Welcome, Guest. Please login or register.

Autor Subiect: Îmblânzirea infinitului. Povestea matematicii  (Citit de 21833 ori)

0 Membri şi 1 Vizitator vizualizează acest subiect.

Madalin

  • Vizitator
Îmblânzirea infinitului. Povestea matematicii
« : Februarie 08, 2012, 04:41:17 p.m. »
Începând cu primele simboluri folosite în preistorie pentru numere şi încheind cu problemele subtile ale Epocii de Aur a Matematicii pe care o trăim azi, Ian Stewart spune povestea celei mai abstracte discipline – care, la fiecare din momentele ei de răscruce, se dovedeşte a avea cea mai profundă influenţă asupra concretului vieţii noastre. Cifra zero, numerele imaginare sau geometriile care contrazic intuiţia comună ne sunt indispensabile dacă vrem să înţelegem lumea în care trăim. Şi apoi e frumuseţea matematicii, unitatea care se află în spatele unor forme aparent diferite, aventura pură trăită de personajele care populează Îmblânzirea infinitului.

Dacă nu ţi-a plăcut niciodată matematica, sunt şanse mari să îţi schimbi opinia după ce vei parcurge această carte.


Offline 07Marius

  • Experimentat
  • ***
  • Mesaje postate: 605
  • Popularitate: +24/-37
Răspuns: Îmblânzirea infinitului. Povestea matematicii
« Răspuns #1 : Iulie 17, 2012, 01:11:29 a.m. »
Am vazut un documentar scos de BBC
http://www.bbc.co.uk/programmes/b00qszch

(BBC Four: The Story of Maths - To Infinity and Beyond)

care explica pe intelesul tuturor conceptul de infinit si paradoxurile care vin cu acest concept.
Clasific materialul respectiv(documentar) ca fiind excelent.

Ca sa trezesc curiozitatea celor nehotariti - se demonstreaza elegant ca in cazul unui univers infinit
exista o infinitate de planete Pamant, cu oameni exact ca si pe pamantul pe care-l cunoasteti, ba mai mult cu
copii exacte ale dvs. plus multe alte chestiuni greu de imaginat, chiar si in cele mai bune carti SF.
Va doresc sa vizionati documentarul respectiv.
The imagination is the prisoner of our mind.

Offline HarapAlb

  • Senior
  • ****
  • Mesaje postate: 1574
  • Popularitate: +67/-17
Răspuns: Îmblânzirea infinitului. Povestea matematicii
« Răspuns #2 : Iulie 17, 2012, 11:05:33 p.m. »
Mai era un documentar destul de bun pe tema asta  BBC Two - Dangerous knowledge.

Offline Sieglind

  • Experimentat
  • ***
  • Mesaje postate: 995
  • Popularitate: +153/-25
Răspuns: Îmblânzirea infinitului. Povestea matematicii
« Răspuns #3 : Iulie 18, 2012, 12:01:33 a.m. »
Mario Livio:

... În această carte încerc cu modestie să lămuresc unele aspecte ale esenţei matematicii, precum şi natura relaţiei dintre matematică şi lumea pe care o observăm. Desigur, cartea nu se vrea o istorie cuprinzătoare a matematicii, ci urmăreşte cronologic evoluţia unor concepte importante pentru înţelegerea rolului matematicii în imaginea pe care ne-o facem despre cosmos.



http://www.humanitas.ro/files/media/este-dumnezeu-matematician.pdf

Şi ca să nu vă las în suspans cu întrebarea  :D, iată şi încheierea:

"Matematica este creată sau descoperită"? e o întrebare greşit pusă fiindcă presupune că răspunsul trebuie să fie ori una, ori alta, şi că cele două posibilităţi se exclud reciproc. Eu aş sugera că matematica e în parte creată şi în parte descoperită. Oamenii inventează de regulă concepte matematice şi descoperă relaţiile dintre ele. (...)


Dacă puteţi şi aveţi de unde, citiţi-o ... e minunată :)

P.S. Între multe altele, am aflat cine a recurs cel dintâi la un "experiment mintal" (Gedankenexperiment) drept instrument de cercetare [Metoda].

