Cata benzina ii trebuie unui OZN sa decoleze de pe Tera

[florin_try]

 Am si eu o problema semi-distractiva cu un OZN mai timpitel care a ramas in pana de conbustibil de-al lui.
Intrebarea initala era cita benzina ii trebuie acestui OZN sa decoleze de pe suprafata pamintului asa incit sa ajunga pe orbita stationara circulara la inaltimea H. H e suficient de mare pentru connsidera variatia acceleratiei gravitationale g cu inaltimea.

Am sa o reformulez un pic mai simplu:

Cita benzina ii trebuie unui OZN sa decoleze de pe suprafata Terrei, asa incit sa ajunga sa aiba viteza vf=0 (sa luam zero pentru simplificare)  la inaltimea H de suprafata pamintului.
Se dau:
R = raza pamintui,
g = acceleratia gravitationala la suprafata pamintului g,
M=  masa a OZN-ului
w = puterea calorica a benzineai in J/kg (cita energie produce un kg de benzina)/

Se stie ca OZN-ul are supertehnologie care ii permite sa converteasca integral caldura benzinei in lucru util si nu pierde nimic in frecarea cu aerul.

----

Problema nu e tema de casa.
Scopul initial era de a exemplifica cind se aplica functiile de stare si de proces din termodinamica. A dus insa la o contradictie interesanta (probabil nostima).

Problema nu ar trebui sa fie f. grea, sunt curios cum altii mai experti in fizica decit mine ar rezolva-o.

[Electron]

Problema, asa cum ai formulat-o, e o problema simpla de conservare a energiei. Energia obtinuta prin arderea benzinei se transforma "integral" (pentru ca se pare ca OZN-ul despre care vorbesti e atat de avansat incat are randamentul imposibil de 100%) in energie potentiala gravitationala. Calculele precise depind de modul de dependenta a valorii acceleratiei gravitationale cu inaltimea fata de suprafata Pamantului. Dar o integrala rezolva problema in orice caz.

Care e contradictia aceea potential nostima despre care vorbesti?

e-

[styhl]

    Paremise, daca sa ne agatam de chitibusuri, atunci problema data mai are nevoe de o multime de date.
    Ce presiune atmosferica are planeta? Viteza de rotatie in jurul acsei sale? Viteza de rotatie in jurul soarelui? Din ce punct(la ce paralela) al planetei, si la ce ora decoleaza nava?
     Tot paremise, nu e corect (deloc) pusa intrebarea. Nus specealis in fizica dar, sunt 2 lucruri diferite: 1) Ce cantitate de energie poate da o anumita substanta (benzina). 2) Mecanizmul in care se foloseste substanta (benzina), rational nu stupid cum o fac majoritatea (unele din motive economice, altele din modive ca putini creeri au in cap plus la toate aceste se mai incapatineaza).
     Care este puterea calorica a  apei?

[Electron]

    Paremise, daca sa ne agatam de chitibusuri, atunci problema data mai are nevoe de o multime de date.

Nu se agata nimeni de chitibusuri. De aceea florin_ a simplificat problema vorbind de un "OZN" cu anumite proprietati "foarte avansate". Ce a ramas neclar este insa cum considera el topologia camplului gravitational pentru inaltimea despre care e vorba in problema, iar asta nu e deloc un "chitibus" ci e un element esential.

e-

[florin_try]

OK. Am rezolvat-o. Gresisem eu la calcule.

e- a observat f. bine ca e vorba de conservarea energiei.

1)Insa lucru mecanic e o functie de proces iar lucru total depinde de calea urmata.
2)Variatia unei functie de stare (precum energia interna sau entalpia) depinde doar de starea initiala si finala indiferent de drum.

Incercind sa rezolvi problema prin (1) trebuie sa tii cont de variatia masei cu inaltimea ca urmare a conversiei benzinei in energie, dar si de variatia lui g cu inaltimea, si sa integrezi pe toata distanta
E(h) = (M+m(h))*[g*R²/(R+H)² ]*h
Lucru util dat de arderea benzinei este: δL(h) =w*dm(h) iar acest lucru compenseaza total variatia energiei potential la inaltimea h (ca e OZN super): -δL(h) =dE(h)=w*dm(h)
Ecuatia diferentiala la care se ajunge sa este un pic neprietenoasa (m(h) e masa de benzina a OZN-ului la inaltimea h):
[tex] w{\frac {d}{dh}}m(h) -{\frac { \left( {\frac {d}{dh}}m(h)\right) {\it g0}\,{R}^{2}h}{ \left( R+h \right) ^{2}}}+2\,{\frac { \left(m(h)+{\it M0} \right) {\it g0}\,{R}^{2}h}{\left(R+h \right) ^{3}}}-{\frac{\left(m(h)+{\it M0}\right) {\it g0}\,{R}^{2}}{ \left( R+h \right) ^{2}}}[/tex]  

m(h=0) este benzina la sol si m(H=inaltimea maxima) = 0  

Rezolvind corect equatia (e un pic de algebra-eu initial gresisem) diferentiala de mai sus se ajunge la un rezultat ce poate fi pus sub forma:
m(0)*w =   M*[g*R²/(R+H)² ]*H
Partea dreapta este chiar Ep(H) sau mai bine zis: diferenta Ep(H)-Ep(0).
Termenul din stinga m(0)*w este energia data de arderea benzinei.

