi ajutat.
Citat din: mircea_p din Februarie 08, 2011, 05:34:26 PM
Nu sant axiome ci definitii. Bineinteles, bazate pe proprietatea ca raportul laturilor unui triunghi depinde numai de unghiuri si nu de marimea triunghiului, ceea ce este o teorema (demonstrata pe baza axiomelor).
Si reciproca ar putea fi valabila.
Asa cum unghiul este variabila independenta iar raportul(functia) este variabila dependenta, de ce nu se poate spune si invers adica prin diverse valori independente ale raportului(adica raportul sa devina variabila independenta) unghiul sa ia valorile corespunzatoare si sa devina variabila dependenta?
De ce functiile trigonometrice se definesc numai in triunghiul dreptunghic?(pentru ca nu inteleg cum calculezi sinusul si cosinusul unui unghi al unui triunghi oarecare-vezi teorema sinusului si a cosinusului intr-un triunghi oarecare desi cunosc cum se demonstreaza aceste 2 teoreme).