Welcome, Guest. Please login or register.

Autor Subiect: O problema de geometrie interesanta  (Citit de 9662 ori)

0 Membri şi 1 Vizitator vizualizează acest subiect.

Offline zec

  • Experimentat
  • ***
  • Mesaje postate: 504
  • Popularitate: +49/-15
O problema de geometrie interesanta
« : Iunie 05, 2011, 10:50:00 p.m. »
Deci am sa propun o problema de geometrie care inainte acum cateva decenii era in manualul de clasa 8-a.
 Problema suna foarte simplu in enunt si anume :
Se considera pe o sfera de raza R 2 cercuri tangente exterioare cu razele a si respectiv b .Sa se calculeze distanta dintre centrele cercurilor respective.
 Am sa precizez doar ideea rezolvari se rezuma la calcul in patrulaterul ATBO unde A,B,T si O sunt centrele cercurilor de raza a si b ,punctul de tangenta si centrul sferei a diagonalei AB.Dar faptul ca e patrulater face problema interesanta si inainte de a incepe calculul ar trebui aratat ca A,B,T si O sunt coplanare.O consider o problema frumoasa de aceea am luat decizia sa o postez pe forum.Mai tarziu am sa postez si demonstratia dar as vrea sa vad daca e vreun voluntar in cautarea ei.

Offline zec

  • Experimentat
  • ***
  • Mesaje postate: 504
  • Popularitate: +49/-15
Răspuns: O problema de geometrie interesanta
« Răspuns #1 : Iunie 06, 2011, 11:43:42 p.m. »
Am sa raspund eu la propriul post dar nu in ideea sa dau rezolvarea ci anume sa explic o parte din problema enuntata.
  Problema enuntata implica a arata coplanareitatea acelor 4 puncte.Cum aratam ca 4 puncte sunt coplanare?
 De principiu in momentul in care esti pus in situatia asta trebuie neaparat sa cunosti ce anume determina un plan in mod unic.
 Un plan e determinat unic de catre :
-3 puncte distincte necoliniare.
-o dreapta si un punct situat in afara dreptei
-2 drepte concurente
-2 drepte paralele.
Aceste situatii ne indica eventuale metode dar mai exista si altele provenite din diverse geometrii.
 Metode analitice :in cazul in care cunosti ecuatia unui plan poti verifica daca cel de al 4 lea punct apartine ecuatiei determinate de celelalte 3 pcte.Aici e vb de 3 pct determina un plan .
 Arati ca diagonalele se intersecteaza,adica daca ABCD sunt cele 4 puncte poti determina ecuatia lui AC si a lui BD si arati ca sistemul format de cele 2 ecuatii are solutie unica.A nu se omite ca e vb de acuatia dreptei din spatiu si trebuie remarcat ca in idee e partea ca 2 drepte concurente determina un plan.
Metode vectoriale nu cunosc personal m-am gandit acuma dar nu am gasit.
Metode clasice aici metodele clasice se bazeaza pe acele situatii care determina un plan si particularitatea eventualelor puncte date in ipoteza.Se pot apela si la metode care implica unghiuri.etc
Probabil ca metode mai sunt destule eu am enumarat doar cateva dintre ele.

florin_try

  • Vizitator
Răspuns: O problema de geometrie interesanta
« Răspuns #2 : Iunie 07, 2011, 05:15:35 a.m. »
Imi pare rau ca ai raspuns la ea asa de repede.

Offline zec

  • Experimentat
  • ***
  • Mesaje postate: 504
  • Popularitate: +49/-15
Răspuns: O problema de geometrie interesanta
« Răspuns #3 : Iunie 07, 2011, 10:54:47 a.m. »
Imi pare rau ca ai raspuns la ea asa de repede.
Inca nu am raspuns,doar am prezentat eventuale indicatii asupra problemei de coplnareitate pe care o implica o rezolvare corecta a problemei initiale.
  Ceea ce am postat a fost o paralela teroetica cu privire la problema mea.Si mai sunt inca metode de a arata ca 4 puncte sunt coplanare..de exemplu un tetraedru de volum nul sau inaltimea nula.
 Mai ofer o indicatie :Intersectia dintre un plan si o sfera e un cerc sau un punct.

Offline A.Mot

  • Experimentat
  • ***
  • Mesaje postate: 806
  • Popularitate: +12/-48
Răspuns: O problema de geometrie interesanta
« Răspuns #4 : Iunie 08, 2011, 07:21:58 a.m. »
Deci am sa propun o problema de geometrie care inainte acum cateva decenii era in manualul de clasa 8-a.
 Problema suna foarte simplu in enunt si anume :
Se considera pe o sfera de raza R 2 cercuri tangente exterioare cu razele a si respectiv b .Sa se calculeze distanta dintre centrele cercurilor respective.
 Am sa precizez doar ideea rezolvari se rezuma la calcul in patrulaterul ATBO unde A,B,T si O sunt centrele cercurilor de raza a si b ,punctul de tangenta si centrul sferei a diagonalei AB.Dar faptul ca e patrulater face problema interesanta si inainte de a incepe calculul ar trebui aratat ca A,B,T si O sunt coplanare.O consider o problema frumoasa de aceea am luat decizia sa o postez pe forum.Mai tarziu am sa postez si demonstratia dar as vrea sa vad daca e vreun voluntar in cautarea ei.
Cele doua cercuri de pe sfera se afla fiecare in cate un plan iar cele doua plane se intersecteaza dupa tangenta comuna a celor doua cercuri.Cele doua plane sunt perpendiculare pe OA respectiv pe OB si cum cele doua plane se intersecteaza dupa o singura dreapta si anume tangenta la cele doua cercuri de pe sfera rezulta ca A,B,T,O sunt puncte coplanare.Patrulaterul ATBO este inscriptibil deoarece AO este perpendicular pe AT si BO este perpendicular pe BT si in acest patrulater inscriptibil se cunosc laturile AT=a,BT=b,AO2=R2-a2,BO2-b2 si diagonala OT=R.Diagonala AB=D se afla cu ajutorul Teoremei lui Ptolemeu si anume D*R=OA*b+OB*a.

Offline zec

  • Experimentat
  • ***
  • Mesaje postate: 504
  • Popularitate: +49/-15
Răspuns: O problema de geometrie interesanta
« Răspuns #5 : Iunie 08, 2011, 12:06:15 p.m. »
Aproape dar nu e completa justificarea fata de coplanareitatea acelor 4 puncte.OA si OB sunt perpendiculare pe planele  determinate de acele cercuri dar nu ai justificat ca T apartine planului format de OA si OB sau mai concret ca dreapta de intersectie in acele plane e chiar tangenta la sfera si automat va rezulta ca OT pe perpendicular pe dreapta comuna celor 2 plane si aceasta justifica faptul ca OAB siT sunt in planul perpendicular pe dreapta de intersectie ce trece prin T.Dificultatea problemei este exact in demonstratia riguroasa si justificarea anumitor proprietati de tangenta a acelei drepte.
 Pentru calculul distantei teorema lui Ptolemeu ofera mai rapid solutia .Se mai poate face cu proiectii si calculul cosinusului din triunghiul mare care e asemenea cu cel mic.