Problema dificila ,dar frumoasa

[laurentiu]

Pentru 2 numere [tex]s,r[/tex],naturale ,r nenul ,definim [tex]P(s,r)[/tex]numarul progresiilor aritmetice cu numar finit de termeni care au ratia r si suma termenilor s.Fie [tex]f:A_{\alpha}X\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N^{*}},f((x,y))=\|P(x,y)\|[/tex],unde [tex]A_{\alpha}=\mathbb{N}-\{0,...,\alpha\}[/tex].
a)Sa se determine cel mai mic [tex]\alpha\in\mathbb{N} a.i.\forall i\ge\alpha,f[/tex] sa fie bine definita.Apoi sa se calculeze [tex]f((100,1))[/tex];
b)Sa se determine cel mai mic [tex]\beta\in\mathbb{N}[/tex] cu proprietatea ca [tex]\forall i>\beta [/tex] ,exista 2 functii [tex]u:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N},v:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N^{*}}[/tex] a.i. functia [tex]g:\mathbb{N}\rightarrow A_{\beta} ,g(n)=f((u(n),v(n)))[/tex] sa fie surjectiva.

PS:ideea mi-a venit de la problema lui Electron .

[zec]

Ar trebui precizate anumite aspecte in enuntul problemei.
1.nu exista progresie aritmetica cu numar finit de termeni de aceea aici ar trebui zis invers si anume un numar finit de termeni in progresie aritmetica ,lucru care schimba total.
2cel mai mic numar de termeni care se pot considera in progresie aritmetica este 3 ,ar fi ideal de precizat acest lucru si asta deoarece si un numar poate face parte dintro progresie dar daca aleg doar unu nu pot sa zic ca am ales acel numar in progresie aritmetica.
3.La punctul  a) apare i ca fiind mai mare sau egal cu alfa dar la felul cum e definita f nu avem nici o conexiune sau dependenta fata de i si deci acea conditie pentru i nu isi are locul.Deci sugestie cum f depinde de alfa era bine ca f sa aiba un indice care sa arate dependenta.Eu am inteles ce vroiai de fapt dar nu e asa vizibil din pacate.
4.Ai pus ca f fiind egal cu un modul sau referire la cardinalul unei multimi dar in felul in care ai definit P(s,r) el reprezinta un numar nu o multime.
Problema pare una interesanta si ca sugestie incercati sa calculati in particular pentru anumite valori poate va faceti o idee.

[zec]

Ar mai fi ceva de adaugat si anumite conditii.Si aici ma refer ca vorbim numai despre numere naturale.Nu ai precizat apartenenta numerelor in progresie.Deci textul ar arata cam asa :
Fie P(s,r) multimea formata din submultimi finite ale numerelor naturale ale caror elemente sunt in progresie aritmetica de ratie r iara suma lor este s unde ratia este un numar natural.
Dupa care functia f il definesti cu indice alfa adica [tex]\{f_\alpha}[/tex] iara la punctul a va trebui pus f cu indice i adica [tex]\{f_i}[/tex] in loc de f iara calculul sa fie din f cu indice alfa unde alfa este cel cu proprietatea de minim adica [tex]\{f_\alpha}(100,1)[/tex]