Problema: in cate zerouri se termina numarul 1*2*3*...*99*100 ?

[morpheus]

Intrebarea a aparut pe sectiunea Q&A si m-am gandit sa o postez si aici. Se pare ca a fost printre subiectele de bac la matematica (nu stiu sigur, dar cam asa reiese din intrebare; oricum asta nu conteaza).

Deci, cate zerouri are 100! si cum se judeca problema?

[Electron]

100! se termina in tot atatea zerouri cati factori de 5 contine descompunerea in factori a acestui numar.

e-

[zec]

Cum zicea si Electron numarul de zerouri depinde de numarul de factori de 5 in descompunerea sa .Totusi sa fiu mai concis depinde de numarul de factori de 2 si de 5 care apar in descompunere intrucat zerourile sunt date de inmultirea cu 10.
De la 1 la 100 ,5 apare ca factor intre numerele acelea dupa formula [100/5]+[100/5²]+[100/5³]+... suma aceasta se opreste si nu e una infinita iara acele paranteze patrate reprezinta partea intreaga .Am sa explic si de ce arata astfel aceea formula .Pai cand numaram factori intai vedem cate numere se divid cu 5 de la 1 la 100 si numarul  lor este de [100/5] si din cauza ca exitsa numere in care  5 apare ca factor de 2 ori si il numaram doar odata cautam si cate numere se divid cu 25  de la 1 la 100 si le numaram si pe acestea care sunt in numar de [100/25] si asa mai departe.
Deoarece numarul de factori 2 este peste cel al lui 5 e suficient sa numaram doar de cate ori apare 5 ca putere in descompunere.Astfel ca solutia este 24 de zerouri.