problema interesanta

laurentiu · Noiembrie 22, 2008, 04:04:18 PM

astazi la olimpiada locala de fizica am primit urmatoarea problema :un punct material oscileaza dupa legea x=x0*sin^2(w0*t+fi0).(sin patrat de argument w0t+fi0)
a)sa se demonstreze ca miscarea este oscilatorie armonica ;
b si c sunt banale daca faci punctul a .la b cere amplitudinea si perioada iar la c ecuatia vitezei si acceleratiei in functie de timp .
problema aceasta am facut-o cu o metoda trigonometrica ,dar sunt curios daca mai exista si alte metode de rezolvare .multumesc

Alexandru Rautu · Noiembrie 22, 2008, 04:10:41 PM

Da, exista... insa as vrea sa stiu ce notiuni ai tu de analiza matematica (limite, derivate, etc.) ca sa fac o rezolvare pentru nivelul respectiv..

HarapAlb · Noiembrie 22, 2008, 04:12:29 PM

Citat din: laurentiu din Noiembrie 22, 2008, 04:04:18 PM
astazi la olimpiada locala de fizica am primit urmatoarea problema :un punct material oscileaza dupa legea x=x0*sin^2(w0*t+fi0).(sin patrat de argument w0t+fi0)
a)sa se demonstreze ca miscarea este oscilatorie armonica ;
b si c sunt banale daca faci punctul a .la b cere amplitudinea si perioada iar la c ecuatia vitezei si acceleratiei in functie de timp .
problema aceasta am facut-o cu o metoda trigonometrica ,dar sunt curios daca mai exista si alte metode de rezolvare .multumesc

Alta rezolvare ar fi plecand de la principiul dinamicii F=m*a...

laurentiu · Noiembrie 22, 2008, 08:00:40 PM

Citat din: Alexandru Rautu din Noiembrie 22, 2008, 04:10:41 PM
Da, exista... insa as vrea sa stiu ce notiuni ai tu de analiza matematica (limite, derivate, etc.) ca sa fac o rezolvare pentru nivelul respectiv..

chiar daca sunt pe clasa a unsprezecea ,stiu toate notiunile de analiza pt clasele superioare de liceu,limite,derivate,integrale,primitive continuitate etc.as fi recunoscator pt o demonstratie folosind analiza matematica,pt ca eu pe parcursul olimpiadei n-am putut gasi decat demostratia folosind notiuni de trigonometrie,care din fericire s-a dovedit corecta,si 99% am mers mai departe la faza judeteana .

laurentiu · Noiembrie 22, 2008, 08:04:39 PM

Citat din: HarapAlb din Noiembrie 22, 2008, 04:12:29 PM
Citat din: laurentiu din Noiembrie 22, 2008, 04:04:18 PM
astazi la olimpiada locala de fizica am primit urmatoarea problema :un punct material oscileaza dupa legea x=x0*sin^2(w0*t+fi0).(sin patrat de argument w0t+fi0)
a)sa se demonstreze ca miscarea este oscilatorie armonica ;
b si c sunt banale daca faci punctul a .la b cere amplitudinea si perioada iar la c ecuatia vitezei si acceleratiei in functie de timp .
problema aceasta am facut-o cu o metoda trigonometrica ,dar sunt curios daca mai exista si alte metode de rezolvare .multumesc
Alta rezolvare ar fi plecand de la principiul dinamicii F=m*a...

si cum ar putea fi rezolvata asa ? adica pt a demonstra ca e miscare oscilatorie armonica trebuie sa "scap" de sin patrat si sa obtin ceva in functie de sin .multumesc mult pt timpul acordat

HarapAlb · Noiembrie 22, 2008, 08:35:26 PM

Citat din: laurentiu din Noiembrie 22, 2008, 08:04:39 PM
si cum ar putea fi rezolvata asa ? adica pt a demonstra ca e miscare oscilatorie armonica trebuie sa "scap" de sin patrat si sa obtin ceva in functie de sin .multumesc mult pt timpul acordat

M-am gandit la faptul ca F=m*d²x/dt² si cum cunosti solutia x(t) poti sa deduci expresia fortei F sa vezi daca miscarea e armonica sau nu

Adi · Noiembrie 22, 2008, 09:05:06 PM

De acord cu HarapAlb. I alta solutie este sa transformi sin patrat in 1 minus 2 cos totul pe doi parca si aici este car ca este o miscare oscilatorie suprapusa unei amplitudini constante. Asta e solutia pe care ai realizat-o tu?

Alexandru Rautu · Noiembrie 22, 2008, 10:48:28 PM

Fie ${h:\quad \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}$
o functie continua, atunci derivata lui ${h\left ( x \right )}$ in raport cu ${x}$ este

${\lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{h\left ( x \right ) - h\left ( x_{0} \right )}{x - x_0}\equiv h'\left ( x \right )}$ .

