Ştiri:

Vă rugăm să citiţi Regulamentul de utilizare a forumului Scientia în secţiunea intitulată "Regulamentul de utilizare a forumului. CITEŞTE-L!".

Main Menu

O ecuatie

Creat de A.Mot-old, Noiembrie 09, 2011, 04:29:00 PM

« precedentul - următorul »

0 Membri şi 1 Vizitator vizualizează acest subiect.

A.Mot-old

#45
Citat din: Electron din Noiembrie 10, 2011, 11:13:41 AM
Citat din: A.Mot din Noiembrie 10, 2011, 09:27:26 AM
Daca o iei strict dupa definitia pentru elevii care nu au invatat despre numerele complexe atunci sigur ca nu este corect sa spunem ca radical din -1 =i
A.Mot, nu e corect sa spunem ca rad(-1) = i in nici un caz, nu doar pentru elevii care nu au invatat numerele complexe. Si asta pentru ca, asa cum a precizat tavy mai sus, functia radical e definita doar pentru numerele reale nenegative.

Citat[...] atunci cat este i? i=(+ sau -)sqrt(-1)...
Dat fiind ca rad(-1) nu este definit, nu poti sa atribui unui numar nici valoarea pozitiva nici cea negativa a acestuia. E ca si cum ai incerca sa calculezi radical(copacul de pe strada) si sa-l atribui unui numar din matematica. E o aberatie.

Citataltfel bietii elevii nu mai stiu sa rezolve ecuatia i^2=-1...
Aceasta nu este o ecuatie, este o egalitate de definitie. Cum rezolvi tu "ecuatia" 22 = 4?!

Retine ca "i" nu este o variabila, ci este un numar, exact ca 1, -rad(3), 1/3 sau -4,5(3), atata doar ca e un numar complex si nu real.

CitatCum rezolvi tu ecuatia x^2-1=0?
Aceasta este o ecuatie, dar nu e complet definita, pentru ca nu precizezi pe ce multime lucrezi. Cauti solutii numere naturale? Daca da, atunci ai o solutie. Cauti solutii numere reale? Daca da, atunci ai doua solutii. Pricepi diferenta?


e-


Exista radicali de diferite ordine din numere complexe?Ce fel de numar complex este numarul a=-1??????????
Eu zic ca exista si radicali de ordinul 2 din numere negative dar evident ca atunci rezultatul este un numar complex cu partea reala nula si cea imaginara nenula.Eu zic ca exista si radicali de ordinul n din numere negative unde n este un numar natural mai mare ca 1.........

Daca i este numarul imaginar atunci ce inseamna [tex] sqrt(a+bi) [/tex]?

Cum rezolvi tu ecuatia x2+1=0 daca nu se spune nimic despre ce solutii cautam?????????Conform rationamentului tau nu mai rezovam ecuatia........Bravo!!!!!!!!!
Adevărul Absolut Este Etern!

tavy

Citat din: A.Mot din Noiembrie 17, 2011, 08:34:36 AM
Daca i este numarul imaginar atunci ce inseamna [tex]\sqrt{a+bi}[/tex]?
Tu nu înțelegi că [tex]\sqrt{a+bi}[/tex] nu există?
Să presupunem că [tex]\sqrt{a+bi}[/tex] ar fi rădăcina ecuației [tex]x^2=a+bi[/tex] dar această ecuație are două rădăcini, care dintre ele o alegi? Înțelegi acum de ce este absurd să încerci să definești radicalul pe altceva decât intervalul 0 infinit?

Electron

Citat din: A.Mot din Noiembrie 17, 2011, 08:34:36 AM
Exista radicali de diferite ordine din numere complexe?
Nu. Notatia cu semnul "radical" (de ordinul doi) e definita doar pentru numerele reale nenegative.

CitatCe fel de numar complex este numarul a=-1?
Un numar complex cu partea imaginara nula. Unde te-ai impotmolit la asta?

CitatEu zic ca exista si radicali de ordinul 2 din numere negative dar evident ca atunci rezultatul este un numar complex cu partea reala nula si cea imaginara nenula.Eu zic ca exista si radicali de ordinul n din numere negative unde n este un numar natural mai mare ca 1...
Zici ineptii. Cat o sa mai insisti cu erorile in aceasta sectiune de teme pentru acasa?

