Ştiri:

Vă rugăm să citiţi Regulamentul de utilizare a forumului Scientia în secţiunea intitulată "Regulamentul de utilizare a forumului. CITEŞTE-L!".

Main Menu

Rostogolire cu lunecare

Creat de Kn1ves, Februarie 20, 2013, 08:29:13 PM

« precedentul - următorul »

0 Membri şi 1 Vizitator vizualizează acest subiect.

Kn1ves

 Salut!


Imi poate spune cineva va rog daca imi scapa mie ceva la problema asta? "O sfera de masa m si raza R incepe sa se miste pe un plan orizontal astfel incat initial aluneca cu viteza v0 fara sa se rostogoleasca. Coeficientul de frecare la alunecare dintre sfera si plan este [tex]\mu[/tex] " si se cere:

1. cat timp trece pana cand bila incepe sa se rostogoleasca fara lunecare?
2. care e viteza bilei in acel moment?
3. ce distanta a parcurs bila in acel moment?

Bun, deci primele 2 intrebari le-am facut bine, problema e la intrebarea a 3-a. Eu am facut-o intr-un fel, autorul o face altfel, rezultatele sunt diferite, iar eu nu inteleg unde gresesc. Eu m-am gandit asa:

Pana in momentul in care bila incepe sa se rostogoleasca fara lunecare, forta de frecare este de forma [tex]\mu*m*g[/tex] si are 2 roluri: incetineste miscarea de translatie si o accelereaza pe cea de rotatie, iar in momentul acela [tex]v=\omega*R[/tex]. Am facut-o cu variatia energiei cinetice in felul urmator: [tex]-\mu*m*g*d=\frac{1}{2}(m*v^2+I*\omega^2-m*v_0^2)[/tex], unde d este distanta parcursa, v este viteza in momentul in care incepe rostogolirea pura, [tex]\omega[/tex] este viteza unghiulara din acel moment, iar I este momentul de inertie a bilei care este [tex]\frac{2}{5}mR^2[/tex]. Dupa cum am spus mai devreme, [tex]v=\omega*R[/tex], iar folosind ecuatia asta mi-a dat alt raspuns fata de autor care a folosit legea miscarii [tex]x=x_0+v_0*t+\frac{a}{2}t^2[/tex] pentru rezolvare. Rezultatul meu este [tex]d=\frac{v_0^2}{7*\mu*g}[/tex], iar autorul are [tex]d=\frac{12*v_0^2}{49*\mu*g}[/tex] Imi poate spune va rog cineva unde gresesc? Multumesc.

mircea_p

Lucrul mecanic al fortei de frecare in cazul asta nu este dat de formula folosita acolo.
Problema este in "d".
Lucrul mecanic depinde de distanta pe care cele doua corpuri aluneca unul fata de altul.
Aceasta nu este egala cu distanta pe care s-a deplasat centrul de masa.
Considera cazurile extreme, pentru aceeasi deplasare a centrului de masa, sa zice Xcm:
alunecare fara rostogolire: d=Xcm
rostogolire fara alunecare: d=0 (forta de frecare nu efectueaza lucru mecanic, punctul de contact nu are deplasare relativa).

In cazul rostogolirii cu alunecare (ca in problema de fata), d este undeva intre zero si Xcm.

Este mai direct sa folosesti ecuatiile de miscare. Dar daca folosesti distanta care trebuie in lucrul mecanic trebuie sa mearga si cu energia.

Orakle

Da intradevar cum este specificat si in mesajul anterior in prima parte nu este o miscare de translatie pura in care sa poti considera ca energia pierduta prin frecare este data de formula pe care ai folosit-o.
Si tu ai sesizat: "incetineste miscarea de translatie si o accelereaza pe cea de rotatie" deci pe portiunea respectiva avem o translatie si o rotatie.Rotatia face ca bila sa avanseze fara ca sa se piarda energie prin frecare.

Asa din condei fara sa pun pixul pe ele imi vine sa cred ca avansul obtinut de bila este egal exact cu avansul pe care l-ar fi obtinut corpul daca aceasta cantitate de energie ar fi fost folosita  pentru a mai continua o miscare pura de translatie  cu frecare.

In concluzie parerea mea (dar nu te baza pe credinta ci pune pixul si calculeaza sa vezi daca este asa) este ca ai putea gasi d-ul corect din formula bilantului energetic din care sa excluzi termenul datorat rotatiei.Sa consideri intre ghilimele ca si aceasta cantitate s-ar fi pierdut prin frecare.Normal ca o sa obtii un parcurs al  bilei  mai lung.
Si posibil sa fie si corect ca in definitiv acuma formula cu care o sa lucrezi tu (Galilei) si formula pe care il foloseste autorul(legea miscarii)  sunt doua formule echivalente.