P.P.S. Unora, altora: nu vă luaţi după titlu! Îi place şi lui să "se joace" din cuvinte  :P
« Ultima Modificare: Iulie 18, 2012, 12:53:01 a.m. de Sieglind »

Offline 07Marius

  • Experimentat
  • ***
  • Mesaje postate: 605
  • Popularitate: +24/-37
Răspuns: Îmblânzirea infinitului. Povestea matematicii
« Răspuns #4 : Iulie 18, 2012, 10:32:08 a.m. »
Mai era un documentar destul de bun pe tema asta  BBC Two - Dangerous knowledge.

L-am vazut si pe acesta, f. interesant de altfel. Kant, János Bolyai etc.
The imagination is the prisoner of our mind.

Offline 07Marius

  • Experimentat
  • ***
  • Mesaje postate: 605
  • Popularitate: +24/-37
Răspuns: Îmblânzirea infinitului. Povestea matematicii
« Răspuns #5 : Iulie 18, 2012, 10:48:40 a.m. »
"Matematica este creată sau descoperită"? e o întrebare greşit pusă fiindcă presupune că răspunsul trebuie să fie ori una, ori alta, şi că cele două posibilităţi se exclud reciproc. Eu aş sugera că matematica e în parte creată şi în parte descoperită. Oamenii inventează de regulă concepte matematice şi descoperă relaţiile dintre ele. (...)

hmmm... nu stiu daca se exclud. Cert este ca in lumea reala se pot descoperi niste rapoarte, relatii intre obiecte si fenomene, care sunt exprimate prin matematica. Din punctul asta de vedere ai putea spune ca este un limbaj (ca si lb. engleza insa mult mai universal). Exprimi ceva, o observatie... care poate fi asociata unor fenomene reale, in acest fel descriind fenomenul, obiectul, relatia lui cu alte obiecte, fenomene etc.

Aceasta asociere, intre obiecte, fenomene reale si observatie, poate conduce la gasirea unui model matematic care sa-ti permita sa faci predictii.

Sa ne imaginam acum un extraterestru care asociaza aceste observatii cu sunete emise de un organ special al lui. Matematica lui ar fi f. ciudata, adevarate simfonii. E o imagine pitoreasca? poate...

Mult mai real insa si mai aproape de noi sunt oameni diferiti cu abilitati speciale:


... este un altfel de matematica, in culori... Culmea este ca ca si da rezultate exceptionale!

Functiile matematice, baza zece etc. sunt concepte abstracte (cuvinte) ca si in orice limba straina. Insa le asociem unor observatii reale si de aici apar legile matematicii, fizicii etc.
Matematica noastra nu trebuie sa fie compatibila cu matematica unor specii extraterestre. Predictiile insa, ar trebui sa fie la fel... daca am folosi acelasi sistem de masuri. Putin probabil, insa...
The imagination is the prisoner of our mind.

Offline Sieglind

  • Experimentat
  • ***
  • Mesaje postate: 995
  • Popularitate: +153/-25
Răspuns: Îmblânzirea infinitului. Povestea matematicii
« Răspuns #6 : Iulie 18, 2012, 01:40:08 p.m. »
Limbajul matematicii... hmm

La fel de „universal” precum cel al muzicii. Nu întâmplător „discul de aur” (de fapt, dintr-un aliaj de Cu şi Au) cu care au fost dotate sondele Voyager 1 şi 2 poartă înregistrări cuprinzând nu mai puţin de 90 de minute de muzică! pe lângă cele 118 fotografii de pe Pământ, zgomote ("Sunete", între care „Muzica sferelor”), saluturi în 55 de limbi (începând cu akkadiana) şi altele. Cu toţii am aflat că aceste imagini şi sunete au fost selectate de Carl Sagan, după părerea mea cel mai dăruit Cosmosului şi Comunicării dintre toţi oamenii de ştiinţă (chiar dacă imaginea lui de Mesager pare să fi rămas mai adânc întipărită în conştiinţa noastră decât cea de cercetător). Dar cineva trebuie să şi COMUNICE pentru ca alţii să poată înţelege sau măcar să încerce să se apropie de CUNOAŞTEREA înfăptuită de ei.