${h'\left ( x \right )}$ este doar o notatie pentru derivata si poarta numele de notatia lui Lagrange (Joseph Louis Lagrange, matematicean din secolul 18-lea).

O alta notatie este notatia lui Leibniz: ${\frac{d}{dx}\left ( h\left ( x \right )\right )}$ sau doar simplu ${\frac{dh}{dx}}$ . Exista si notatia lui Newton, fiind doar ${\dot{h}}$ (cu un punct de-asupra).

Rezumand cele spuse avem ca derivata de ordin intai a lui ${h\left ( x \right )}$ in raport cu ${x}$ :

${h'\left ( x \right )=\frac{dh}{dx}=\dot{h}}$

Pentru derivata de ordin al doilea avem:

${h''\left ( x \right )=\frac{d^2 h}{dx^2}=\ddot{h}}$ .

Cam asta ar fi despre notatia derivatelor...

Acum, daca ${h}$ este o functie de ${u\left ( x \right )}$ , adica ${h\left ( u\left ( x \right )\right )}$ , atunci derivata de ordin intai (folosind notatia lui Leibniz) este:

${\frac{dh}{dx}=\frac{dh}{du}\quad\frac{du}{dx}}$

...sau folosind notatia lui Lagrange avem: ${h'\left ( u \left ( x \right ) \right )=h'\left ( u \right )\cdot u'\left ( x \right )}$ .

Gata! Ajunge cu matematica... sa vedem problema:

${x(t)=x_{0}\sin^2{\left (\quad{\omega t + \phi\quad } \right )}$

Folosind notatia lui Newton pentru derivata lui ${x\left ( t \right )}$ avem ca viteza este ${v\left ( t \right )=\dot{x}\left ( t \right )}$ (din definitia vitezei: derivata spatiului in raport cu timpul).

Deci,

${v(t)=\dot{x}(t)=\frac{d}{dt} \left [ x_{0}\sin^2{\left (\quad{\omega t + \phi\quad } \right )\right ]=2\omega x_0 \sin\left (\quad{\omega t + \phi\quad } \right )\cos\left (\quad{\omega t + \phi\quad } \right )=\omega x_0 \sin\left (\quad{2\omega t + 2\phi\quad } \right )$

Din definitia acceleratia ("derivata vitezei in raport cu timpul") ${a\left ( t \right )=\dot{v}\left ( t \right )}$ , atunci

${a(t)=\dot{v}(t)=\ddot{x}=\frac{d}{dt} \left [ \omega x_0 \sin\left (\quad{2\omega t + 2\phi\quad } \right ) \right ]= 2\omega^2 x_0 \cos\left (\quad{2\omega t + 2\phi\quad } \right )=2\omega^2 x_0 \left [ 1 - 2\sin^2{\left (\quad{\omega t + \phi\quad } \right )}\right ]= \omega^2 \left [ -4x_0\sin^2{\left (\quad{\omega t + \phi\quad } \right ) + 2x_0} \right ]=-2\omega^2 (2x-x_0)}$ ,

adica

${\ddot{x}+2\omega^2 (2x-x_0)=0}$

Fie

${y=2x-x_0}$

(doar o simpla notatie pentru expresia respectiva), atunci avem

${\ddot{y}=\frac{d^2}{dx^2} (2x-x_0)=\frac{d}{dx} (2\dot{x})=2\ddot{x}}$

Asadar,

${\ddot{y}+\omega^2 y=0}$

sau

${m\ddot{y}=-ky}$ ,

unde ${k=m\omega^2}$ . Cum ${F=m\ddot{x}}$ , atunci avem ca

${F=-ky}$ ,

adica o miscare oscilatorie armonica!

P.S. Sper sa-ti fie de ajutor, si s-o intelegi... multa bafta la olimpiada!

Adi · Noiembrie 22, 2008, 10:54:51 PM

Excelenta rezolvare, Alexandru. E minunat cum esti fluent in Latex. Ai putea sa lucrezi si sa iei bani pentru a scrie solutii de probleme in Latex. Inca nu fac o oferta, dar in principiu te-ar tenta sa lucrezi pe ceva de genul asta? De exemplu probleme model pentru liceu, care puse pe un site ar aduce trafic de la cei care se pregatesc pentru bac in special, dar si de la elevi si profesori in general. Trafic inseamna bani din reclame, etc.

