Welcome, Guest. Please login or register.

Autor Subiect: Formulele lui Frenet sunt recursive  (Citit de 19816 ori)

0 Membri şi 1 Vizitator vizualizează acest subiect.

Offline Abel Cavaşi

  • Experimentat
  • ***
  • Mesaje postate: 882
  • Popularitate: +7/-111
    • Blogul meu
Formulele lui Frenet sunt recursive
« : Decembrie 14, 2014, 06:48:25 a.m. »
Voi vorbi aici, în acest topic, pe înțelesul vostru, despre recursivitatea formulelor lui Frenet și consecințele acesteia. Se pare că a venit vremea să fiu și aici la fel de explicit precum sunt pe blogul meu de matematică, deoarece se pare că nimeni nu înțelege mai nimic dacă vorbesc numai pe înțelesul meu.



Matematicianul francez Jean Frédéric Frenet a descoperit că, în orice moment al mișcării sale prin spațiul tridimensional, un corp (sistem) este însoțit de trei vectori foarte speciali, reciproc perpendiculari, de modul egal cu unitatea (vectori care se numesc, din acest motiv, versori). Cei trei versori sunt tangenta, normala și binormala și se pot defini în mod unic, fără niciun echivoc.

Astfel, tangenta este unicul versor mereu paralel cu traiectoria. Normala este unul dintre infinitatea posibilă de versori perpendiculari pe traiectorie (deci și pe tangentă), dar este singurul versor perpendicular pe traiectorie și, în același timp, coliniar cu derivata tangentei. Iar binormala este un versor care este, de asemenea, perpendicular pe traiectorie (deci și pe tangentă), doar că binormala este perpendiculară și pe normală. Mai exact, binormala este produsul vectorial dintre tangentă și normală.

Mulțimea acestor trei versori se numește „triedrul lui Frenet”, căci Frenet a fost primul matematician care a scos în evidență existența și unicitatea acestor trei versori.

Frenet nu a scos în evidență doar cei trei versori, ci ne-a dat și o legătură remarcabilă între ei, legătură numită „formulele lui Frenet”. În cuvinte, formulele lui Frenet ne spun că atât derivata tangentei, cât și derivata binormalei, sunt ambele coliniare cu normala. Vă dați seama ce interesant?! Ambele derivate sunt coliniare cu unul și același versor, normala!

Haideți să vedem cum arată efectiv aceste formule ale lui Frenet. Avem un set de trei formule, câte una pentru fiecare versor al triedrului lui Frenet, adică pentru derivata fiecăruia:





Derivarea se face în raport cu parametrul canonic, adică în raport cu distanța parcursă de corp de-a lungul traiectoriei, dar, dacă vreți, voi puteți folosi derivata (mai simplă) în raport cu timpul, numai că atunci va trebui să țineți seama de viteza cu care se deplasează corpul pe traiectorie (deci va apărea și viteza în formulele lui Frenet).

Cei doi coeficienți de proporționalitate care apar în formulele lui Frenet se numesc „curbură” și, respectiv, „torsiune”.


Cam în vremea în care Frenet făcea descoperirile sale ce i-au adus nemurirea se năștea un alt mare gigant al matematicii: Jean Gaston Darboux. Printre multele sale realizări, Darboux ne-a mai dăruit un vector important, alături de versorii lui Frenet, vector numit ulterior tocmai „vectorul lui Darboux”. Acesta nu mai este un versor, căci nu mai are modulul egal cu unitatea. Mai exact, vectorul lui Darboux este dat de expresia


Observați dintru început că acest vector al lui Darboux se află în planul format de tangentă și binormală. Asta mai înseamnă că vectorul lui Darboux este perpendicular pe normală. Faptul că vectorul lui Darboux este perpendicular pe normală ne sugerează (cel puțin, mie mi-a sugerat) existența unui nou versor pe care să-l analizăm: versorul vectorului lui Darboux. Notăm acest nou versor cu . Avem, deci


Și, din moment ce versorul vectorului lui Darboux este perpendicular pe normală, nu cumva am putea construi un nou triedru, format cu acest versor și normală și versorul perpendicular atât pe , cât și pe normală? Ei bine, răspunsul este afirmativ!