CitatDaca i este numarul imaginar atunci ce inseamna [tex] sqrt(a+bi) [/tex]?
Nimic.

CitatCum rezolvi tu ecuatia x2+1=0 daca nu se spune nimic despre ce solutii cautam?
Nu o rezolv, pentru ca rezolvarea depinde de domeniul de valori pe care ii iei in considerare pentru variabila x. Faptul ca solutia depinde de domeniul de valori pentru x nu inseamna ca ecuatia e nerezolvabila, inseamna doar ca, daca nu precizezi in cerinta acest domeniu, eu nu o sa ma apuc sa studiez toate cazurile imaginabile si inimaginabile doar pentru ca cineva ca tine sa fie satisfacut. Problemele puse incorect sunt doar atat, probleme puse incorect.

CitatConform rationamentului tau nu mai rezovam ecuatia...
Conform rationamentului meu tu ar fi trebuit de mult sa nu mai postezi ineptii la aceasta sectiune. Cat de greu e de priceput?


e-
Don't believe everything you think.

A.Mot-old

#48
Citat din: tavy din Noiembrie 17, 2011, 01:05:05 PM
Citat din: A.Mot din Noiembrie 17, 2011, 08:34:36 AM
Daca i este numarul imaginar atunci ce inseamna [tex]\sqrt{a+bi}[/tex]?
Tu nu înțelegi că [tex]\sqrt{a+bi}[/tex] nu există?
Să presupunem că [tex]\sqrt{a+bi}[/tex] ar fi rădăcina ecuației [tex]x^2=a+bi[/tex] dar această ecuație are două rădăcini, care dintre ele o alegi? Înțelegi acum de ce este absurd să încerci să definești radicalul pe altceva decât intervalul 0 infinit?
Ce inseamna  [tex] sqrt{-1+0.i} [/tex]?Ai pe undeva cartea "Tabele si formule matematice" de E. Rogai,Editura Tehnica Bucuresti,anul 1983?Daca ai atunci cauta la pagina 40 si nu mai indu in eroare pe cei care citesc  ce spui tu aici si nu mai stiu ce sa inteleaga unii elevi.......Ce scoala ai facut???????????Am inteles ca 1 nu mai vor academicienii sa fie numar prim dar nu cred ca [tex]\sqrt{a+bi}[/tex] nu exista.........si iti repet ca exista.Ce are a face ecuatia [tex]x^2=a+bi[/tex] cu ceea ce am intrebat eu:"Daca i este numarul imaginar atunci ce inseamna [tex]\sqrt{a+bi}[/tex]?"?????Eu am gresit de multe ori si am recunoscut ca am gresit si am invatat astfel mai bine si mai multe dar nu inteleg de ce nu vrei sa recunosti si tu ca ai gresit macar de aceasta data........
Eu zic deci ca [tex] sqrt{-1}=\pm i [/tex] asa cum este evident ca si [tex] i=\pm sqrt{-1} [/tex].
Pune mana pe cartea "Tabele si formule matematice" de E. Rogai ca nu urzica.
Adevărul Absolut Este Etern!

AlexandruLazar

Citat din: A.Mot din Noiembrie 17, 2011, 09:32:33 PM
Am inteles ca 1 nu mai vor academicienii sa fie numar prim dar nu cred ca [tex]\sqrt{a+bi}[/tex] nu exista.........si iti repet ca exista.

O sa ii rapesc lui tavy placerea de a iti reaminti ca credinta n-are nicio treaba cu stiinta. Arata ca exista acest radical pentru [tex]b \neq 0[/tex] si mai discutam, dar nu vad cum o sa poti arata asta tinand cont ca [tex]a+bi[/tex] nu apartine domeniului de definitie al functiei radical pentru [tex]b \neq 0[/tex].

tavy

Citat din: A.Mot din Noiembrie 17, 2011, 09:32:33 PM
Ce inseamna  [tex] sqrt{-1+0.i} [/tex]?Ai pe undeva cartea "Tabele si formule matematice" de E. Rogai,Editura Tehnica Bucuresti,anul 1983?
Cartea probabil este pe undeva pe la părinți, nu am mai avut nevoie de ea de foarte multă vreme.

