O ecuatie trigonometrica

[zec]

Nu ai uitat cumva un "cos" in formula de mai sus?

e-

a+bi e cosz pe care l-am inlocuit direct, stiind ca cos²z+sin²z=1 e valabila si pe numere complexe.

[zec]

Am cautat sa gasesc ceva informatii despre imaginea lui sinz si surpriza ea pe numere complexe e nemarginita.Daca am presupune ca z apartine lui C implica |sinz|<=1 atunci am obtine o contradictie cu teorema lui Liouiville care afirma ca o functie olomorfa si marginita este constanta.Iara sinz prin prelungirea analitica devine o serie formala care e derivabila si deci olomorfa.Astfel ca ceea ce am crezut ca are loc ,defapt nu are.Cu toate astea nu prea stim multe despre imaginea acestei functii si ideea problemei se apropie mult de conjuctura Riemann legata de zerourile sale care e nerezolvata si are si premiu de 1 milion de dolari pentru rezolvare.

[Electron]

a+bi e cosz pe care l-am inlocuit direct, stiind ca cos²z+sin²z=1 e valabila si pe numere complexe.

Ah, ok, am citit gresit. Merci de precizare.

e-

[A.Mot-old]

n par n>o [tex]x\in {k\pi|k\in Z[/tex]
n impar [tex]x\in{2k\pi|k\in Z \cup 3\pi/2+2k\pi|k \in Z[/tex]
Astea sunt solutiile.
Tu zici ca are solutii in numere complexe ,eu zic ca nu are solutii in numere complexe.
Sa zicem ca cosz=a+bi atunci sinz se afla din relatia sinz=[tex] \pm \sqrt {1 - {{(a + bi)}^2}}=\pm \sqrt {{b^2} - {a^2} + 1 - 2abi} [/tex] Mai departe chinuiete si tu si daca gasesti vreo solutie sa imi zici.
Edit.Solutiile alea sunt date in multime dar nu pot sa editez acoladele in tex.

Eu zic ca ecuatia are solutii si in multimea numerelor complexe care au partea imaginara nenula........
Adica vrei sa spui ca nu exista z=x+iy (unde i este numarul imaginar) astfel incat cosz=a+bi??Nu pot sa cred ca tu spui asa ceva care te laudai parca ca ai invatat despre numere complexe inca de la gimnaziu cand erai in clasa VI-a???Nu se poate asa ceva!!!!!!!!!Cum rezolvi tu ecuatia trigonometrica in cazul n=3?

[zec]

A.Mot nu m-ai inteles deloc se pare.Cazul n=3 e inclus la numere impare pe care l-am rezolvat si nu stau sa rezolv de 10 ori aceeasi problema.
Ce afirmi tu e numita surjectivitate ceea ce nu e cunoscuta.Eu ti am sugerat doar sa il calculezi pe cos(i) si ai sa vezi ca nu e deloc usor si trebuie apelat la calculatoare in acest caz.
Sa zicem ca gasesti niste solutii in numere complexe pentru care cosz sa fie un anumit numar.Cum aflam daca exista z astfel incat sa zicem cosz=3-i?Dar evident se pune intrebarea pentru ce numere complexe z₁,z₂ are solutie sistemul:
z₁ⁿ-z₂ⁿ=1 si z₁²+z₂²=1.
Dar rezolvarea acestui sistem deja e complicat.Si nu am nici o rezolvare a ei.
Daca nu te-a multumit solutia mea asta este,eu unu nu sunt acela care sa laudat ca a facut numere complexe in clasa a 6-a si nici nu am de gand sa fac lectii de matematica special cu tine aici pe forum.Oricand o sugestie,indicatie,nelamurire ai toate sansele sa le primesti de la mine,dar lectii de matematica pe un forum niciodata(astea costa).

[A.Mot-old]

A.Mot nu m-ai inteles deloc se pare.Cazul n=3 e inclus la numere impare pe care l-am rezolvat si nu stau sa rezolv de 10 ori aceeasi problema.
Ce afirmi tu e numita surjectivitate ceea ce nu e cunoscuta.Eu ti am sugerat doar sa il calculezi pe cos(i) si ai sa vezi ca nu e deloc usor si trebuie apelat la calculatoare in acest caz.
Sa zicem ca gasesti niste solutii in numere complexe pentru care cosz sa fie un anumit numar.Cum aflam daca exista z astfel incat sa zicem cosz=3-i?Dar evident se pune intrebarea pentru ce numere complexe z₁,z₂ are solutie sistemul:
z₁ⁿ-z₂ⁿ=1 si z₁²+z₂²=1.
Dar rezolvarea acestui sistem deja e complicat.Si nu am nici o rezolvare a ei.
Daca nu te-a multumit solutia mea asta este,eu unu nu sunt acela care sa laudat ca a facut numere complexe in clasa a 6-a si nici nu am de gand sa fac lectii de matematica special cu tine aici pe forum.Oricand o sugestie,indicatie,nelamurire ai toate sansele sa le primesti de la mine,dar lectii de matematica pe un forum niciodata(astea costa).