laurentiu · Noiembrie 22, 2008, 11:02:41 PM

Citat din: Adi din Noiembrie 22, 2008, 09:05:06 PM
De acord cu HarapAlb. I alta solutie este sa transformi sin patrat in 1 minus 2 cos totul pe doi parca si aici este car ca este o miscare oscilatorie suprapusa unei amplitudini constante. Asta e solutia pe care ai realizat-o tu?

da ,asa am rezolvat eu ,exact ca pe barem .sigur ,baremul era facut folosind matematica elementara ,dar eu am fost curios sa vad rezolvarea folosind elemente de analiza matematica ,si sincer nu ma pricepeam

Adi · Noiembrie 22, 2008, 11:05:53 PM

E minunat ca ai gasit prima solutie simpla si apoi ca vrei sa afli mai mult. Apropo, nu vrei sa faci parte si tu din echipa StiintaAzi.ro? Suntem o echipa de succes si oferim lucruri minunate publicului roman si si tu poti contribui la asta. Pentru inceput, ne poti pune in contact cu liceul tau ca sa devina poate liceu partener al nostru. Apoi poate scrii si tu stiri si faci traduceri. Ce zici?

laurentiu · Noiembrie 22, 2008, 11:06:27 PM

Citat din: Alexandru Rautu din Noiembrie 22, 2008, 10:48:28 PM
Fie ${h:\quad \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}$
o functie continua, atunci derivata lui ${h\left ( x \right )}$ in raport cu ${x}$ este

${\lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{h\left ( x \right ) - h\left ( x_{0} \right )}{x - x_0}\equiv h'\left ( x \right )}$ .

${h'\left ( x \right )}$ este doar o notatie pentru derivata si poarta numele de notatia lui Lagrange (Joseph Louis Lagrange, matematicean din secolul 18-lea).

O alta notatie este notatia lui Leibniz: ${\frac{d}{dx}\left ( h\left ( x \right )\right )}$ sau doar simplu ${\frac{dh}{dx}}$ . Exista si notatia lui Newton, fiind doar ${\dot{h}}$ (cu un punct de-asupra).

Rezumand cele spuse avem ca derivata de ordin intai a lui ${h\left ( x \right )}$ in raport cu ${x}$ :

${h'\left ( x \right )=\frac{dh}{dx}=\dot{h}}$

Pentru derivata de ordin al doilea avem:

${h''\left ( x \right )=\frac{d^2 h}{dx^2}=\ddot{h}}$ .

Cam asta ar fi despre notatia derivatelor...

Acum, daca ${h}$ este o functie de ${u\left ( x \right )}$ , adica ${h\left ( u\left ( x \right )\right )}$ , atunci derivata de ordin intai (folosind notatia lui Leibniz) este:

${\frac{dh}{dx}=\frac{dh}{du}\quad\frac{du}{dx}}$

...sau folosind notatia lui Lagrange avem: ${h'\left ( u \left ( x \right ) \right )=h'\left ( u \right )\cdot u'\left ( x \right )}$ .

Gata! Ajunge cu matematica... sa vedem problema:

${x(t)=x_{0}\sin^2{\left (\quad{\omega t + \phi\quad } \right )}$

Folosind notatia lui Newton pentru derivata lui ${x\left ( t \right )}$ avem ca viteza este ${v\left ( t \right )=\dot{x}\left ( t \right )}$ (din definitia vitezei: derivata spatiului in raport cu timpul).

Deci,

${v(t)=\dot{x}(t)=\frac{d}{dt} \left [ x_{0}\sin^2{\left (\quad{\omega t + \phi\quad } \right )\right ]=2\omega x_0 \sin\left (\quad{\omega t + \phi\quad } \right )\cos\left (\quad{\omega t + \phi\quad } \right )=\omega x_0 \sin\left (\quad{2\omega t + 2\phi\quad } \right )$

Din definitia acceleratia ("derivata vitezei in raport cu timpul") ${a\left ( t \right )=\dot{v}\left ( t \right )}$ , atunci

${a(t)=\dot{v}(t)=\ddot{x}=\frac{d}{dt} \left [ \omega x_0 \sin\left (\quad{2\omega t + 2\phi\quad } \right ) \right ]= 2\omega^2 x_0 \cos\left (\quad{2\omega t + 2\phi\quad } \right )=2\omega^2 x_0 \left [ 1 - 2\sin^2{\left (\quad{\omega t + \phi\quad } \right )}\right ]= \omega^2 \left [ -4x_0\sin^2{\left (\quad{\omega t + \phi\quad } \right ) + 2x_0} \right ]=-2\omega^2 (2x-x_0)}$ ,

adica

${\ddot{x}+2\omega^2 (2x-x_0)=0}$

Fie

${y=2x-x_0}$

(doar o simpla notatie pentru expresia respectiva), atunci avem

${\ddot{y}=\frac{d^2}{dx^2} (2x-x_0)=\frac{d}{dx} (2\dot{x})=2\ddot{x}}$

Asadar,

${\ddot{y}+\omega^2 y=0}$

sau

${m\ddot{y}=-ky}$ ,

unde ${k=m\omega^2}$ . Cum ${F=m\ddot{x}}$ , atunci avem ca

${F=-ky}$ ,

adica o miscare oscilatorie armonica!