Kn1ves

Da asa este mersi pentru raspuns.

@mezei am exclus energia cinetica de rotatie si am obtinut exact raspunsul care trebuie. Stiam ca forta de frecare nu face lucru mecanic da n-am facut conexiunea in problema. Pe de o parte am inteles ca rotatia nu trebuie inclusa... dar pe de alta parte, lucrul mecanic al fortelor nu este egal cu variatia energiei cinetice? Iar in energia cinetica a bilei nu se include si energia de rotatie? Sunt putin confuz la partea asta.

Orakle

#4
Citat din: Kn1ves din Februarie 21, 2013, 10:44:39 PM
Da asa este mersi pentru raspuns.

@mezei am exclus energia cinetica de rotatie si am obtinut exact raspunsul care trebuie. Stiam ca forta de frecare nu face lucru mecanic da n-am facut conexiunea in problema. Pe de o parte am inteles ca rotatia nu trebuie inclusa... dar pe de alta parte, lucrul mecanic al fortelor nu este egal cu variatia energiei cinetice? Iar in energia cinetica a bilei nu se include si energia de rotatie? Sunt putin confuz la partea asta.

Cred ca am reusit sa te incurc mai mult decat sa te descurc :)

1-Nu! Rotatia am exclus-o ca si un arificiu de calcul, (citeste cu atentie explicatiile de mai sus).In definitiv eu am refacut bilantul energetic in sistemul CM in acest caz nu faci diferenta intre energia pierduta sau energia care se transforma in energie de rotatie
2-In problema asta energia pierduta prin frecare nu este de tipul cu care esti tu obisnut sa lucrezi deoarece peste miscarea de translatie se suprapune o miscare de rotatie.Parcursul fiind mai lung. In bilantul energetic scris de tine "d" nu este deplasarea "totala" deoarece nu contine deplasarea datorata rostogolirii.

Parerea mea ca se poate rezolva mult mai logic daca separi cele doua miscari:

1-deplasare cu frecare (fara rostogolire)
Valoarea lui "d" pe care l-am obtine din formula:
[tex]-\mu*m*g*d=\frac{1}{2}(m*v^2+I*\omega^2-m*v_0^2)[/tex] este distanta necesara unui corp care se deplaseaza cu frecare (fara rostogolire)  sa ajunga de la energia  [tex]\frac{1}{2}(m*v_0^2)[/tex] la energia:[tex]\frac{1}{2}(m*v^2+I*\omega^2)[/tex]
Ai obtinut valoarea:[tex]d=\frac{v_0^2}{7*\mu*g}[/tex]

2-rostogolire (fara frecare)
In timpul in care corpul s-a miscat cu frecare el s-a si rostogolit cu o viteza unghiulara medie (0+omega)/2 rezultand o deplasare suplimentara fara frecare.
Ai zis ca ai timpul calculat calculeaza si aceasta deplasare si banuiesc ca suma celor doua o sa dea tot rezultatul corect

Kn1ves

Mersi i-am dat de cap pana la urma. Ar mai fi totusi ceva, dar nu are neaparat legatura cu problema asta.


Daca de exemplu un cilindru le rostogoleste FARA lunecare pe un plan orizontal, atunci se stie ca [tex]v=\omega*R[/tex]. Cu toate astea, se poate considera ca in miscarea sa, cilindrul se roteste fata da punctul care e in contact cu pamantul si nu fata de centrul sau. Adica punctul in contact cu pamantul este un centru instantaneu de rotatie. Si intrebarea mea este: Daca cilindrul se roteste fata de acel punct, atunci cand se scrie ecuatia a 2-a a dinamicii pentru rotatie, de ce se iau momente fata de centru cilindrului si nu fata de acel punct in contact cu solul??

Orakle

#6
Citat din: Kn1ves din Februarie 25, 2013, 05:53:24 PM
Cu toate astea, se poate considera ca in miscarea sa, cilindrul se roteste fata da punctul care e in contact cu pamantul si nu fata de centrul sau.

Aici este greseala.Axa respectiva nu este o axa de rotatie pura


mircea_p

Citat din: Kn1ves din Februarie 25, 2013, 05:53:24 PM
Daca cilindrul se roteste fata de acel punct, atunci cand se scrie ecuatia a 2-a a dinamicii pentru rotatie, de ce se iau momente fata de centru cilindrului si nu fata de acel punct in contact cu solul??
Faptul ca se roteste fata de acel punct (punctul de contact) nu exclude faptul ca se roteste fata de centrul de masa. Sau fata de orice alt punct.
Descompunerea miscarii in translatie si rotatie nu este unica ci se poate face intr-o infinitate de moduri. E o teorema in mecanica rigidului.