Cam asta face şi Mario Livio în cartea lui. Una dintre figuri (nu o pot reproduce, dar e sugestivă imaginea lui Frank Drake despre „mathematical definitions” de pe Golden Record http://voyager.jpl.nasa.gov/spacecraft/images/image003.gif) reproduce modul în care pitagoricienii materializau magia pe care ei o descopereau în legăturile dintre numere, cer şi muzică, prin modul în care reprezentau numerele cu ajutorul pietricelelor sau al punctelor. De pildă, aranjau numerele naturale 1, 2, 3, 4... în ansambluri care să formeze triunghiuri; primele patru (dispuse într-un triunghi cu 10 pietricele) formau un tetraktys (adică pătrar sau „cuaternitate”), care simboliza desăvârşirea, întreaga natură a Universului, dar şi însuşirile care o presupun.   

Pornind de la tetraktys, pitagoricienii au mai descoperit raporturile matematice care stau la baza armoniei gamei muzicale (căci împărţirea unei corzi la întregi consecutivi produce armonice şi intervale), de aici şi concluzia lor că în sine, cosmosul („frumoasa ordine a lucurilor”) este guvernat de armonie. „Totul e potrivit după număr”, dictonul lui Pitagora, ajunge astăzi, aparent redus, la „Doar 6 numere” – mă refer la titlul cărţii lui Lee Smolin. Dar acestea sunt esenţiale pentru ca noi să EXISTĂM şi să aşteptăm, cu ochii către cer, răspunsuri de dincolo de el.

Limbajul matematic nu îmi va fi niciodată accesibil, din păcate. Dar îmi place să citesc despre el, aşa cum mi-l explică un astrofizician ca Mario Livio şi, mai ales, să ascult muzică.     

http://re-lab.net/welcome/
http://voyager.jpl.nasa.gov/spacecraft/goldenrec.html

Offline 07Marius

  • Experimentat
  • ***
  • Mesaje postate: 605
  • Popularitate: +24/-37
Răspuns: Îmblânzirea infinitului. Povestea matematicii
« Răspuns #7 : Iulie 19, 2012, 12:21:29 a.m. »
Limbajul matematic nu îmi va fi niciodată accesibil, din păcate. Dar îmi place să citesc despre el, aşa cum mi-l explică un astrofizician ca Mario Livio şi, mai ales, să ascult muzică.     

Sunt multe feluri de a accesa informatie. Internetul si IT-ul insa a revolutionat si acest domeniu, al matematicii.
O poti privi (seria Fibbonaci) sau in piramide (PI si PHI-golden ratio), la fel incaperile interioare din piramida, arhitectura noua si veche, toate sunt cladite pe valori fundamentale din matematica si natura.
Mai sunt si fractalii, un domeniu uluitor care combina matematica si natura. De fapt, matematica "exista" in natura, e ca si un cod ADN.

Aici, alt exemplu de matematica "vizualizata" prin sunete...
http://www.ted.com/talks/lang/en/evan_grant_cymatics.html
The imagination is the prisoner of our mind.

Offline Sieglind

  • Experimentat
  • ***
  • Mesaje postate: 995
  • Popularitate: +153/-25
Răspuns: Îmblânzirea infinitului. Povestea matematicii
« Răspuns #8 : Iulie 19, 2012, 02:45:03 a.m. »

Sunt multe feluri de a accesa informatie. Internetul si IT-ul insa a revolutionat si acest domeniu, al matematicii.
O poti privi (seria Fibbonaci) sau in piramide (PI si PHI-golden ratio), la fel incaperile interioare din piramida, arhitectura noua si veche, toate sunt cladite pe valori fundamentale din matematica si natura.
Mai sunt si fractalii, un domeniu uluitor care combina matematica si natura. De fapt, matematica "exista" in natura, e ca si un cod ADN.


Da, fractalii ... şi muzica  :)



!

Şi cum este "povestită" această legătură de Mandelbrot (după întâlnirea cu György Ligeti)

http://www.edge.org/3rd_culture/obrist10/obrist10_index.html

Offline 07Marius

  • Experimentat
  • ***
  • Mesaje postate: 605
  • Popularitate: +24/-37
Răspuns: Îmblânzirea infinitului. Povestea matematicii
« Răspuns #9 : Iulie 23, 2012, 10:54:02 p.m. »
Privind acest clip cu fractali Julia set (http://www.fractalwisdom.com/science-of-chaos/the-mathematics-of-chaos/) mi-am amintit o veche "idee-problema" la care m-am gandit mai demult. Cat de complexe par aceste structuri si totusi la baza au o ecuatie simpla care insa mereu este reiterata.
Cred ca pina la urma cele mai complexe fenomene fizice pot fi reduse la un model fractal care da nastere la complexitatea structurilor  - inclusiv a particulelor elementare cercetate  in ziua de azi.
Oricum, legatura dintre fenomenele naturale, biologice si fractali sunt frumos expuse de Jim Al-Khalili in documentarul
The secret life of chaos (http://www.bbc.co.uk/programmes/b00pv1c3).
Documentarul poate fi vazut si pe youtube:


Oricum, intuitia mea imi spune ca pina la urma fractalii sunt "caramida" de baza a oricaror constructii naturale si cred ca pina la urma se va dovedi aceasta legatura, fiind o proprietate intrinseca a universului mic si mare.
Am mai vazut printr-un alt documentar (nu-mi amintesc acum numele) o teorie matematica a fizicii/universului a carei grafica te duce cu gandul la frumoasele structuri fractale. Clar ca exista o conexiune "in adancuri"...Cautand pe net am gasit link-ul de mai jos despre teoria lui Garrett Lisi: http://www.ted.com/talks/garrett_lisi_on_his_theory_of_everything.html
The imagination is the prisoner of our mind.

Offline Eugen7

  • Experimentat
  • ***
  • Mesaje postate: 512
  • Popularitate: +5/-39
Răspuns: Îmblânzirea infinitului. Povestea matematicii
« Răspuns #10 : Iulie 24, 2012, 01:06:33 p.m. »
Începând cu primele simboluri folosite în preistorie pentru numere şi încheind cu problemele subtile ale Epocii de Aur a Matematicii pe care o trăim azi, Ian Stewart spune povestea celei mai abstracte discipline – care, la fiecare din momentele ei de răscruce, se dovedeşte a avea cea mai profundă influenţă asupra concretului vieţii noastre. Cifra zero, numerele imaginare sau geometriile care contrazic intuiţia comună ne sunt indispensabile dacă vrem să înţelegem lumea în care trăim. Şi apoi e frumuseţea matematicii, unitatea care se află în spatele unor forme aparent diferite, aventura pură trăită de personajele care populează Îmblânzirea infinitului.

Dacă nu ţi-a plăcut niciodată matematica, sunt şanse mari să îţi schimbi opinia după ce vei parcurge această carte.
In asentimetnul asertiunii de mai sus, doresc sa adaug urmatoarele lucrari pe care le consider de referinta pentru acest subiect:

BARROW John, Cartea infinitului. Scurta introducere în nemărginit, etern şi nesfârșit. Bucureşti: Humanitas, 2008.
BARROW John, Mic tratat despre nimic. Bucureşti: Tehnică, 2006.
LIVIO Mario, Ecuația care n-a putut fi rezolvata. Matematicieni de geniu rezolva limbajul simetriilor, trad. Mihnea Moroianu, Bucureşti: Humanitas, 2008.
LIVIO Mario, Este Dumnezeu matematician?, trad.  Anca Florescu-Mitchell, Bucureşti: Humanitas, 2012.
LIVIO Mario, Secțiunea de aur. Povestea lui phi, cel mai uimitor număr, trad. Mihnea Moroianu, Bucureşti: Humanitas, 2012.
LOCKWOOD Michael, Labirintul timpului, Bucureşti: Tehnică, 2008.
STEWART Ian, De ce frumuseţea este adevărul. O istorie a simetriei, trad. Irinel Caprini . Bucureşti: Humanitas, 2010.
STEWART Ian, Numerele naturii. Ireala realitate a imaginaţiei matematice, trad. Gheorghe Stratan. Bucureşti: Humanitas, 2011.
SEIFE Charles, Zero. Biografia unei idei periculoase, trad. Emilia Eremia. Bucureşti: Humanitas, 2008.
HART-DAVIS Adam, The Book of Time: The Secrets of Time, How It Works and How We Measure It, London: Mitchell Beazley, 2011.
"Stiu ca nu stiu nimic dar stiu ca pot sti mai multe decat stiu" (Socrate)