Citat din: A.Mot din Noiembrie 17, 2011, 09:32:33 PM
Ce scoala ai facut???????????
Școli suficient de bune și destul de multe.

Citat din: A.Mot din Noiembrie 17, 2011, 09:32:33 PM
Eu zic deci ca [tex] sqrt{-1}=\pm i [/tex] asa cum este evident ca si [tex] i=\pm sqrt{-1} [/tex].
E mult mai grav decât îmi imaginam! Tu chiar îți închipui că [tex]i[/tex] are două valori!
Mai mult, radical este o funcție, tu nu știi nici măcar definiția funcției.
De pe wikipedia:
Citat
Ro:
O funcţie este o relaţie care asociază fiecărui element dintr-o mulţime (domeniul) un singur element dintr-o altă (posibil din aceeaşi) mulţime (codomeniul).
En:
In mathematics, a function associates one quantity, the argument of the function, also known as the input, with another quantity, the value of the function, also known as the output. A function assigns exactly one output to each input.
Cu toate acestea tu consideri că funcția radical asociază două valori lui [tex]-1[/tex]. Grav ...

Nu pot decât să remarc că tu nu prea ai trecut pe la școală.

Citat din: AlexandruLazar din Noiembrie 17, 2011, 09:50:19 PM
Citat din: A.Mot din Noiembrie 17, 2011, 09:32:33 PM
Am inteles ca 1 nu mai vor academicienii sa fie numar prim dar nu cred ca [tex]\sqrt{a+bi}[/tex] nu exista.........si iti repet ca exista.
O sa ii rapesc lui tavy placerea de a iti reaminti ca credinta n-are nicio treaba cu știința.
Să adăugăm și că credința nu este relevantă. :) (Doar nu vrei să-ți las ție chiar toată plăcerea!)

A.Mot-old

Citat din: AlexandruLazar din Noiembrie 17, 2011, 09:50:19 PM
Citat din: A.Mot din Noiembrie 17, 2011, 09:32:33 PM
Am inteles ca 1 nu mai vor academicienii sa fie numar prim dar nu cred ca [tex]\sqrt{a+bi}[/tex] nu exista.........si iti repet ca exista.

O sa ii rapesc lui tavy placerea de a iti reaminti ca credinta n-are nicio treaba cu stiinta. Arata ca exista acest radical pentru [tex]b \neq 0[/tex] si mai discutam, dar nu vad cum o sa poti arata asta tinand cont ca [tex]a+bi[/tex] nu apartine domeniului de definitie al functiei radical pentru [tex]b \neq 0[/tex].
Pune mana pe cartea "Tabele si formule matematice" de E. Rogai ca nu urzica.
Adevărul Absolut Este Etern!

A.Mot-old

Citat din: tavy din Noiembrie 17, 2011, 09:55:56 PM
Citat din: A.Mot din Noiembrie 17, 2011, 09:32:33 PM
Ce inseamna  [tex] sqrt{-1+0.i} [/tex]?Ai pe undeva cartea "Tabele si formule matematice" de E. Rogai,Editura Tehnica Bucuresti,anul 1983?
Cartea probabil este pe undeva pe la părinți, nu am mai avut nevoie de ea de foarte multă vreme.

Citat din: A.Mot din Noiembrie 17, 2011, 09:32:33 PM
Ce scoala ai facut???????????
Școli suficient de bune și destul de multe.

Citat din: A.Mot din Noiembrie 17, 2011, 09:32:33 PM
Eu zic deci ca [tex] sqrt{-1}=\pm i [/tex] asa cum este evident ca si [tex] i=\pm sqrt{-1} [/tex].
E mult mai grav decât îmi imaginam! Tu chiar îți închipui că [tex]i[/tex] are două valori!
Mai mult, radical este o funcție, tu nu știi nici măcar definiția funcției.
De pe wikipedia:
Citat
Ro:
O funcţie este o relaţie care asociază fiecărui element dintr-o mulţime (domeniul) un singur element dintr-o altă (posibil din aceeaşi) mulţime (codomeniul).
En:
In mathematics, a function associates one quantity, the argument of the function, also known as the input, with another quantity, the value of the function, also known as the output. A function assigns exactly one output to each input.
Cu toate acestea tu consideri că funcția radical asociază două valori lui [tex]-1[/tex]. Grav ...