Deci dupa cum e- spunea, problema se poate rezolva doar pe conservarea energiei, cunoscind doar starea initiala si finala si diferenta intre 2 stari energetice, si nu e necesara integrarea pe calea urmata. In  plus, cimpul gravitational e conservativ, frecarea cu aerul e zero..

Care e contradictia aceea potential nostima despre care vorbesti?

Well, kind of nici una de fapt (o eroare de algebra a lungit discutia).  
Rezolvasem gresit ecuata diferentiale si incercam tot felul de argumente sa explicam de ce trebuie sa considerat ca functie de proces, cind de fapt e clar ca o simpla diferenta intre 2 stari energetice rezolva problema f. simplu.
Abia dupa ce am postat problema aici mi-am dat seama de greseala de algebra.

Ce a ramas neclar este insa cum considera el topologia camplului gravitational pentru inaltimea despre care e vorba in problema, iar asta nu e deloc un "chitibus" ci e un element esential.

Aici te-am pierdut. Inaltimea h e considerata suficient de mica caci cimpul gravitational e dominat de atractia Terri si variaza radial cu distanta g(h)=g0R^2/(R+h)^2.
 

[florin_try]

Si in final, inlocuind numeric, pentru un OZN de 2 tone sa ajunga la 300km inaltime ii trebuiesc cam 140 kg de benzina.

Tare ineficienta trebuie sa fie tehnologia actuala din rachete....

[Electron]

Ce a ramas neclar este insa cum considera el topologia camplului gravitational pentru inaltimea despre care e vorba in problema, iar asta nu e deloc un "chitibus" ci e un element esential.

Aici te-am pierdut. Inaltimea h e considerata suficient de mica caci cimpul gravitational e dominat de atractia Terri si variaza radial cu distanta g(h)=g0R^2/(R+h)^2.

Intrebarea se referea la topologia campului gravitational considerat. Daca intensitatea lui variaza radial cu distanta, sau poate fi considerat constant, tine de ipotezele problemei. Pentru h destul de mic, cum se ia de multe ori in considerare, atunci campul gravitational poate fi considerat omogen si izotrop. La asta ma refeream.

e-

[florin_try]

Daca depinde de topologia dupa cum spui tu, inseamna ca mai am o greseala pe undeva.
Dar cred ca asta era si sursa mea initiala de confuzie.

[mircea_p]

Nu mi-e clar ce regim de ardere folosesti in rezolvare. Adica cu ce viteza se consuma benzina.
In general rezultatul depinde de acest parametru, cred.

Insa daca vrei cantitatea minima posibila, cred ca se poate calcula destul de simplu. In cazul ideal propus cred ca cel mai eficient e sa arzi toata benzina "instantaneu" la inceput astfel incat sa imprimii OZN-ului viteza necesara pentru a urca la inaltimea dorita si a avea viteza zero cand ajunge acolo. In acest fel energia benzinei este folosita integral pentru a urca masa utila a OZN ului. In orice alt regim o parte din energia benzinei este folosita pentru a urca combustibilul la diferite inaltimi.
Bineinteles, in conditii reale, acest regim nu este indicat.

Edit: Folosind puterea calorica de 4.7x10^7 J/kg si neglijand variatia lui g cu inaltimea (300 Km fata de 6400 km e mai putin de 5%) rezulta ceva mai putin de 130 kg benzina (calcul pe spatele unei coperti de CD) . Considerand scadera greutatii cu inaltimea se poate astepta o valoare putin mai scazuta, poate 120 kg.
Am considerat 2 tone ca masa utila a navei, fara combustibil.

[florin_try]

Eu considerasem regimul de ardere in asa fel incit, pentru urcarea OZN ului de la inaltimea h la h+dh avem:

-dE(h) = w*dm(h) 

unde dE(h) = variatia energiei potentiale
w = puterea calorica a combustibilului
dm(h) masa combustibil arsa asa incit OZN ul sa se ridice de la inaltimea h la h+dh.

Adica se arde proportional cu variatia energiei proportionale.

----

Insa regimul de ardere propus de tine (toata masa la inceput) ar face problema conceptual mult mai simpla.

[tex] E_{benzina}=w*m_{benzina}=\int_0 ^H [M*g(h)] *dh[/tex]

[mircea_p]

Eu considerasem regimul de ardere in asa fel incit, pentru urcarea OZN ului de la inaltimea h la h+dh avem:

-dE(h) = w*dm(h)  

unde dE(h) = variatia energiei potentiale
w = puterea calorica a combustibilului
dm(h) masa combustibil arsa asa incit OZN ul sa se ridice de la inaltimea h la h+dh.

Adica se arde proportional cu variatia energiei proportionale.

----

A, acum inteleg. E interesant. Deci toata energia benzinei se regaseste in energia potentiala. Ar fi ca si cum ar urca cu viteza zero.
Ai putea simplifica si acest caz neglijand variatia lui g cu inaltimea. Asa ai putea vedea mai usor idea principala. La inaltimea considerata nu trebuie sa dea o eroare prea mare.
Totusi modelul asta nu corespunde energiei minime necesare pentru ca masa benzina este "imprastiata" pe toata inaltimea in loc sa ramana la sol.