P.S. Sper sa-ti fie de ajutor, si s-o intelegi... multa bafta la olimpiada!

multumesc mult pentru rezolvare si pentru urare .dupa olimpiada judeteana voi reveni sigur cu o problema si mai frumoasa decat asta .o seara placuta .

laurentiu · Noiembrie 22, 2008, 11:09:04 PM

Citat din: Adi din Noiembrie 22, 2008, 11:05:53 PM
E minunat ca ai gasit prima solutie simpla si apoi ca vrei sa afli mai mult. Apropo, nu vrei sa faci parte si tu din echipa StiintaAzi.ro? Suntem o echipa de succes si oferim lucruri minunate publicului roman si si tu poti contribui la asta. Pentru inceput, ne poti pune in contact cu liceul tau ca sa devina poate liceu partener al nostru. Apoi poate scrii si tu stiri si faci traduceri. Ce zici?

da ,as fi foarte interesat .mai ales ca sunt pasionat de stiinta si de matematica in special ,nu ca de fizica nu as fi cel putin in aceeasi masura

Adi · Noiembrie 22, 2008, 11:13:44 PM

Minunat! Pentru stiri (totul e sa urmaresti surse de stiri si cand gasesti o stire, sa o citesti, sa o intelegi si sa o rezumi in cuvintele tale pentru publicul roman, facand un sumar care sa rezumele cele 6 intrebari din jurnalism). Pentru articole, e nevoie de articole biografice, de articole ce explica diferite aspecte ale stiintei si ce idei mai ai tu. Ai prieteni ce lucreaza la firme, sau ai prieteni ce au bani si vor sa sustina stiinta? Avem spatii publicitare la preturi accesibile pe site, acceptam donatii, iar toate merg pentru acest site (evenimente, voluntari, etc). Pune-ne in contact cu colegi ai tai, liceul tau si ne ajuti la PR. Sunt foarte multe oportunitati.

Apropo, de la ce liceu esti, ce clasa si cum ai aflat de noi?

Detalii mai multe despre voluntariat in dreapta sus pe siteul principal la StiintaAzi.ro

laurentiu · Noiembrie 22, 2008, 11:21:00 PM

Citat din: Adi din Noiembrie 22, 2008, 11:13:44 PM
Minunat! Pentru stiri (totul e sa urmaresti surse de stiri si cand gasesti o stire, sa o citesti, sa o intelegi si sa o rezumi in cuvintele tale pentru publicul roman, facand un sumar care sa rezumele cele 6 intrebari din jurnalism). Pentru articole, e nevoie de articole biografice, de articole ce explica diferite aspecte ale stiintei si ce idei mai ai tu. Ai prieteni ce lucreaza la firme, sau ai prieteni ce au bani si vor sa sustina stiinta? Avem spatii publicitare la preturi accesibile pe site, acceptam donatii, iar toate merg pentru acest site (evenimente, voluntari, etc). Pune-ne in contact cu colegi ai tai, liceul tau si ne ajuti la PR. Sunt foarte multe oportunitati.

Apropo, de la ce liceu esti, ce clasa si cum ai aflat de noi?

Detalii mai multe despre voluntariat in dreapta sus pe siteul principal la StiintaAzi.ro

Sunt din Pitesti de la CNL "Zinca Golescu " ,in clasa a11a.Am aflat de StiintaAzi.ro de pe celalalt site stiinta.info,asta de la o cautare pe google despre teoria relativitatii,am intrat pe stiinta.info si acolo am gasit un manual intreg cu toate elementele fizicii moderne de la ecuatiile lui maxwell(pe care sincer nu le inteleg,pt ca n-am invatat inca toate elementele de analiza matematica,m-a incurcat si simbolul acela delta intors),pana la mecanica cuantica si teoria stringurilor.erau postate diverse articole acolo pe site si spunea ca articolul complet se gaseste pe acest site .Si asa am gasit site-ul acesta ,apoi m-am inregistrat pe forum.Cred ca e irelevant sa mai spun ca sunt la profil mate-info.

Ştiri:

problema interesanta

laurentiu

Alexandru Rautu

HarapAlb

laurentiu

laurentiu

HarapAlb

Adi

Alexandru Rautu

Adi

laurentiu

Adi

laurentiu

laurentiu

Adi

laurentiu