Nu pot decât să remarc că tu nu prea ai trecut pe la școală.

Citat din: AlexandruLazar din Noiembrie 17, 2011, 09:50:19 PM
Citat din: A.Mot din Noiembrie 17, 2011, 09:32:33 PM
Am inteles ca 1 nu mai vor academicienii sa fie numar prim dar nu cred ca [tex]\sqrt{a+bi}[/tex] nu exista.........si iti repet ca exista.
O sa ii rapesc lui tavy placerea de a iti reaminti ca credinta n-are nicio treaba cu știința.
Să adăugăm și că credința nu este relevantă. :) (Doar nu vrei să-ți las ție chiar toată plăcerea!)
Intr-adevar este grav chiar prea grav.......Daca nu ai cartea " "Tabele si formule matematice" de E. Rogai,Editura Tehnica Bucuresti,anul 1983" pe care ti-am indicat-o............atunci intreaba publicul sau calculatorul sau da telefon unui prieten caci eu nu schimb intrebarea in fond dar o reformulez:
Cu cat este egal [tex] sqrt{a+bi} [/tex] ,unde a si b sunt numere reale si i este numarul imaginar?????????
Adevărul Absolut Este Etern!

tavy

Citat din: A.Mot din Noiembrie 17, 2011, 10:04:18 PM
Intr-adevar este grav chiar prea grav.......Daca nu ai cartea " "Tabele si formule matematice" de E. Rogai,Editura Tehnica Bucuresti,anul 1983" pe care ti-am indicat-o............atunci intreaba publicul sau calculatorul sau da telefon unui prieten caci eu nu schimb intrebarea in fond dar o reformulez:
Cu cat este egal [tex] sqrt{a+bi} [/tex] ,unde a si b sunt numere reale si i este numarul imaginar?????????
De ce consideri cartea aceea un fel de biblie? Așa cum nu consider că biblia conține adevărul absolut nu consider despre nici o carte că ar deține adevărul absolut.
În ce privește răspunsul la întrebarea ,,Cu cat este egal [tex] sqrt{a+bi} [/tex] ,unde a si b sunt numere reale si i este numarul imaginar?" se pare că doar tu îl cunoști pentru că folosești o definiție pentru radical știută doar de tine, ce am putut să aflu până acum este că radicalul definit de tine nici nu este funcție iar în accepțiunea ta există un singur număr imaginar și anume i. Îmi pare rău dar tu folosești o matematică proprie știută doar de tine.

mircea_p

E ceva neclar sau confuz in discutia asta. Eu pur si simplu nu inteleg daca e vorba de o controversa in privinta numelui "radical" sau domeniul de incercarea de a defini riguros functia radical pe numere complexe.
Ce ma surprinde este ca termenul de "radical" (square root) si radacina de ordinul n ("n-th root") se aplica in mod curent la numere complexe. In orice manual de analiza complexa se defineste operatia asta. Formula lui Moivre se discuta si ca o metoda mai simpla de a calcula radacina de ordin n.
E cumva disputata existenta operatie numita "radical" sau radacina de ordin n pentru numere compelxe?
Sau e vorba de terminologie?

Ori e vorba doar de definirea corecta a functiei in cazul numerelor complexe?
Definirea unei functii necesita niste precautii suplimentare, la fel ca si in cazul functiei definite pe numere reale.
In cazul numerelor complexe se discuta despre valoarea principala.
Dar oricum ar fi, faptul ca o operatie este sau nu o functie nu cred ca determina existenta operatiei.

Poate e o diferenta intre matematica adevarata si cea pentru fizicieni... adica sigur este.
Dar aici e ceva oarecum confuz.