Și, mai ales, nu numai că putem construi un nou triedru interesant, diferit de triedrul lui Frenet, ci în mișcarea acestui nou triedru putem regăsi, din nou, formulele lui Frenet! Mai exact, dacă vă veți apuca să derivați versorul, veți găsi că derivata lui este coliniară cu un alt versor și, mai mult, derivata normalei este și ea coliniară cu unul și același versor cu care este coliniară derivata lui . Totul se petrece întocmai cum s-a petrecut mai sus cu derivata versorilor și despre care am văzut că au derivatele coliniare cu normala (formulele lui Frenet).

Este o descoperire uriașă! Ar trebui să urlu de bucurie! Aș vrea să mă înțelegeți, măcar până aici.
« Ultima Modificare: Decembrie 14, 2014, 06:50:28 a.m. de Abel Cavaşi »

Offline Electron

  • Veteran
  • *****
  • Mesaje postate: 7885
  • Popularitate: +226/-204
Răspuns: Formulele lui Frenet sunt recursive
« Răspuns #1 : Decembrie 15, 2014, 12:17:28 p.m. »
[...] pare că nimeni nu înțelege mai nimic dacă vorbesc numai pe înțelesul meu.
Ti-a luat cam mult sa intelegi acest lucru. Se pare ca tot la vorba mea ajungi: nu e suficient sa ai idei, trebuie sa fii in stare sa le transmiti celorlalti in mod inteligibil, daca vrei sa porti un dialog relevant cu ei.

Citat
Matematicianul francez Jean Frédéric Frenet a descoperit că, în orice moment al mișcării sale prin spațiul tridimensional, un corp (sistem) este însoțit de trei vectori foarte speciali, reciproc perpendiculari, de modul egal cu unitatea (vectori care se numesc, din acest motiv, versori). Cei trei versori sunt tangenta, normala și binormala și se pot defini în mod unic, fără niciun echivoc.

Ai inteles pana la urma ca miscarea despre care vorbesti este intrinsec legata de sistemul de referinta folosit? Ai inteles ce consecinte are asta asupra buclucasului tried?

Cat despre afirmatia generalista despre posibilitata de a defini triedul lui Frenet pentru orice corp/sistem in miscare, este o eroare destul de mare din partea cuiva care este atat de fudul precum esti tu.

Citat
Astfel, tangenta este unicul versor mereu paralel cu traiectoria.
Nu iti dai seama ce ridicol esti cand vorbesti de traiectorii, dar ignori semnificatia conceptului de sistem de referinta?

Citat
Normala este unul dintre infinitatea posibilă de versori perpendiculari pe traiectorie (deci și pe tangentă), dar este singurul versor perpendicular pe traiectorie și, în același timp, coliniar cu derivata tangentei.
Inca nu ai inteles ca normala asta nu se poate defini in mod unic decat atunci cand tangenta variaza?

Citat
Iar binormala este un versor care este, de asemenea, perpendicular pe traiectorie (deci și pe tangentă), doar că binormala este perpendiculară și pe normală. Mai exact, binormala este produsul vectorial dintre tangentă și normală.
Inca nu ai inteles ca binormala nu se poate defini in mod unic decat atunci cand tangenta variaza?

Citat
Mulțimea acestor trei versori se numește „triedrul lui Frenet”, căci Frenet a fost primul matematician care a scos în evidență existența și unicitatea acestor trei versori.
Vrei sa credem ca si Frenet a facut aceleasi erori pe care le prezinti tu aici?