Offline 07Marius

  • Experimentat
  • ***
  • Mesaje postate: 605
  • Popularitate: +24/-37
Răspuns: Îmblânzirea infinitului. Povestea matematicii
« Răspuns #11 : Iulie 24, 2012, 01:56:35 p.m. »
Citat
In asentimetnul asertiunii de mai sus, doresc sa adaug urmatoarele lucrari pe care le consider de referinta pentru acest subiect:

BARROW John, Cartea infinitului. Scurta introducere în nemărginit, etern şi nesfârșit. Bucureşti: Humanitas, 2008.
BARROW John, Mic tratat despre nimic. Bucureşti: Tehnică, 2006.
LIVIO Mario, Ecuația care n-a putut fi rezolvata. Matematicieni de geniu rezolva limbajul simetriilor, trad. Mihnea Moroianu, Bucureşti: Humanitas, 2008.
LIVIO Mario, Este Dumnezeu matematician?, trad.  Anca Florescu-Mitchell, Bucureşti: Humanitas, 2012.
LIVIO Mario, Secțiunea de aur. Povestea lui phi, cel mai uimitor număr, trad. Mihnea Moroianu, Bucureşti: Humanitas, 2012.
LOCKWOOD Michael, Labirintul timpului, Bucureşti: Tehnică, 2008.
STEWART Ian, De ce frumuseţea este adevărul. O istorie a simetriei, trad. Irinel Caprini . Bucureşti: Humanitas, 2010.
STEWART Ian, Numerele naturii. Ireala realitate a imaginaţiei matematice, trad. Gheorghe Stratan. Bucureşti: Humanitas, 2011.
SEIFE Charles, Zero. Biografia unei idei periculoase, trad. Emilia Eremia. Bucureşti: Humanitas, 2008.
HART-DAVIS Adam, The Book of Time: The Secrets of Time, How It Works and How We Measure It, London: Mitchell Beazley, 2011.


Cu siguranta dupa lecturarea unor carti scrise de oameni cu pregatire, iti adaugi elemente in plus la spectrul perceptiei lumii inconjuratoare. In afara banilor, timpul este cel mai mare dusman care lucreaza impotriva noastra. Si castiga de fiecare data...
Dialogul poate facilita de multe ori, shortcut-uri in slalomul printre informatii. Dar si drumuri infundate...
Depinde de talentul fiecaruia sa navigheze printre ele...
The imagination is the prisoner of our mind.

Offline Eugen7

  • Experimentat
  • ***
  • Mesaje postate: 512
  • Popularitate: +5/-39
Răspuns: Îmblânzirea infinitului. Povestea matematicii
« Răspuns #12 : Iulie 24, 2012, 02:22:28 p.m. »
Cu siguranta dupa lecturarea unor carti scrise de oameni cu pregatire, iti adaugi elemente in plus la spectrul perceptiei lumii inconjuratoare. In afara banilor, timpul este cel mai mare dusman care lucreaza impotriva noastra. Si castiga de fiecare data...
Consider capacitata cognitiva personala ca fiind mai importanta decat timpul in largirea perceptiei lumii inconjuratoare.
Ne aducem aminte de la scoala de la orele de matematica ca unii elevi rezolvau problema in 5 min, altii in 15, altii in 30... altii nici pana la sfarstitul orei.
Oricum sunt de parare ca cine doreste onest sa invete o poate face, gaseste ajutor, indrumatori...
Partea financiara este o problema in Romanaia. Cartile sunt destul de scumpe.

Dialogul poate facilita de multe ori, shortcut-uri in slalomul printre informatii. Dar si drumuri infundate...
Depinde de talentul fiecaruia sa navigheze printre ele...
Sunt in asentimentul dvs in ceea ce priveste capacitatile profesorale. Un profesor bun nu este acela care stie multe dar din pacate nu le poate explica pe intelesul auditoriului ci un profesor bun este acela care stie sa formeze elevii sai, sa le transimita cunonstinele sale, sa ii motiveze pe elevii sai.
Profesor bun nu este acela care se considera pe sine etalon in raport cu elevii caci (la nievel universitar este evident) sunt cazuri cand anumiti studenti pot depasi profesorii lor.
Consider ca un profesor nu trebuie sa fie orbit de vanitate si invidie cand observa ca un elev il intrece... dimpotiva, trebuie sa se simta implinit, ca un adevarat parinte educational.
« Ultima Modificare: Iulie 24, 2012, 03:24:25 p.m. de Eugen7 »
"Stiu ca nu stiu nimic dar stiu ca pot sti mai multe decat stiu" (Socrate)

