Problemă Oscilații amortizate

[Higgs]

Ok, prima mea reacție când am văzut problema asta, a fost că habar nu am să o rezolv, dar apoi m-a lovit puțin inspirația, nu știu însă dacă am gândit bine:

"Pe o masă orizontală se află un corp legat de un resort orizontal (având celălalt capăt fix). Coeficientul de frecare dintre corp și masă este [tex] \mu = 0,1 [/tex] iar masa corpului este [tex] m = 0,2kg [/tex]. Resortul este întins cu o distanță  [tex] d=8,9 cm [/tex] și lăsat liber. Aflați distanța parcursă de corp până la oprire și timpul total ( K=98N/m) . "

Iată cum am gândit eu:

Amplitudinea inițială este egală cu d. Corpul pleacă din această poziție, iar forța elastică efectuează un lucru mecanic motor. După ce corpul trece prin poziția de echilibru, continuă să se deplaseze, să zicem, pe o distanță d1, forța elastică efectuând un lucru mecanic rezistent. Forța de frecare efectuează mereu un lucru mecanic rezistent, pe distanța d1+d2. Am aplicat teorema de variație a energiei cinetice (Îmi este mai ușor mie, personal, să aplic așa)

Am obținut:

[tex] \Delta E_c = 0 = \frac{kd^2}{2}-\frac{kd_1^2}{2} - \mu mg(d_1 + d_2) [/tex]

Făcând calculele, am obținut că:

[tex] d_1 = d -\frac{2 \mu mg }{k} [/tex]

Acum lucrurile sunt asemănătoare: corpul parcurge o distanță d1 până la poziția de echilibru, după care, mai parcurge o distanță d_2, și obțin că:

[tex] d_2 = d_1 - \frac{2 \mu mg }{k}[/tex] , și înlocuind pe d_1 :  [tex] d_2 = d -\frac{4 \mu mg }{k}[/tex]

În cazul general, obțin că:  [tex] d_n = d -\frac{2n \mu mg }{k}[/tex]

Eu caut distanța: d+ d1 + d2 + ... + dn , deci voi însuma ecuațiile obținute:

[tex] d [/tex]

[tex] d_1 = d -\frac{2 \mu mg }{k} [/tex]

[tex] d_2 = d -\frac{4 \mu mg }{k}[/tex]

........................................

[tex] d_n = d -\frac{2n \mu mg }{k}[/tex]

Se obține: [tex]d + d_1 + d_2 + ... + d_n = (n+1)d - \frac{\mu mg}{k}2(1 + 2 + ... + n) = (n+1)d - \frac{\mu mg}{k}(n+1)n[/tex]

Acum, am lucrat corect până aici ? Iar dacă da, cum aflu n-ul ?

[mircea_p]

Cred ca ai amestecat putin notatiile.
Daca se deplaseaza pe distanta d1, de ce apare d in lucrul mecanic al fortei elastice?
Ori e d ori e d1.
Dar sigur ca din cauza frecarii nu se mai duce tot la distanta d in partea cealalta.
Deci deplasarea din pozitia initiala pana la echilibru ar fi d, apoi d1<d in partea cealalta, apoi iarasi d1 pana la echilibru, apoi d2<d1, in partea din care a plecat etc.

Dar chiar e nevoie sa o iei asa, pe bucatele?

[Higgs]

Cred ca ai amestecat putin notatiile.
Daca se deplaseaza pe distanta d1, de ce apare d in lucrul mecanic al fortei elastice?
Ori e d ori e d1.

Gata, am modificat.

Dar chiar e nevoie sa o iei asa, pe bucatele?

Ei bine, nu am găsit un alt mod de a gândi problema.  . Poate nu este cel mai bun, sunt conștient, dar este mai bine decât nimic. Adică, nu m-am mai dat bătut din prima, am mers până aici. . Care este ideea ta de abordare ? Am învățat multe de la tine .

[mircea_p]

Sigur, e bine sa pornesti cumva. Si analizand asa pe bucati cred ca intelegi mai bine fenomenul.

Dar daca folosesti o metoda bazata pe enrgie si lucru mecanic, de ce ai nevoie de stari intermediare, in loc sa iei starea initiala si cea finala?

[Higgs]

Ahhhh bineînțeles. Am omis faptul că lucrul mecanic al forței elastice nu depinde de drum. Astfel, fie x distanța căutată, putem scrie:

[tex] mg\mu x = \frac{kd^2}{2} [/tex] si rezulta x = 1,94 m.

Totuși cum aflu timpul parcurs pâna la oprire? Cred că ne ajută și relația pe care am găsit-o inițial, deoarece ne dă numărul de oscilații efectuate de corp, nu-i așa ?

Știu că amplitudinea, în oscilațiile amortizate scade treptat până la 0. Dar ce se întâmplă cu perioada nu sunt foarte sigur. Dacă perioada ar rămâne consantă atunci timpul până la oprire ar fi n, numărul de oscilații efectuate, înmulțit cu perioada.

[mircea_p]

Perioada nu se schimba la aplicarea unei forte constante.
E similar cu efectul greutatii pentru oscilatii verticale. Se modifica pozitia de echilibru dar nu si perioada.
Aici e mai complicat pentru ca directia fortei constante se modifica la fiecare jumatate de perioada si trebuie sa o iei pe bucati, asa cum ai facut.
Daca ai facut corect calculele, ar trebui sa mearga.
Cred ca ai o eroare la suma aia, 1+2+3+.... n. Nu este n(n+1)/2?