AlexandruLazar

#55
Topicul e foarte convolut, deci permite-mi sa incerc un rezumat. Problema a pornit de fapt de la capcana binecunoscuta a ideii ca [tex]\sqrt{-1}=i[/tex], ceea ce desi e un "abuz" de notatie tolerat destul de des, este de fapt pur si simplu fals. Pe de-o parte datorita motivului evident (radicalul este definit pe numere reale pozitive), pe de alta parte datorita motivului mai subtil al faptului ca radacina patrata pentru numere reale nu are aceleasi proprietati ca pentru numere pozitive, ceea ce duce la "paradoxuri" cunoscute, de tipul celui enuntat de mine pe undeva pe aici:

[tex]-1 = j * j = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{-1 \cdot -1} = \sqrt{1} = 1[/tex]

necaz care vine din faptul ca, daca vrei sa definesti radacina patrata pe toata multimea numerelor reale, nu mai rezista proprietatea ca [tex]\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}[/tex].

Dupa care A.Mot a revenit intreband de o serie de alte ecuatii, si i s-a cerut sa precizeze in ce multime vrea solutiile, tocmai pentru a evita probleme ca cea de mai sus; evident, e genul de cerere care in combinatie cu idei putine si fixe nu da nimic util.

CitatCe ma surprinde este ca termenul de "radical" (square root) si radacina de ordinul n ("n-th root") se aplica in mod curent la numere complexe. In orice manual de analiza complexa se defineste operatia asta. Formula lui Moivre se discuta si ca o metoda mai simpla de a calcula radacina de ordin n.

E mai mult o chestiune de comoditate; din cate stiu, asta se numeste de fapt "radacina principala" (care defineste in plus si un criteriu de selectie, pentru ca altfel dai de beleaua cealalta -- daca accepti sa extinzi radacina patrata la multimea numerelor reale, intervine problema faptului ca nu mai este unica. Motiv pentru care profesorul meu de analiza, de exemplu, insista de fiecare data sa ne aminteasca faptul ca nu e vorba de radicalul definit pe numere reale.

Definirea de fapt se face algebric, pornind de la [tex]x = (a + bj)^2[/tex], dar asta da mai multe solutii, ceea ce pur si simplu nu se potriveste cu definitia operatiei de extragere a radicalului.

mircea_p

Citat din: AlexandruLazar din Noiembrie 17, 2011, 10:44:11 PM
CitatCe ma surprinde este ca termenul de "radical" (square root) si radacina de ordinul n ("n-th root") se aplica in mod curent la numere complexe. In orice manual de analiza complexa se defineste operatia asta. Formula lui Moivre se discuta si ca o metoda mai simpla de a calcula radacina de ordin n.

E mai mult o chestiune de comoditate; din cate stiu, asta se numeste de fapt "radacina principala" (care defineste in plus si un criteriu de selectie, pentru ca altfel dai de beleaua cealalta -- daca accepti sa extinzi radacina patrata la multimea numerelor reale, intervine problema faptului ca nu mai este unica. Motiv pentru care profesorul meu de analiza, de exemplu, insista de fiecare data sa ne aminteasca faptul ca nu e vorba de radicalul definit pe numere reale.

Definirea de fapt se face algebric, pornind de la [tex]x = (a + bj)^2[/tex], dar asta da mai multe solutii, ceea ce pur si simplu nu se potriveste cu definitia operatiei de extragere a radicalului.

In primul rand, multumesc pentru timpul petrecut scriind un raspuns detaliat.

In al doilea, imi cer scuze ca poate m-am exprimat ambiguu.  Nu ma surprinde aplicarea sau extinderea notiunii de radacina de ordin n la numere complexe, am intalnit-o in cursurile de analiza de cel putin doua ori, ca student. Astazi deschizand primul manual de analiza complexa la indemana am vazut acelasi lucru.
Voiam sa zic ca ma surprind unele afirmatii din mesajele anterioare, care par sa nege faptul ca se poate defini radacina patrata sau de alt ordin dintr-un numar complex. Cel putin asa am inteles si de aceea spuneam ca e ceva confuz aici.

Pentru orice numar complex, exista n radacini de ordinul n. Deci doua radacini de ordinul 2. E incorect sa folosim termenul "radical" pentru una din radacini? Asta e discutia?
Definitia operatiei de obtinere a radacinilor de ordinul n de obicei include existenta a n solutii.
Una din ele se numeste valoare principala dar in definitie sant inlcuse toate. La care definitie te referi cand spui ca existenta a mai multe solutii nu se potriveste cu definitia operatiei de extragere a radicalului? (DEci nu a functiei radical.)