Offline Eugen7

  • Experimentat
  • ***
  • Mesaje postate: 512
  • Popularitate: +5/-39
Răspuns: Îmblânzirea infinitului. Povestea matematicii
« Răspuns #13 : Iulie 25, 2012, 05:56:09 p.m. »
Reinoiesc recomandarea unei carti pe care o consider utila pentru intelegerea paradigmei stiintifice actuale:

Peter Atkins - Amprenta lui Galileo. Cele 10 mari idei ale stiintei, Ed. All, 2008.
http://www.cartifrumoase.ro/carte/amprenta-lui-galileo-cele-10-mari-idei-ale-stiintei--i32006

In aceasta lucrare Peter Atkins afrima in ultimul capitol: "Cel mai dificil aspect al cognitiei (realitatii) lumii este acela ca lumea (universul) este cognoscibil(a)" si "matematica pura este disciplina in care nu stim despre ce vorbim, sau daca ceea ce spunem este adevarat (real existential)" (traducerea aproximativa care doreste sa surprinda sensul si mai putin litera. Sunt binevenite alte traduceri relevante).
"[...]the last chapter, might seem surprising. It is all about mathematics, “the apotheosis of rational thought” and “the spine that renders scientific speculation sufficiently rigid to confront experience”(p. 315). An interesting discussion ensues: “The most difficult feature of the world to comprehend is that it is comprehensible,” and “Pure mathematics is the subject in which we don't know what we are talking about, or whether what we are saying is true” (p. 316). Those of you who have struggled with math in school may be comforted to know that some equations don't have solutions. Caution is also advised in this chapter, in that “madness is certainly a risk when one contemplates the abyss of infinity” (p. 329). Most troubling of all is the thought that mathematics, as a creation of the human mind, could indicate that all of the universe is a creation of the human mind, and, therefore, not real at all."
http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1325288/
« Ultima Modificare: Iulie 25, 2012, 06:04:35 p.m. de Eugen7 »
"Stiu ca nu stiu nimic dar stiu ca pot sti mai multe decat stiu" (Socrate)

Offline 07Marius

  • Experimentat
  • ***
  • Mesaje postate: 605
  • Popularitate: +24/-37
Răspuns: Răspuns: Îmblânzirea infinitului. Povestea matematicii
« Răspuns #14 : Iulie 25, 2012, 06:54:45 p.m. »
Most troubling of all is the thought that mathematics, as a creation of the human mind, could indicate that all of the universe is a creation of the human mind, and, therefore, not real at all."
http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1325288/

Ultima propozitie imi place ptr. ca-i provocatoare, desi la prima vedere e infantila. Totusi ce pot spune ca nu-i in regula cu ea - e faptul ca centreaza omul in "mijocul, esenta universului" ceea ce e mai mult decat egocentric... altfel, er putea fi multe lucuri de discutat pe marginea subiectului.

Matematica este un instrument logic, concept abstract de masurare a realitatii inconjuratoare. Dar, uneori cercetatorii pierd legatura, asocierea directa cu realitatea si marseaza exclusiv pe concepte abstracte matematice care pot genera "realitati" false.
Am sa dau un exemplu simplu:

Avem un etalon de lungime de 1 m. Il taiem in doua si obtinem 2 buc. de 0.5 m (neglijam pierderile prin taiere, o facem perfect)
fiecare bucata obtinuta o taiem inca o data in doua, s.a.m.d. presupunind ca avem o "masina" de taiat infinit de precisa.

Matematic putem face asta la infinit, in vreme ce practic, chiar si cu o masina ideala, fara pierderi prin taiere nu putem face acest lucru datorita caracterului discret al materiei. Ajungem undeva la o particula care nu mai poate fi fractionata.
Aici se rupe asocierea dintre matematica si realitate, matematica putind sa "taie" in continuare la infinit...
De aceea, trebuie avut grija cum se interpreteaza teoriile pur matematice. S-ar putea sa nu mai  aiba corespondent in lumea reala...
« Ultima Modificare: Iulie 25, 2012, 06:57:14 p.m. de 07Marius »
The imagination is the prisoner of our mind.