Citat
Frenet nu a scos în evidență doar cei trei versori, ci ne-a dat și o legătură remarcabilă între ei, legătură numită „formulele lui Frenet”. În cuvinte, formulele lui Frenet ne spun că atât derivata tangentei, cât și derivata binormalei, sunt ambele coliniare cu normala. Vă dați seama ce interesant?! Ambele derivate sunt coliniare cu unul și același versor, normala!
Cand derivata tangentei este nula, e cam greu sa fie paralela cu normala.

Citat
Haideți să vedem cum arată efectiv aceste formule ale lui Frenet. Avem un set de trei formule, câte una pentru fiecare versor al triedrului lui Frenet, adică pentru derivata fiecăruia:





Derivarea se face în raport cu parametrul canonic, adică în raport cu distanța parcursă de corp de-a lungul traiectoriei, dar, dacă vreți, voi puteți folosi derivata (mai simplă) în raport cu timpul, numai că atunci va trebui să țineți seama de viteza cu care se deplasează corpul pe traiectorie (deci va apărea și viteza în formulele lui Frenet).

Cei doi coeficienți de proporționalitate care apar în formulele lui Frenet se numesc „curbură” și, respectiv, „torsiune”.
Tu ca mare matematician ce te dai, nu ai observat ca aceste formule au niste cazuri particulare care iti cam distrug afirmatiile bombastice facute despre existenta si unicitatea triedului lui Frenet?

Citat
Cam în vremea în care Frenet făcea descoperirile sale ce i-au adus nemurirea se năștea un alt mare gigant al matematicii: Jean Gaston Darboux. Printre multele sale realizări, Darboux ne-a mai dăruit un vector important, alături de versorii lui Frenet, vector numit ulterior tocmai „vectorul lui Darboux”. Acesta nu mai este un versor, căci nu mai are modulul egal cu unitatea. Mai exact, vectorul lui Darboux este dat de expresia
Oare si despre acest vector ai aceleasi pretentii ridicole in ce priveste existenta si unicitatea sa?

Citat
Observați dintru început că acest vector al lui Darboux se află în planul format de tangentă și binormală. Asta mai înseamnă că vectorul lui Darboux este perpendicular pe normală. Faptul că vectorul lui Darboux este perpendicular pe normală ne sugerează (cel puțin, mie mi-a sugerat) existența unui nou versor pe care să-l analizăm: versorul vectorului lui Darboux. Notăm acest nou versor cu . Avem, deci
In ce plan determinat in mod unic si fara echivoc se afla acest vector cand derivata tangentei este nula?

Citat
Și, din moment ce versorul vectorului lui Darboux este perpendicular pe normală, nu cumva am putea construi un nou triedru, format cu acest versor și normală și versorul perpendicular atât pe , cât și pe normală? Ei bine, răspunsul este afirmativ!

Și, mai ales, nu numai că putem construi un nou triedru interesant, diferit de triedrul lui Frenet, ci în mișcarea acestui nou triedru putem regăsi, din nou, formulele lui Frenet!
Oare si despre acest tried ai aceleasi pretentii ridicole legate de existenta si unicitatea sa?

Citat
Mai exact, dacă vă veți apuca să derivați versorul, veți găsi că derivata lui este coliniară cu un alt versor și, mai mult, derivata normalei este și ea coliniară cu unul și același versor cu care este coliniară derivata lui . Totul se petrece întocmai cum s-a petrecut mai sus cu derivata versorilor și despre care am văzut că au derivatele coliniare cu normala (formulele lui Frenet).
Aha, deci erorile care le-ai facut despre triedul lui Frenet le reiei si pentru noua ta gaselnita.

Citat
Este o descoperire uriașă! Ar trebui să urlu de bucurie!
Daca nu ai fi fudul ...

Citat
Aș vrea să mă înțelegeți, măcar până aici.
Ar fi mai bine sa intelegi prima data tu ce erori debitezi, si apoi sa te falesti cu "uriasele" tale descoperiri.


e-
Don't believe everything you think.