Scuze....in ceea ce priveste afirmatia mea fata de tine in legatura cu numerele complexe cunoscute inca din clasa a VI-a..........
Ecuatia cosz=3-i se poate rezolva astfel:
Este clar ca z trebuie sa fie un numar de forma a+bi unde a si b sunt numere reale iar i este numarul imaginar.Putem scrie deci cos(a+bi)=cosacosbi-sinasinbi.Se cunosc relatiile cosbi=0,5(e^b+e^-b) si sinbi=0,5i(e^b-e^-b) unde e este numarul transcendental cunoscut ca numarul lui Euler si deci se ajunge la ecuatia 0,5(e^b+e^-b)cosa-0,5i(e^b-e^-b)sina=3-i;se egaleaza partile reale si cele imnaginare rezultand in final cosa=6e^b:(e^2b+1 si sina=2e^b:(e^2b-1);stiind ca sin²a+cos²a=1 obtinem in final o ecuatie de forma u⁴-40u³+62u²-40u+1=0 unde u=e^2b de unde rezulta cat este b si deci cunoscand pe b il aflam pe a.Evident se vor considera doar valorile reale ale lui a si b si care verifica si ecuatia initiala cosz=3-i.Daca am gresit pe undeva te rog sa ma corectezi.
Observatie:
z nu poate fi un numar real caci daca ar fi asa atunci ar rezulta -1<3-i<1 ceea ce este absurd deoarece in multimea numerelor complexe cu partea imaginara nenula nu exista relatie de ordine.

[zec]

Proprietatea cos(a+bi)=cosacos(bi)-sinasin(bi) nu cred ca e valabila la numere complexe.Demonstratia acestei relatii a facuta pe numere reale ,iara pe numere complexe nu am intalnit vreuna , decat la aceea cu cos²z+sin²z=1 si cos'z=-sinz sin'z=cosz.De fapt demonstratia la relatia aceea se bazeaza pe faptul ca (cos²z+sin²z)'=0, ceea ce implica egalitatea cu o constanta etc.
Un lucru as putea sa iti zic,faptul ca imaginea prin cosinus si sinus al unui domeniu este tot un domeniu.Domeniu semnifica o multime conexa si deschisa.
Trebuie inteles faptul ca aceasta prelungire analitica numai are treaba cu ceea ce se intampla la numere reale .Adica marginirea,periodicitatea numai sunt proprietati valabile de aceea din punct de vedere valoric e greu de urmarit in planul complex .

[tavy]

Proprietatea cos(a+bi)=cosacos(bi)-sinasin(bi) nu cred ca e valabila la numere complexe.

Și totuși:
[tex]
\cos(a+b\cdot i)=\frac{e^{(a+b\cdot i)i}+e^{-(a+b\cdot i)i}}{2}=\frac{e^{a\cdot i}e^{-b}+e^{-a\cdot i}e^{b}}{2}=
=\frac{(\cos a+i\cdot \sin a)e^{-b}+(\cos a-i\cdot \sin a)e^{b}}{2}=\frac{e^{b}+e^{-b}}{2}cos a-i\frac{e^{b}-e^{-b}}{2}\sin a
[/tex]
dar
[tex]
\sin{(b\cdot i)}=\frac{e^{b \cdot i \cdot i}-e^{-b \cdot i \cdot i}}{2i}=\frac{e^{-b}-e^{b}}{2i}=i\frac{e^{b}-e^{-b}}{2}
\cos{(b\cdot i)}=\frac{e^{b \cdot i \cdot i}+e^{-b \cdot i \cdot i}}{2}=\frac{e^{-b}+e^b}{2}
[/tex]
atunci
[tex]
\cos(a+b\cdot i)=\frac{e^{b}+e^{-b}}{2}cos a-i\frac{e^{b}-e^{-b}}{2}\sin a=\cos(b\cdot i)\cos a - \sin(b\cdot i)\sin a
[/tex]
Q.E.D.
Odată în plus se dovedește că dacă te bazezi pe credință poți să greșești rău de tot.

P.S.
Chiar nu înțeleg de ce nu scrieți ecuațiile într-o formă ușor de citit. Felul în care scrieți ecuațiile dă o dovadă de lipsă de respect pentru cei care urmează să le citească. Dacă ați scrie ecuațiile în forma ușor citibilă, chiar dacă faceți voi, o singură dată când scrieți, un mic efort, scutiți pe toți ceilalți de efort la citire iar cei care citesc o ecuație sunt ceva mai mulți decât cel care scrie ecuația.

[zec]

Intradevar am gresit.+1 pentru A.Mot din partea mea.Sunt in perioada in care din pacate nu am mintea foarte dedicata studiului.

[A.Mot-old]

Intradevar am gresit.+1 pentru A.Mot din partea mea.Sunt in perioada in care din pacate nu am mintea foarte dedicata studiului.

Nicio problema........Este foarte frumos cand un om are curajul sa recunoasca ca a gresit.......Eu am invatat multe de la tine si de la altii inclusiv de la "Electron".
Cu cat este egal [tex] sqrt{a+bi} [/tex] , unde a si b sunt numere reale si i este numarul imaginar?

[tavy]

Cu cat este egal [tex] sqrt{a+bi} [/tex] , unde a si b sunt numere reale si i este numarul imaginar?

De remarcat că mulțimea numerelor imaginare are un număr infinit de elemente și în consecință expresia ,,i este numarul imaginar" este greșită, poate ai vrut să spui că ,,i este număr imaginar".

[A.Mot-old]

Cu cat este egal [tex] sqrt{a+bi} [/tex] , unde a si b sunt numere reale si i este numarul imaginar?

De remarcat că mulțimea numerelor imaginare are un număr infinit de elemente și în consecință expresia ,,i este numarul imaginar" este greșită, poate ai vrut să spui că ,,i este număr imaginar".

Ai dreptate!Am sa spun de-acum ca i este numarul complex de forma (0,1) sau ca i este unitatea imaginara......Multumesc pentru rigurozitate!