Nu e vorba ca se roteste in mod special fata de acel punct.
Centrul de masa are avantajul ca anumite cantitati (energie cinetica, moment cinetic de rotatie) se pot descompune in termeni de translatie pura si rotatie pura.
Dar nu e obligatoriu sa se considere rotatia in raport cu CM.

Ai cumva o problema anume in vedere?

Kn1ves

#8
De exemplu in urmatoarea problema: "O bara omogena si uniforma de greutate G se sprijina cu un capat pe podea fara frecare, formand un unghi [tex]\alpha[/tex] cu podeaua. Aflati pentru momentul in care bara incepe sa cada pornind din repaus:

a) forta exercitata de bara asupra podelei
b) acceleratia CM
c) acceleratia unghiulara
d) aflati traiectoria capatului superior al barei
e) viteza unghiulara a barei in functie de unghiul [tex]\theta[/tex] format cu podeaua."

Daca iau momentele fata de punctul in care bara atinge pamantul (fara de acest punct momentul de inertie este [tex]\frac{1}{3}mL^2[/tex]), imi da ca acceleratia unghiulara a ei este [tex]\epsilon=\frac{3g}{2l}\cos\alpha[/tex], iar la rezolvare se iau momente fata de centrul barei, iar valoarea acceleratiei unghiulare dupa ce sa calculeaza e cu totul alta. Adica inteleg ca centrul de masa al barei nu se misca pe orizontala pentru ca nu exista forte orizontale, dar asa nici capatul de jos al barei nu se misca pe verticala, iar intrebarea mea este de ce punctul de contact nu reprezinta centru de rotatie?

mircea_p

Citat din: Kn1ves din Februarie 26, 2013, 11:17:03 PM
Adica inteleg ca centrul de masa al barei nu se misca pe orizontala pentru ca nu exista forte orizontale, dar asa nici capatul de jos al barei nu se misca pe verticala, iar intrebarea mea este de ce punctul de contact nu reprezinta centru de rotatie?
Centrul de masa are o semnificatie speciala, separata de faptul ca e sau nu centru de rotatie.

Termenul "centrul de rotatie" sau mai precis "centrul instantaneu de rotatie" are un sens specific in mecanica miscarii plan-paralele. Este punctul cu viteza de translatie zero.
Dar asta nu inseamna ca nu exista rotatie in jurul altor puncte.
Daca consideram rotatia in jurul unei axe care nu trece prin centrul de rotatie miscarea are si o componenta de translatie.

De exemplu, in cazul rostogolirii fara alunecare, punctul de contact este centrul de rotatie.
Centrul de masa nu este centru instantaneu de rotatie.

Dar cand scriem legea doua a lui Newton, rezultanta fortelor externe este egala cu masa inmultita cu acceleratia centrului de masa. De aia se prefera centrul de masa.
Nu putem scrie acelasi lucru, in general, pentru acceleratia centrului de rotatie.

Asta nu inseamna ca rezolvarea ta e gresita. Ci doar incerca sa explice de ce ar putea fi preferat centrul de masa. Poti indica unde ai vazut rezolvarea cealalta?


Kn1ves

#10
In primul rand, dupa parerea ta, e ceva in neregule cu modul in care am aflat eu acceleratia unghiulara?

Rezolvarea este in cartea "Probleme de fizica pentru licee, bacalaureat si admitere in facultati - Mecanica - Hristev", problema 1.7.47. Dupa cum am spus, eu am calculat momentele fata de punctul de contact cu solul si am obtinut cat am zis mai sus. Autorul face in felul urmator:


Ia in considerare momente fata de CM al tijei, care se afla la o distanta [tex]\frac{l}{2}\sin\alpha[/tex] deasupra solului. Evident, momentul fata de CM ar veni: [tex]N\frac{l}{2}\cos\alpha=I\epsilon=\frac{1}{12}ml^2\epsilon[/tex]. Dupa ce calculeaza acceleratia unghiulara, autorul obtine [tex]\epsilon=\frac{6g\cos\alpha}{l(1+3\cos^2\alpha)}[/tex], fata de cat am obtinut eu cand am luat momente fata de punctul de contact, si anume [tex]\eps=\frac{3g}{2l}\cos\alpha[/tex]. Chiar nu inteleg ce este gresit, si de ce autorul considera ca bara se roteste fata de CM.