[Higgs]

Perioada nu se schimba la aplicarea unei forte constante.
E similar cu efectul greutatii pentru oscilatii verticale. Se modifica pozitia de echilibru dar nu si perioada.
Aici e mai complicat pentru ca directia fortei constante se modifica la fiecare jumatate de perioada si trebuie sa o iei pe bucati, asa cum ai facut.
Daca ai facut corect calculele, ar trebui sa mearga.
Cred ca ai o eroare la suma aia, 1+2+3+.... n. Nu este n(n+1)/2?

Distanța aflată este bună. Am modificat și formula. . Însă când încerc să rezolv ecuația de gradul al doilea pentru n, obțin delta negativ . Am mai greșit ceva ?

[mircea_p]

Nu am apucat sa rezolv problema. Dar suma aia mi se pare suspecta. M-as astepta sa depinda si de masa.

De fapt formulele tale pentru distanta nu au dimensiuni consistente.
Nu ai pierdut masa pe undeva? mu*g/K nu are dimesiuni de lungime, ca sa-l scazi din d.

Si mai este si problema pozitiei de echilibru. Nu e clar la care pozitie de echilibru te referi.
Adica data de ce conditie?

[Higgs]

Nu am apucat sa rezolv problema. Dar suma aia mi se pare suspecta. M-as astepta sa depinda si de masa.

De fapt formulele tale pentru distanta nu au dimensiuni consistente.
Nu ai pierdut masa pe undeva? mu*g/K nu are dimesiuni de lungime, ca sa-l scazi din d.

Si mai este si problema pozitiei de echilibru. Nu e clar la care pozitie de echilibru te referi.
Adica data de ce conditie?

Am modificat și asta, tot negativ dă

[mircea_p]

Fata de ce pozitie sant masurate distantele alea, x1, x2, etc?
Daca sant fata de pozitia cu forta elastica zero (deformare zero), nu trebuie sa apara fiecare de doua ori in distanta totala parcursa? Cu exceptia ultimului termen, eventual.
Si d nu "intra" si el in suma?

[Higgs]

Fata de ce pozitie sant masurate distantele alea, x1, x2, etc?

Sunt măsurate față de poziția de echilibru.

Daca sant fata de pozitia cu forta elastica zero (deformare zero), nu trebuie sa apara fiecare de doua ori in distanta totala parcursa? Cu exceptia ultimului termen, eventual.

De ce? Corpul parcurge o distanță din poziția extremă superioară până la poziția de echilibru, și o altă distanță din poziția inferioară până la cea de echilibru. Adică, în timpul oscilațiilor corpul nu parcurge niciodată aceeași distanță de două ori, amplitudinea oscilațiilor modificându-se la fiecare jumătate de perioadă, nu-i așa  ?

Si d nu "intra" si el in suma?

L-am considerat. De aceea am (n+1)d. Am omis însă să îl scriu în sumă. Am modificat acum.

[mircea_p]

OK, sa notam pozitia de echilibru cu O. Asta e pozitia in care forta elastica e zero.
Initial se afla la distanta d fata de O.
Cand ii dai drumul, va parcurge deci distanata d pana in O. Aici are cvea viteza si  depaseste punctul O comprimand resortul cu x1. Deci va fi la x1 fata de O pe partea cealalta, cu viteza zero, intr-un pucnt Q (sa zicem). Apoi se intoarce si ajunge iar in O. Deci nu a parcura o distanta x1 de doua ori? Din O in Q si din Q in O.
Deci pana acum distanta parcursa ar fi d+2x1.

E adevarat ca la sfarsitul miscarii se poate opri undeva la o distanta fata de O si deci ultima bucata poate sa nu fie 2x_n.
Dar in problema asta datele sant alese ca sa efectueze destul de multe oscilatii pana se opreste.

[Higgs]

OK, sa notam pozitia de echilibru cu O. Asta e pozitia in care forta elastica e zero.
Initial se afla la distanta d fata de O.
Cand ii dai drumul, va parcurge deci distanata d pana in O. Aici are cvea viteza si  depaseste punctul O comprimand resortul cu x1. Deci va fi la x1 fata de O pe partea cealalta, cu viteza zero, intr-un pucnt Q (sa zicem). Apoi se intoarce si ajunge iar in O. Deci nu a parcura o distanta x1 de doua ori? Din O in Q si din Q in O.
Deci pana acum distanta parcursa ar fi d+2x1.

E adevarat ca la sfarsitul miscarii se poate opri undeva la o distanta fata de O si deci ultima bucata poate sa nu fie 2x_n.
Dar in problema asta datele sant alese ca sa efectueze destul de multe oscilatii pana se opreste.

Înțeleg acum. deci distanța totală parcursă este: [tex] d + 2(d_1 + d_2 +....+d_n) [/tex] ? . Din nou, am fost neatent, și am omis patea asta.

[mircea_p]

Eu asa as zice. Poate doar cu exceptia ultimului termen.

[Higgs]

Eu asa as zice. Poate doar cu exceptia ultimului termen.

Ok, deci am mai cugetat puțin. Am "generalizat" puțin. Amplitudinea se schimbă pe parcursul oscilațiilor amortizate. Să zicem că resortul este la un moment dat alungit cu [tex] x_1 [/tex]. Astfel, parcurge distanta [tex] x_1 [/tex] până la poziția de echilibru, și se comprimă cu o distanță [tex] x_2 [/tex], mai mică în modul decât [tex] x_1 [/tex].

Deci, făcând calculele, rezultă că, [tex] x_1 - x_2 = 2\frac{\mu m g}{k} [/tex].

Rezultă că de fiecare dată, amplitudinea scade cu  [tex] 2\frac{\mu m g}{k} [/tex], iar pentru a nota într-un mod convenabil, scade cu [tex] 2a [/tex].

De aici nu știu să continui..