AlexandruLazar

Citat din: mircea_p din Noiembrie 18, 2011, 03:53:35 AM
Definitia operatiei de obtinere a radacinilor de ordinul n de obicei include existenta a n solutii.
Una din ele se numeste valoare principala dar in definitie sant inlcuse toate. La care definitie te referi cand spui ca existenta a mai multe solutii nu se potriveste cu definitia operatiei de extragere a radicalului? (DEci nu a functiei radical.)

Ma gandesc la radacina principala (aia pe care invatam sa o extragem prin clasa a saptea), si despre care vorbeste si A.Mot -- cea care are proprietăţile [tex]\sqrt{x}\sqrt{y} = \sqrt{xy}[/tex] şi [tex]\sqrt{x} = x^{1/2}[/tex].

Problema reala e ca fara a preciza domeniul in care se cauta solutiile, poti sa pierzi solutii fiindca nu stii nici daca trebuie incluse toate solutiile algebrice din definitia radacinii patrate, nici daca poti sau nu sa aplici proprietatile care sunt valabile numai pentru definitia (restrânsă) de pe numerele pozitive.

mircea_p

Citat din: AlexandruLazar din Noiembrie 18, 2011, 11:57:20 AM

Ma gandesc la radacina principala (aia pe care invatam sa o extragem prin clasa a saptea), si despre care vorbeste si A.Mot -- cea care are proprietăţile [tex]\sqrt{x}\sqrt{y} = \sqrt{xy}[/tex] şi [tex]\sqrt{x} = x^{1/2}[/tex].

Problema reala e ca fara a preciza domeniul in care se cauta solutiile, poti sa pierzi solutii fiindca nu stii nici daca trebuie incluse toate solutiile algebrice din definitia radacinii patrate, nici daca poti sau nu sa aplici proprietatile care sunt valabile numai pentru definitia (restrânsă) de pe numerele pozitive.
De acord ca precizarea domeniului e necesara pentru rezlovarea ecuatiei. Nu am nimic de comentat aici.
Dar de la aceasta s-a ajuns cumva la o contestare a unor definitii care credeam ca sant destul de comune.

1. Deci consideri ca definitia radacinii unui numar complex se refera exclusiv la valoarea principala?
Mai concret, ma refer la afirmatia:

"Definirea de fapt se face algebric, pornind de la x = (a + bj)^2, dar asta da mai multe solutii, ceea ce pur si simplu nu se potriveste cu definitia operatiei de extragere a radicalului."
Vrei sa spui ca nu se potriveste cu definitia functiei radical pentru numere reale?

2. Cum e asta o proprietate? Nu e mai degraba notatie?
[tex]\sqrt{x} = x^{1/2}[/tex]
Ori poate tocmai aici e miezul problemei, consideri ca prima notatie (radicalul) e cumva diferita de radacina de ordin 2, referindu-se numai la valoarea principala? Atunci e mai degraba a chestiune de terminologie.

3. In unele din posturile mai pe la inceput am vazut ca se contesta si termenul "ecuatie", cerandu-se ca anumite conditii sa fie indeplinite pentru a "avea o ecuatie".
Conform definitiilor comune, o ecuatie este, in esenta,  orice expresie cu semnul egal. Fara nici o conditie suplimentara. Deci 4=2^2 este o ecuatie.  Dictionarul de matematica in care m-am uitat spune ca o expresie care "afirma" ca doua cantitati sant egale este o ecuatie. Nu spune ca afirmatia trebuie sa fie adevarata. Chiar 3=7 este o ecuatie, conform definitiei.
Semnificatia ecuatiilor (definitie, restrictie, corelatie intre parametri) poate fi foarte diferita dar asta nu le face mai mult sau mai putin ecuatii.
De acor ca rezolvarea unei ecuatii (care contine variabile, necunoscute) este conditionata de precizara domeniului. Dar daca nu se precizeaza domeniul, nu mai este ecuatie?


AlexandruLazar

Din câte ştiu, notaţia cu semnul radical se referă explicit numai la rădăcina principală.