Offline Abel Cavaşi

  • Experimentat
  • ***
  • Mesaje postate: 882
  • Popularitate: +7/-111
    • Blogul meu
Răspuns: Formulele lui Frenet sunt recursive
« Răspuns #2 : Decembrie 15, 2014, 02:26:56 p.m. »
Inca nu ai inteles ca normala asta nu se poate defini in mod unic decat atunci cand tangenta variaza?
Toată fudulia pe care o manifești se naște din această impresie. Așa că te aștept cu o demonstrație riguroasă pentru faptul că normala nu se poate defini în mod unic decât atunci când tangenta variază.

Stark

  • Vizitator
Răspuns: Formulele lui Frenet sunt recursive
« Răspuns #3 : Decembrie 15, 2014, 02:33:35 p.m. »
[]
« Ultima Modificare: Decembrie 20, 2014, 09:52:17 a.m. de Stark »

Offline Electron

  • Veteran
  • *****
  • Mesaje postate: 7885
  • Popularitate: +226/-204
Răspuns: Formulele lui Frenet sunt recursive
« Răspuns #4 : Decembrie 15, 2014, 03:40:07 p.m. »
Toată fudulia pe care o manifești [...]
Nu consider ca e asa o mare realizare sa iti arat unde gresesti, asta o poate face oricine poseda un minim de logica. Deci, spre deosebire de tine eu nu ma bat in piept cu decoperiri uriase in aceasta discutie, sunt lucruri cat se poate de banale.

Daca ai in continuare nevoie de demonstratia faptului ca in cazul tangentei constante nu se poate defini in mod unic normala ajutorul derivatei tangentei, o pot face, asta fiind tot o banalitate.

Dar, asa cum spune si Stark, tu esti cel care face afirmatii bombastice nejustificate. N-ai decat sa prezinti tu demonstratia ca din cele postate de tine la inceputul discutiei normala e unic determinata si atunci cand tangenta e constanta, daca vrei sa dovedesti cat esti de capabil. Poate chiar ai descoperit ceva urias care depaseste si cele mai elementare rationamente logice. Sa te vedem!


e-
Don't believe everything you think.

Offline Abel Cavaşi

  • Experimentat
  • ***
  • Mesaje postate: 882
  • Popularitate: +7/-111
    • Blogul meu
Răspuns: Formulele lui Frenet sunt recursive
« Răspuns #5 : Decembrie 15, 2014, 04:05:00 p.m. »
Ca de obicei, vorbărie goală din partea amândorura. Când veți fi în stare, mai stăm de vorbă.

Stark

  • Vizitator
Răspuns: Formulele lui Frenet sunt recursive
« Răspuns #6 : Decembrie 15, 2014, 04:15:47 p.m. »
[]
« Ultima Modificare: Decembrie 20, 2014, 09:52:40 a.m. de Stark »

Offline Electron

  • Veteran
  • *****
  • Mesaje postate: 7885
  • Popularitate: +226/-204
Răspuns: Formulele lui Frenet sunt recursive
« Răspuns #7 : Decembrie 15, 2014, 04:43:23 p.m. »
Ca de obicei, vorbărie goală din partea amândorura.
Deci cand altii iti atrag atentia ca emiti greseli in descoperirile tale "uriase" e doar vorbarie goala? Iar tu cand faci afirmatii bombastice fara demonstratii e ok?

Ei bine, nu e ok si de aceea pe acest forum dedicat stiintei esti doar propagator de pseudostiinta, lucru pentru care desigur ca ar trebui sa-ti fie rusine.

Citat
Când veți fi în stare, mai stăm de vorbă.
De ce anume vrei sa fiu in stare? Sa-ti citesc si sa-ti analizez enormitatile? Sa-ti atrag atentia ca gresesti?

Recunosc faptul ca nu sunt in stare sa te laud pentru descoperirile "uriase" prezentate aici, dar eu cel putin imi admit limitarile.


e-

Don't believe everything you think.